Bevezetés
Mint sok ember, aki később matematikussá válna, Wei Ho matematika versenyeken nőtt fel. Nyolcadik osztályban megnyerte a Mathcounts állami versenyt Wisconsinban, csapata pedig harmadik helyezést ért el a nemzeti versenyeken.
Sok leendő matematikussal ellentétben ő nem volt biztos abban, hogy valaha is az akar lenni.
„Mindent meg akartam csinálni, mindig – mondta Ho. „A balettet nagyon komolyan vettem egészen a középiskolás koraig. Én szerkesztettem az irodalmi folyóiratot. Vitáztam és kriminalisztika. Teniszeztem és fociztam, zongoráztam és hegedültem.” Ezzel szemben úgy tűnt, hogy sok sikeres matematikus a matematika megszállottja, minden mást kizárva. Hogyan tudna ő, egy számtalan szenvedélyes ember, felvenni a versenyt ilyen szintű összpontosítással?
Végül Ho-t a matematika szigora vonzotta. Még mindig szereti a balettet, regényeket olvas és rejtélyes keresztrejtvényeket fejt ki, még akkor is, ha segít újra feltalálni az alapvető matematikai objektumokat, például a polinomiális egyenleteket megalapozó matematikai gépezetet, amelyekhez régóta fennálló és zavarba ejtő nyitott kérdések kapcsolódnak.
Ho az ismert geometriai objektumokat tanulmányozza, de újrafogalmazza a kérdéseket, hogy a racionális számok birodalmába helyezze őket – olyan számok, amelyek törtként írhatók fel. „Akkor a számelmélet kezd belekeveredni ebbe az egészbe” – mondta.
Különösen érdeklik az elliptikus görbék, amelyeket egy bizonyos típusú polinomiális egyenlet határoz meg, amely a matematika különböző ágaiban alkalmazható. Az elliptikus görbék megjelennek az elemzésben – nagy vonalakban a folytonos dolgok, például a valós számok tanulmányozásában – és az algebrában, amely a pontos matematikai struktúrák megtalálásáról és meghatározásáról szól. (Bár a fókuszuk eltérő, az elemzést és az algebrát inkább az érzékenység, mint a szigorú határvonal választja el, mivel rengeteg átfedés van közöttük.)
Bevezetés
A 2018-ban kiadott akadályokat áttörő előnyomatban Ho és munkatársa Levent Alpöge a Harvard Egyetemen új felső határt fedeztek fel az elliptikus görbéket meghatározó polinomok egész megoldásainak számához. Technikájuk Louis Mordell, egy 1906-ban Nagy-Britanniába emigrált amerikai matematikus több évtizedes munkájára támaszkodik. Ho és Alpöge cikkükben olyan új információkat szerezhettek be ezeknek az egész megoldásoknak az eloszlásáról, amelyek elkerülték a hasonló tanulmányokat folytató többi csapatot. problémákat.
Ho az évet (a Michigani Egyetem oktatói állásából szabadságon) vendégprofesszorként tölti az Institute for Advanced Study-ban, ahol nemrégiben kinevezték az IAS Nők és Matematika programjának első igazgatójává. Emellett 2023-ban az Amerikai Matematikai Társaság munkatársa és a Princetoni Egyetem kutatója.
Reméli, hogy a Nők és a matematika program irányítása „legalább többet segít a közösségnek, több embernek, ahelyett, hogy csak én lennék az irodámban, és egyedül vagy munkatársakkal matematikai kutatásokat végeznék” – mondta. „Bizonyíthatok tételeket, és talán egyszer bebizonyíthatok egy tételt, amely 100 év múlva számítani fog. Talán igen, talán nem. De úgy éreztem, hogy nem vagyok elég hatással a világra vagy a körülöttem lévő emberekre.”
Quanta egy sor videokonferencia során beszélt Hoval. Az interjúkat az egyértelműség kedvéért sűrítettük és szerkesztettük.
Hogyan jellemeznéd a matematikai tudásodat?
A matematikusok néha algebrai és analitikus emberekre osztják magunkat. A matematika mindkét oldalt érinti, de szívemben algebraista vagyok, bár a gondolkodásmódomat tekintve geometrikus vagyok. Gyakran hajlamos vagyok arra, hogy az algebrát és a geometriát lényegében azonosnak tekintsem.
Ez nem egészen pontos, de alapvetően Descartes munkássága óta és különösen a múlt században a két téma nagyon közel került egymáshoz. Létezik egy meglehetősen pontos szótár, amely bizonyos helyzetekben segíthet a geometriai kép algebrai következményekké történő fordításában.
Az én esetemben a geometriai kép gyakran segít állítások, sejtések megfogalmazásában, intuíciót ad, de aztán írás közben ezeket algebrára fordítjuk. Könnyebb észlelni a hibákat, mivel az algebra általában szigorúbb. Könnyebb is lehet az algebra használata, ha a geometriát túl nehéz megjeleníteni.
Milyen gondolatokra helyezte a hangsúlyt legutóbbi munkája során?
Munkám nagy része az elliptikus görbékhez kapcsolódik, amelyek számelméletben és aritmetikai geometriában nagyon természetes objektumok.
Nehéznek kell lennie az ilyen egyenletek egész számú megoldásának. Alapvetően azt várjuk, hogy szinte minden görbének ne legyen egész számú megoldása. De ezt nagyon nehéz bizonyítani.
Levent és én tanulmányoztuk az integrálpontok számának ezt az eloszlását. Klasszikus konstrukciót használunk Mordell 1969-es könyvéből Diofantin egyenletek. Egy elliptikus görbe integrálpontjainak felső korlátját tudjuk megadni. Mások felső határt adtak. Találtunk egy másik korlátot, amelyet egyszerű kijelenteni.
Milyen szerepet játszott Mordell korábbi munkája a legutóbbi eredményedben?
Kérdésünk az elliptikus görbék integrálpontjaira vonatkozik. Mordellnek van módja összefüggésbe hozni valami mással, amit tanulmányozhatunk.
A matematikában mindig ezt csináljuk: meg akarunk érteni egy objektumot, de meg kell találnunk egy proxyt a megértéséhez. Néha ez a proxy nagyon pontos. Néha elveszik az információ. De valójában ez olyasmi, amihez hozzáférhetünk.
Mikor döntötte el, hogy a matematikára összpontosít?
Nem hiszem, hogy volt számomra fordulópont. Most elégedett vagyok az életemmel és a karrieremmel, de úgy érzem, ha a dolgok kicsit másként alakultak volna, sok karrierben vagy más területen boldog lehettem volna. Talán ez az, amit a legtöbb matematikus nem mondana, mert szeretnek arról beszélni, hogy mennyire szenvedélyesek a matematika iránt, és hogy soha nem tudtak másra gondolni. Számomra szerintem ez nem igaz.
Nagyon sok mindenre vagyok kíváncsi. Talán azért lettem matematikus, mert csalódott voltam a szigorúság hiánya miatt más területeken. Gyerekkoromban arra neveltek, hogy bizonyos szempontból matematikusként gondolkodjak, hiszen otthon is így csináltuk a dolgokat. Apám matematikai játékokat játszott velem, ami azt jelentette, hogy kicsi koromtól kezdve tanultam a logikus érvelést. Azt akartam, hogy bebizonyosodjanak a dolgok.
De nem voltam benne biztos, hogy jó matematikus leszek.
Miért?
Fiatalabb koromban nem ismertem olyan sok matematikus embert, aki különböző tekintetben hasonlított hozzám. Ezeket a szavakat szórjuk a példaképekről. Nem csak arról van szó, hogy nem láttam elég nőt vagy ázsiai-amerikai nőt.
Úgy értem, hogy nem sok olyan embert láttam, aki a matematikán kívül más dolgok iránt is szenvedélyes lett volna. Ettől nagyon kételkedtem magamban. Hogyan lehetek sikeres matematikából, ha nem töltöm az időm 100%-át a matematikával? Ezt láttam magam körül. Az volt a benyomásom, hogy mások másként közelítenek a matematikához, mint én, a társaim és a nálam idősebbek. Azt hittem, nehéz olyan karriert folytatni, ahol nem leszek ilyen. más érdekeltségeim lennének.
Az emberi aspektus olyasvalami, amivel másokat nem láttam annyira törődni. Féltem, hogy egy részem megnehezíti, hogy matematikus legyek.
Bevezetés
Önt éppen most nevezték ki az IAS Nők és Matematika programjának igazgatójává. Mit kínál ez a program a női matematikusoknak?
Ez egy egyhetes műhely a karrier különböző szakaszaiban lévő nők számára, beleértve az egyetemi hallgatókat, a végzős hallgatókat, a posztdoktorokat, valamint néhány alsó és felső tagozatos oktatót. Ez a matematika tanulása támogató környezetben.
Azok az egyetemisták, akik esetleg nem tudták, hogy matematikával szeretnének foglalkozni, nagyon idősebb matematikusokkal találkoznak, és mentorálást végeznek. Sok különböző embert láthatnak a karrier különböző szakaszaiban, és beszélgethetnek az emberekkel tapasztalataikról. Nem hiszem, hogy sok más olyan program létezik, amelyik rendelkezik ezzel a teljes skálával, és egy adott részterületre összpontosít.
A 2023-as program neve „Minták egész számokban”. Sok ember lesz az additív kombinatorika és az analitikus számelmélet területén. Különböző karrierpályákról hozunk be embereket, hogy találkozzanak.
A már ezen a területen dolgozó idősebb végzős hallgatók posztdoktorokkal, junior és felső tagozatos oktatókkal találkoznak, és lehetőséget kapnak egy hétig velük dolgozni.
Ön is részt vesz a Stacks projekt, amely egy kiterjedt online forrás. Mi az egyedi benne?
A puszta mennyisége és hozzáférhetősége. Ez a hatalmas – több mint 7,500 oldal, ha kinyomtatta – online együttműködési projekt. De reálisan nézve [a Columbia Egyetem matematikusa] Aise Johan de Jong szinte mindent leír. Ez egy szigorú, gondosan megírt forrás az algebrai geometriákhoz. Csodálatos dolog, amit a közösségért tett.
Hetente-kéthetente nő. Ez egy megbízható referencia szinte bármire. Hatalmas mennyiségű algebrai geometriát fed le, amihez 20 tankönyvet kellene megnézned.
Élet abban az értelemben, hogy dolgokat lehet hozzáadni és szerkeszteni. Ha vannak hibák, elkapják.
A másik érdekesség a címkerendszer. Annak ellenére, hogy ez a dokumentum folyamatosan bővül, továbbra is mindig hivatkozhat egy adott címkére. Több mint 21,000 XNUMX állandó címke van azokhoz az eredményekhez, amelyeket érdemes idézni. Pieter Belmans megépítette az egész hátsó részt, amelyet más projektekben is használtak. Mások adaptálták a technológiát.
A probléma az – és Johan tudja ezt –, hogy végül nem fogja tudni folytatni ezt az írást. Egy nap, ha azt akarjuk, hogy ez folytatódjon, akkor másoknak is jobban részt kell venniük benne.
Milyen szerepet töltenek be a műhelyeid a Stacks projektben?
A lényeg az, hogy elkezdjük bevonni a fiatalokat. Olyan apróságokat írnak, amelyek végül beépülhetnek abba. Itt van némi feszültség, mert ahhoz, hogy a weboldal forrásként korrekt és jó minőségű maradjon, gondosan moderálni kell. Tehát Johannak még sokat kell dolgoznia, hogy belehelyezze a dolgokat. Nem lehet olyan, mint a Wikipédia, ahol bárki megérintheti. Ez egy kicsit sajnálatos, de meg kell történnie, ha azt akarja, hogy működjön.
Megpróbáljuk kitalálni, hogyan lehet lassan több embert bevonni a Stacks projektbe. Mentorokat vonunk be, hogy végzős hallgatókkal és posztdoktorikkal végzett projektekben dolgozzanak. Algebrai geometriát tanulnak. Aztán írnak valamit.
We most közzétették kötet egy csomó magyarázó cikket, amelyek reményeink szerint végül bekerülnek a Stacks projektbe.
A Stacks projekt még több száz évig rendkívül hatásos lehet, ha elég ember vesz részt benne, és folytatja.
