A sejtések tornya, amely tűn nyugszik | Quanta Magazin

A matematikában egy egyszerű probléma gyakran nem az, aminek látszik. A nyár elején, Quanta beszámolt egy ilyen problémáról: Mi az a legkisebb terület, amit ki tud söpörni, miközben egy végtelenül vékony tűt minden lehetséges irányba forgat? Forgassa meg a közepén, mint egy tárcsát, és egy kört kap. De forgasd okosabban, és tetszőlegesen kis helyet takarhatsz le. Ha nem szükséges, hogy a tű egyetlen folyamatos mozdulattal mozogjon, hanem egyszerűen lefekteti a tűt minden irányba, akkor olyan elrendezést készíthet a tűkből, amely nem fed le semmilyen területet.

A matematikusok ezeket az elrendezéseket Kakeya halmazoknak nevezik. Bár tudják, hogy az ilyen készletek kicsik lehetnek a területet (vagy térfogatot tekintve, ha három vagy több dimenzióba rendezik a tűket), úgy vélik, hogy a készleteknek mindig nagynak kell lenniük, ha méretüket a Hausdorff-nek nevezett mérőszámmal mérik. dimenzió.

A matematikusoknak még be kell bizonyítaniuk ezt a Kakeya-sejtésként ismert állítást. De bár ez látszólag egy egyszerű kérdés a tűkkel kapcsolatban, „e Kakeya halmazok geometriája a parciális differenciálegyenletek, a harmonikus elemzés és más területek kérdéseinek egész sorát támasztja alá” – mondta. Jonathan Hickman az Edinburghi Egyetemen.

A Kakeya-sejtés három központi probléma hierarchiájának alapja a harmonikus elemzésben – a matematika azon ága, amely azt vizsgálja, hogy a függvények hogyan ábrázolhatók periodikus függvények összegeként, mint például szabályosan rezgő szinuszhullámok.

A következő lépés ebben a hierarchiában a „korlátozás” sejtés. Ha igaz, akkor a Kakeya-sejtés is az. (Ez azt is jelenti, hogy ha a Kakeya-sejtés hamisnak bizonyul, a restrikciós sejtés nem lehet igaz.) A restrikciós sejtést pedig az ún. Bochner-Riesz sejtés implikálja. A legtetején pedig ott ül a helyi simító sejtés.

Az első két sejtés a Fourier-transzformáció viselkedésével foglalkozik, egy olyan technikával a harmonikus elemzésben, amellyel gyakorlatilag bármilyen függvényt szinuszhullámok összegeként lehet kifejezni. Ez az egyik legerősebb matematikai eszköz, amely a fizikusok és mérnökök rendelkezésére áll. A Fourier-transzformáció alapvető szerepet játszott a differenciálegyenletek megoldásában, a kvantummechanikai ötletek, például a Heisenberg-féle bizonytalansági elv kifejezésében, valamint a jelek elemzésében és feldolgozásában – lehetővé téve a modern mobiltelefonokhoz hasonló dolgokat.

Mivel a hierarchiában minden állítás magában foglalja az alatta lévőt, ha a Kakeya-sejtés hamis, akkor a többi sejtés sem igaz. Az egész torony összeomlik. „Létrehozhat egy szuperszörnyellenpéldát, amely sok sejtést megtörne” – mondta Hickman.

Másrészt a Kakeya-sejtés igazának bizonyítása nem jelenti automatikusan a többi sejtés igazságát – de fontos betekintést adna a matematikusoknak a továbblépésbe.

Így „az általam ismert harmonikus elemzési közösség közel fele ezen és a kapcsolódó problémákon dolgozik, vagy dolgozott rajtuk valamikor” – mondta. Shaoming Guo a Wisconsini Egyetemen, Madisonban.

A közelmúltban a matematikusok meglepetésre felfedezték, hogy az általuk kifejlesztett technikák ezeknek a problémáknak a kezelésére is felhasználhatók jelentős eredmények bizonyítására a számelmélet látszólag nem kapcsolódó területén. "Sokkal általánosabb jelenség, mint azt az emberek gondolták" - mondta Guo.

Réteges torta

A történet a Fourier-transzformációval kezdődik. „A [függvényeket] apró darabokra akarja bontani, elemezni akarja a kölcsönhatásaikat, és össze akarja adni őket” – mondta. Yumeng Ou a Pennsylvaniai Egyetemen. Az egydimenziós függvényeknél – görbéknél, amelyeket egy papírra rajzolhatunk – a matematikusok jól értik, hogyan kell ezt megtenni, még akkor is, ha a Fourier-transzformációt csak néhány darab felhasználásával kell megfordítaniuk.

De két vagy több dimenzióban a dolgok összezavarodhatnak.

A 1971, Charlie Fefferman, a Princeton Egyetem matematikusa kitalálta, hogyan lehet a Kakeya készletekkel demonstrálni, hogy a Fourier-transzformáció megfordítása furcsa és meglepő eredményekhez vezethet több dimenzióban.

A matematikusok találtak egy javítást a Bochner-Riesz sejtés formájában, amely lényegében azt állítja, hogy vannak kifinomultabb módszerek az eredeti függvény visszaállítására, amelyek nem bomlanak le, mint Fefferman példája. De ez a megoldás a Kakeya-sejtés igazságától függött.

Ha ez igaz, „a frekvenciák csonkolása csak kis hibákhoz vezet” – mondta Betsy Stovall a Wisconsini Egyetemen, Madisonban. "Ez azt jelenti, hogy az apró hibák nem robbannak fel."

Így kezdődött a hierarchia. Később a matematikusok egy másik fontos összefüggést fedeztek fel: ha igaz, a Bochner-Riesz-sejtés egy olyan állítást is tartalmazott, amelyet restrikciós sejtésnek neveznek. Ez a sejtés azt állítja, hogy ha a Fourier-transzformáció egy korlátozott változatával kezdünk – „lekorlátozva” a vizsgált értékeket csak azokra, amelyek bizonyos felületeken élnek –, ez még mindig fontos információkat adhat az eredeti függvényről. És kiderült, hogy ha a korlátozási sejtés igaz, akkor a Kakeya-sejtés is igaz. (Ez a korlátozási sejtést Kakeya és Bochner-Riesz között a toronyba helyezte.)

A hierarchiát megkoronázó probléma, az úgynevezett lokális simítási sejtés, nem közvetlenül a Fourier-transzformációval foglalkozik, hanem a hullámok viselkedését leíró egyenletek megoldásainak méretét szabja meg.

Ezt a Kakeya készlet vonalainak geometriájában is el lehet képzelni. A hullámegyenlet általános megoldását egy csomó darabra bonthatja, amelyek különböző irányokba mozognak, és idővel különböző módon kölcsönhatásba lépnek egymással. Mindegyik darab matematikailag egy Kakeya készletben lévő tűre hasonlít. A Kakeya-sejtés azt állítja, hogy egy ilyen konfigurációban nem lehet túl sok átfedés. Ebben a fizikai kontextusban az átfedések megfelelnek a rendszertelen és váratlan viselkedések fennmaradásának a megoldásban. Például egy hanghullám sok régióban, sok különböző időpontban felerősödhet.

A helyi simítási sejtés szerint az ilyen szabálytalanságokat átlagolni kell. „Olyan ez, mint a pénzügyi piac átlagát venni” – mondta Ciprian Demeter Indiana University Bloomington. „Itt is, ott is előfordulhatnak összeomlások, de ha befekteti a pénzét, és 40 év múlva nyugdíjba vonul, jó esély van arra, hogy jó befektetéseket szerezzen.”

De mint a hierarchia összes sejtése, ez is a Kakeya-sejtés igazságától függ. "Az ötlet az, hogy ha kizárja a sok kereszteződést a Kakeya készletekben, az azt jelenti, hogy kizárhatja azokat a helyzeteket, amikor a megoldás egyes részei összeesküdnek, hogy valamiféle robbanást hozzanak létre" - mondta Stovall.

Ez a sejtés a legnehezebb a csokor közül: Míg a Kakeya, a restrikciós és a Bochner-Riesz problémák kétdimenziós eseteit már évtizedekkel ezelőtt megoldották, addig a kétdimenziós lokális simító sejtés csak néhány éve igazolódott be. (Magasabb dimenziókban ezek a problémák továbbra is nyitottak maradnak.)

De annak ellenére, hogy a helyi simító sejtés bizonyítása lassan halad előre, az ezen végzett munka óriási előrelépéshez vezetett máshol. 1999-ben, miközben megpróbálta kezelni a sejtést, Thomas Wolff matematikus bevezette a decoupling néven ismert módszert. Azóta ez a technika önálló életet élt: nemcsak a harmonikus elemzésben, hanem a számelméletben, a geometriában és más területeken is jelentős áttörést ért el vele. „A szétválasztási eredményeket használva most már világrekordok vannak a nagyon híres, fontos problémákban” – mondta Christopher Sogge Johns Hopkins Egyetem kutatója, aki először fogalmazta meg a helyi simítási sejtést az 1990-es években. Például a szétválasztást arra használták, hogy megszámolják, hányféleképpen ábrázolható egy egész szám négyzetek, kockák vagy más hatványok összegeként.

Ahogy Demeter fogalmazott, ezek az eredmények azért lehetségesek, mert „a számokat hullámnak tekinthetjük”. Az, hogy mindezek a problémák a Kakeya tűkészletekhez kapcsolódnak, „lenyűgöző” – tette hozzá. "Nem gondolod, hogy annyi szépség, nehézség és fontosság rejtőzhet valamiben, amit vonalszakaszok segítségével lehet megfogalmazni."