Az 1950-es évek elején az Institute for Advanced Study kutatóinak egy csoportja high-tech projektbe kezdett. A parancs Neumann János és Herman Goldstine fizikusa, Hedvig Selberg fizikus beprogramozta az IAS 1,700 vákuumcsöves számítógépét, hogy kiszámítson érdekes matematikai összegeket, amelyek eredete egészen a 18. századig nyúlik vissza.
Az összegek másodfokú Gauss-összegekhez kapcsolódnak, amelyeket a híres matematikusról, Carl Friedrich Gaussról neveztek el. Gauss valamilyen prímszámot választana p, majd összegezze a $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$ alakú számokat. Megalakulásuk óta a másodfokú Gauss-összegek felbecsülhetetlen értékűnek bizonyultak olyan feladatoknál, mint például bizonyos típusú egyenletek megoldásainak megszámlálása. „Kiderült, hogy a Gauss-összegek varázslatosak, hogy egyszerűen csodálatos dolgokat művelnek Isten tudja, mi okból” – mondta. Jeffrey Hoffstein, matematikus a Brown Egyetemen.
A 19. század közepén Ernst Eduard Kummer német matematikus közeli rokonával játszadozott ezekkel a kvadratikus Gauss-összegekkel, ahol a n2 a kitevőben an helyettesíti n3. Kummer észrevette, hogy meglepő mértékben hajlamosak bizonyos értékekhez közeli értékeket gyűjteni – ez az éles megfigyelés, amely évszázados számelméleti kutatásokhoz vezet.
Ha a köbös Gauss-összegeket nem dolgozzuk át egyszerűbb képletté, akkor nehéz következtetni az értékükre. Ilyen képlet híján Kummer köbös Gauss-összegeket számolt – és számolt, és számolt. „Akkoriban nagyon gyakori volt, hogy kézzel végeztek ilyen hősies számításokat” – mondta Matthew Young, matematikus a Texas A&M Egyetemen. Az első 45 nem triviális prímszámnak megfelelő 45 összeg átszántása után Kummer végül feladta.
Eredményeit áttekintve Kummer valami érdekeset vett észre. Elméletileg az összegek bármi lehet –1 és 1 között (miután „normalizálták” – elosztjuk egy megfelelő konstanssal). De amikor elvégezte a számításokat, rájött, hogy furcsa módon oszlanak el. Az eredmények fele ½ és 1 között volt, és csak hatoduk volt -1 és -½ között. Úgy tűnt, hogy 1 körül csoportosultak.
Kummer kifejtette megfigyeléseit, egy sejtéssel együtt: Ha valahogy sikerülne a végtelenül sok köbös Gauss-összeget ábrázolnia, akkor a legtöbbet ½ és 1 között látná; kevesebb –½ és ½ között; és még kevesebb –1 és –½ között.
Selberg, von Neumann és Goldstine elindult, hogy teszteljék ezt korai számítógépükön. Selberg úgy programozta, hogy kiszámítsa a 10,000 600-nél kisebb nem triviális prímek köbös Gauss-összegeit – összesen körülbelül 1 összeget. (Goldstine és von Neumann írták tovább a cikket; hozzászólásai a végén egy elismerő sorba kerültek.) Felfedezték, hogy a prímszámok növekedésével a normalizált összegek kevésbé hajlamosak az XNUMX-hez közeli klaszterre. meggyőző bizonyítékként Kummer sejtése téves volt, a matematikusok elkezdték mélyebben megérteni a köbös Gauss-összegeket, amelyek túlmutattak a puszta számításon.
Ez a folyamat most befejeződött. 1978-ban a matematikus Samuel Patterson megoldást keresett Kummer matematikai rejtélyére, de nem tudta bizonyítani. Aztán tavaly ősszel a California Institute of Technology két matematikusa bebizonyította Patterson sejtését, végül lezárva Kummer 1846-os töprengését.
Patterson először a Cambridge-i Egyetem végzős hallgatójaként ragadt rá a problémára, az 1970-es években. Sejtését az indokolta, hogy mi történik, ha a számokat véletlenszerűen –1 és 1 közé helyezzük. Ha összeadjuk N ezen véletlenszámok közül az összeg tipikus mérete $latexsqrt{N}$ (lehet pozitív vagy negatív). Hasonlóképpen, ha a köbös Gauss-összegek egyenletesen oszlanak el –1-től 1-ig, akkor várható N közülük nagyjából $latexsqrt{N}$ összeget tesz ki.
Ezt szem előtt tartva tette hozzá Patterson N köbös Gauss összegeket, figyelmen kívül hagyva (egyelőre) a prímszámokhoz való ragaszkodás követelményét. Megállapította, hogy az összeg kb N5/6 — nagyobb, mint $latexsqrt{N}$ (ez így írható fel N1/2), de kevesebb, mint N. Ez az érték arra utalt, hogy az összegek véletlen számokként viselkedtek, de gyenge erővel, ami pozitív értékek felé kényszerítette őket, ezt nevezik torzításnak. Mint N egyre nagyobbak és nagyobbak, a véletlenszerűség elkezdi elnyomni a torzítást, és így ha valahogy egyszerre néznénk meg a végtelenül sok köbös Gauss-összeget, egyenletesen eloszlónak tűnnének.
Ez látszólag mindent megmagyarázott: Kummer számításai torzítást mutattak, valamint az IAS-számítások, amelyek megcáfolták azt.
Patterson azonban nem tudta elvégezni ugyanazokat a számításokat a prímszámokra, ezért 1978-ban hivatalosan is felírta sejtés: Ha összeadja a prímszámok köbös Gauss-összegeit, akkor ugyanannyit kell kapnia N5/6 viselkedés.
Nem sokkal azután, hogy előadást tartott a Kummer-problémával kapcsolatos munkájáról, Pattersont megkereste egy Roger Heath-Brown nevű végzős hallgató, aki a prímszámelmélet technikáinak beépítését javasolta. A ketten összefogtak és hamarosan közzétett előrelépést jelentett a problémában, de még mindig nem tudták kimutatni, hogy Patterson megjósolta N5/6 a torzítás prímszámokra pontos volt.
Az elkövetkező évtizedekben alig történt előrelépés. Végül, az ezredfordulón Heath-Brown készített még egyet áttörés, amelyben az általa kifejlesztett, köbös nagy szitának nevezett eszköz alapvető szerepet játszott.
A köbös nagy szita használatához Heath-Brown egy sor számítást használt, hogy a köbös Gauss-összegeket egy másik összeghez viszonyítsa. Ezzel az eszközzel Heath-Brown meg tudta mutatni, hogy ha összeadja a köbös Gauss-összegeket olyan prímeknél, amelyek kisebbek N, az eredmény nem lehet sokkal nagyobb, mint N5/6. De úgy gondolta, hogy jobban is tudna csinálni – magát a szitát lehetne javítani. Ha lehetne, csökkentené a korlátot N5/6 pontosan, bizonyítva ezzel Patterson sejtését. Egy rövid szövegsorban felvázolta, hogy szerinte mi lenne a lehető legjobb képlet a szitához.
A matematikusok még ezzel az új eszközzel sem tudtak tovább fejlődni. Aztán két évtizeddel később egy szerencsés találkozás a Caltech posztdoktori között Sándor Dunn és a felettese Maksym Radziwiłł a vég kezdetét jelentette. Mielőtt Dunn 2020 szeptemberében megkezdte pozícióját, Radziwiłł azt javasolta, hogy dolgozzanak együtt Patterson sejtésén. Mivel azonban a Covid-19 világjárvány továbbra is tombol, a kutatás és az oktatás távolról folytatódott. Végül 2021 januárjában a véletlen – vagy a sors – közbeszólt, amikor a két matematikus váratlanul egymásba ütközött egy pasadenai parkolóban. „Szívélyesen elbeszélgettünk, és megállapodtunk abban, hogy elkezdünk találkozni és matekról beszélni” – írta Dunn egy e-mailben. Márciusra már szorgalmasan dolgoztak Patterson sejtésének bizonyításán.
„Izgalmas volt dolgozni rajta, de rendkívül nagy a kockázat” – mondta Dunn. – Úgy értem, emlékszem, hogy négy-öt hónapon keresztül minden reggel 5-kor jöttem az irodámba.
Dunn és Radziwiłł, akárcsak Heath-Brown előttük, a köbméteres nagy szitát nélkülözhetetlennek találta a bizonyításhoz. De amikor azt a képletet használták, amelyet Heath-Brown írt le 2000-es dolgozatában – amelyről azt hitte, hogy ez a lehető legjobb szita, egy sejtés, amelyet a számelméleti közösség igaznak hitt –, rájöttek, hogy valami nem stimmel. . „Nagyon-nagyon bonyolult munka után be tudtuk bizonyítani, hogy 1 = 2” – mondta Radziwiłł.
Ekkor Radziwiłł biztos volt benne, hogy az övék a hiba. „Kicsit meg voltam győződve arról, hogy alapvetően hiba van a bizonyításunkban.” Dunn meggyőzte az ellenkezőjéről. A köbös nagy szitán a várakozásokkal ellentétben nem lehetett javítani.
A köbméteres nagy szita helyességével felvértezve Dunn és Radziwiłł újrakalibrálták Patterson sejtésének megközelítését. Ezúttal sikerült nekik.
„Azt hiszem, ez volt a fő oka annak, hogy senki nem tette ezt, mert ez a [Heath-Brown] sejtés mindenkit félrevezetett” – mondta Radziwiłł. "Azt hiszem, ha azt mondanám Heath-Brownnak, hogy a sejtése téves, akkor valószínűleg rájönne, hogyan csinálja."
Dunn és Radziwiłł 15. szeptember 2021-én publikálta dolgozatát. Végül a bizonyításuk az általánosított Riemann-hipotézisre támaszkodott, amely egy híresen bizonyítatlan matematikai sejtés. De más matematikusok ezt csak kisebb hátránynak tartják. „Szeretnénk megszabadulni a hipotézistől. De örülünk, hogy olyan eredményt kaptunk, amely feltételhez kötött” – mondta Heath-Brown, aki ma az Oxfordi Egyetem professor emeritusa.
Heath-Brown számára Dunn és Radziwiłł munkája több, mint Patterson sejtésének bizonyítéka. Azzal, hogy váratlan betekintést nyert a köbös nagy szitába, újságjuk meglepő befejezést hozott annak a történetnek, amelyben évtizedek óta részese volt. „Örülök, hogy valójában nem azt írtam az újságomba: „Biztos vagyok benne, hogy meg lehet szabadulni ettől” – mondta, utalva arra a szitadarabra, amelyet Dunn és Radziwiłł lényegesnek talált. „Csak azt mondtam: „Jó lenne, ha valaki megszabadulna ettől. Lehetségesnek tűnik, hogy képesnek kell lennie rá. És tévedtem – nem először.”
