Megdől egy régi sejtés, ami sokkal bonyolultabbá teszi a gömböket | Quanta Magazin

Június elején a londoni Heathrow repülőtéren a matematikusok által felépített zsongás szállt le. Úticéljuk az Oxfordi Egyetem és a konferencia 65. születésnapja tiszteletére Michael Hopkins, a Harvard Egyetem matematikusa, aki sok résztvevő mentoraként szolgált.

Hopkins az 1980-as évek végén szerzett hírnevet azzal, hogy hét feltételezéssel foglalkozott Doug Ravenel a Rochesteri Egyetem munkatársa egy évtizeddel korábban megfogalmazta. Azokhoz a technikákhoz kellett kapcsolódniuk, amelyek segítségével meghatározható, hogy két alakzat vagy tér, amelyek eltérően nézhetnek ki, valójában mikor azonosak. Hopkins és munkatársai bebizonyították Ravenel összes sejtését, kivéve egyet, ami egy sejtelmes, de titokzatos névvel kapcsolatos probléma, amelyet teleszkóp-sejtésnek neveznek.

Akkoriban Hopkins nyugovóra tért Ravenel sejtésein. Ezt követően évtizedekig úgy tűnt, hogy a teleszkópos sejtést lehetetlen megoldani.

– Nem érinthetsz egy ilyen tételt – mondta Hopkins.

De ahogy a matematikusok leszálltak Londonba, a pletykák szerint ezt a Massachusetts Institute of Technology-hoz kötődő négy matematikusból álló csoport tette, akik közül háromnak Hopkins adott tanácsot a végzős iskolában. A négy közül a legfiatalabb, egy nevezett végzős diák Ishan Levy, a tervek szerint kedden, a konferencia második napján tartott előadást, amikor úgy tűnt, hogy a bizonyítékot bejelentik.

„Hallottam pletykákat, hogy ez jön, és nem tudtam pontosan, mire számítsak” – mondta Vesna Stojanoska, az Illinoisi Egyetem matematikusa, Urbana-Champaign, aki részt vett a konferencián.

Hamar kiderült, hogy a pletykák igazak. Keddtől és a következő három napban Levy és szerzőtársai - Robert Burklund, Jeremy Hahn és a Tomer Schlank - elmagyarázta a mintegy 200 matematikusból álló tömegnek, hogyan bizonyították be, hogy a távcső sejtése hamis, így Ravenel eredeti sejtései közül ez az egyetlen, amely nem igaz.

A teleszkóp-sejtés cáfolatának széleskörű következményei vannak, de az egyik legegyszerűbb és legmélyebb a következő: Ez azt jelenti, hogy nagyon nagy dimenziókban (gondoljunk egy 100 dimenziós gömbre) a különböző formájú univerzum sokkal bonyolultabb, mint a matematikusok azt várták.

A térképek feltérképezése

Az alakzatok vagy topológiai terek osztályozása érdekében a matematikusok különbséget tesznek a lényeges és a nem lényeges különbségek között. A homotópiaelmélet egy olyan perspektíva, amelyből ezeket a különbségeket meg lehet tenni. A labdát és a tojást alapvetően ugyanannak a topológiai térnek tekinti, mert szakadás nélkül is hajlíthatjuk és nyújthatjuk a másikba. Ugyanígy a homotópiaelmélet is alapvetően különbözőnek tekinti a labdát és a belső csövet, mert a golyón egy lyukat kell tépni, hogy a belső csőbe deformálódjon.

A homotópia hasznos a topológiai terek osztályozásához – diagram létrehozásához az összes lehetséges alakzatról. Ez azért is fontos, hogy megértsünk valamit, ami a matematikusok számára fontos: a terek közötti térképek. Ha két topológiai térrel rendelkezik, a tulajdonságaik vizsgálatának egyik módja az, hogy olyan függvényeket keresünk, amelyek az egyik pontját a másikon lévő pontokká konvertálják vagy leképezik – adjunk meg egy pontot az A térben, és kapjunk egy pontot a B térben kimenetként, és ezt tegye az A összes pontjára.

Ha látni szeretné, hogyan működnek ezek a térképek, és miért világítják meg az érintett terek tulajdonságait, kezdje egy körrel. Most térképezze fel a kétdimenziós gömbre, amely egy labda felülete. Ennek végtelenül sok módja van. Ha a gömböt a Föld felszíneként képzeli el, a körét például bármely szélességi vonalra helyezheti. A homotópiaelmélet szemszögéből nézve mindegyik ekvivalens, vagy homotopikus, mert mindegyik lecsökkenhet egy pontra az északi vagy déli póluson.

Ezután térképezze fel a kört egy belső cső (egylyukú tórusz) kétdimenziós felületére. Ismétlem, ennek végtelenül sok módja van, és a legtöbb homotopikus. De nem mindegyik. A tórusz köré vízszintesen vagy függőlegesen elhelyezhet egy kört, és egyiket sem lehet simán a másikba deformálni. Ez két (a sok közül) módja annak, hogy egy kört leképezzünk a tóruszra, míg egy gömbre való leképezésnek csak egy módja van, ami a két tér közötti alapvető különbséget tükrözi: A tórusznak egy lyuk van, míg a gömbnek nincs.

Könnyű megszámolni, hogy a körből a kétdimenziós gömbbe vagy tóruszba milyen módon tudunk leképezni. Ismerős terek, amelyeket könnyű elképzelni. De a térképek számolása sokkal nehezebb, ha magasabb dimenziós terekről van szó.

Méretbeli különbségek

Ha két gömbnek azonos a mérete, mindig végtelenül sok térkép van közöttük. És ha a tér, ahonnan leképez, alacsonyabb dimenziójú, mint az a tér, amelyre leképez (mint például a kétdimenziós gömbre leképezett egydimenziós körre), mindig csak egy térkép van.

Részben ezért a térképek számlálása akkor a legérdekesebb, ha a tér, ahonnan a térképet készíti, nagyobb dimenzióval rendelkezik, mint a leképezett tér, például amikor egy hétdimenziós gömböt képez le egy háromdimenziós gömbre. Ilyen esetekben a térképek száma mindig véges.

"A gömbök közötti térképek általában érdekesebbek, ha a forrás nagyobb dimenzióval rendelkezik" - mondta Hahn.

Sőt, a térképek száma csak a méretek számának különbségétől függ (ha a méretek elég nagyok lesznek a különbséghez képest). Azaz a 73 dimenziós gömbből az 53 dimenziós gömbbe a térképek száma megegyezik a 225 dimenziós gömbből a 205 dimenziós gömbbe történő térképek számával, mert mindkét esetben a méretbeli különbség 20.

A matematikusok szeretnének tudni, hány térkép van a különböző dimenziójú terek között. Sikerült kiszámolniuk a térképek számát szinte minden méretkülönbségre 100-ig: 24 térkép van a gömbök között, ha a különbség 20, és 3,144,960 23 XNUMX, amikor az eltérés XNUMX.

De a térképek számának kiszámítása 100-nál nagyobb különbségekre kimeríti a modern számítási teljesítményt. Ugyanakkor a matematikusok nem fedeztek fel elegendő mintát a térképek számában ahhoz, hogy további extrapolációt végezzenek. Céljuk, hogy kitöltsenek egy táblázatot, amely megadja a térképek számát a méretbeli különbségekhez, de ez a cél nagyon távolinak tűnik.

„Ez nem az a kérdés, amire az unokáim életében teljes megoldást várok” – mondta a 76 éves Ravenel.

A teleszkópos sejtés előrejelzést ad arról, hogy a méretkülönbség növekedésével hogyan növekszik a térképek száma. Valójában azt jósolja, hogy a szám lassan növekszik. Ha igaz lett volna, egy kicsit könnyebbé tette volna a táblázat kitöltésének problémáját.

Kétség a hitetlenségbe

A teleszkóp-sejtés valószínűtlen módon kapta a nevét.

Ez abból indult ki, hogy nagyon nagy dimenziókban az alacsonyabb dimenziókban kialakult geometriai intuíció gyakran megbomlik, és nehéz a gömbök között térképeket megszámolni. De sejtésének megfogalmazásakor Ravenel megértette, hogy nem kell. A gömbök közötti térképek számlálása helyett egyszerűbb proxyszámlálást végezhet a gömbök és a teleszkópoknak nevezett objektumok között.

A teleszkópok egy zárt, magasabb dimenziós görbe másolatát tartalmazzák, mindegyik az előtte lévő görbe kicsinyített változata. A görbék sorozata egy tényleges összecsukható teleszkóp egymásba illeszkedő csöveihez hasonlít. „Bármilyen furcsán is hangzik ez a teleszkóp, amikor leírjuk, valójában könnyebben kezelhető tárgy, mint magával a gömbbel” – mondta Ravenel.

Ennek ellenére a gömbök sokféle módon leképezhetik a teleszkópokat, és a kihívás az, hogy tudjuk, mikor különböznek egymástól a térképek igazán.

Annak megállapításához, hogy két tér homotopikus-e, egy invariánsként ismert matematikai tesztre van szükség, amely a terek tulajdonságain alapuló számítás. Ha a számítás minden egyes mezőre eltérő értéket ad, akkor tudja, hogy ezek a homotópia szempontjából egyediek.

Sokféle invariáns létezik, és egyesek olyan különbségeket is érzékelhetnek, amelyekre más invariánsok vakok. A teleszkóp sejtése szerint egy Morava nevű invariáns E-elmélet (és szimmetriái) tökéletesen meg tud különböztetni minden térképet a gömbök és a teleszkópok között egészen a homotópiáig – vagyis ha Morava E-Az elmélet szerint a térképek különböznek egymástól, és ha azt mondja, hogy ugyanazok, akkor ugyanazok.

De 1989-re Ravenel kezdett kételkedni abban, hogy ez igaz. Szkepticizmusa az általa elvégzett számításokból derült ki, amelyek látszólag nem feleltek meg a sejtésnek. De csak abban az évben októberben, amikor egy hatalmas földrengés sújtotta az öböl környékét, miközben Berkeleyben tartózkodott, ezek a kétségek teljes hitetlenséggé kodifikálódtak.

„A földrengés után egy-két napon belül erre a következtetésre jutottam, ezért szeretem azt gondolni, hogy történt valami, ami miatt azt hittem, hogy nem igaz” – mondta Ravenel.

A teleszkópos sejtés megcáfolásához erősebb invariánst kellene találni, amely képes látni Morava dolgokat E- az elmélet nem tud. Évtizedekig nem volt elérhető ilyen invariáns, ami határozottan elérhetetlenné tette a sejtést. Az elmúlt évek fejlődése azonban megváltoztatta a helyzetet – és Burklund, Hahn, Levy és Schlank kihasználta ezt.

A kirobbanó egzotikum

Bizonyításuk egy algebrai eszközkészletre támaszkodik K-elmélet, amelyet az 1950-es években alapított Alexander Grothendieck, és az elmúlt évtizedben gyorsan fejlődött. Alkalmazásai vannak a matematikában, beleértve a geometriát is, ahol képes egy invariánst feltölteni.

A négy szerző algebrait használ K-elmélet mint kütyü: beírják Moravát E-elmélet, a kimenetük pedig egy új invariáns, amelyet algebrainak neveznek K- Morava fixpontjainak elmélete E-elmélet. Ezután ezt az új invariánst alkalmazzák térképekre a gömböktől a teleszkópokig, és bebizonyítják, hogy képes látni a Morava által készített térképeket. E- az elmélet nem tud.

És nem csak arról van szó, hogy ez az új invariáns még néhány térképet lát. Sokkal többet lát, sőt végtelenül többet. Annyira még, hogy igaz, hogy Morava E-Az elmélet alig karcolta a felszínt, amikor a térképek azonosításáról volt szó a gömböktől a távcsövekig.

A gömböktől a teleszkópokig végtelenül több térkép végtelenül több térképet jelent maguk között a gömbök között. Az ilyen térképek száma minden méretkülönbség esetén véges, de az új bizonyíték azt mutatja, hogy a szám gyorsan és kérlelhetetlenül növekszik.

A sok térkép egy nyugtalanító geometriai valóságra mutat: Annyi gömb van.

1956-ban John Milnor azonosította az első példákat az úgynevezett „egzotikus” szférákra. Ezek olyan terek, amelyek a homotópia szempontjából a tényleges szférává deformálhatók, de bizonyos értelemben eltérnek a szférától. Egzotikus szférák egyáltalán nem léteznek az első, kettes vagy harmadik dimenzióban, és senki sem fedezett fel példát rájuk a hetedik dimenzió alatt – az a dimenzió, ahol Milnor először találta meg őket. De ahogy a dimenzió nő, az egzotikus szférák száma robbanásszerűen megnő. A 16,256-ös dimenzióban 15 523,264, a 19-es dimenzióban XNUMX XNUMX darab található.

És bármennyire is hatalmasak ezek a számok, a teleszkóp-sejtés cáfolata azt jelenti, hogy sokkal-sokkal több van. A tiltottság azt jelenti, hogy több térkép van a gömbök között, mint azt várták, amikor Ravenel kijelentette a sejtést, és az egyetlen módja annak, hogy több térképet kapjunk, ha több gömböt kell feltérképezni.

A matematikában és a természettudományokban különböző haladástípusok léteznek. Az egyik fajta rendet teremt a káoszban. De egy másik fokozza a káoszt azáltal, hogy eloszlatja azokat a reménykeltő feltételezéseket, amelyek nem voltak igazak. A teleszkóp-sejtés cáfolata olyan. Ez elmélyíti a geometria összetettségét és növeli annak esélyét, hogy unokák sok generációja fog eljönni és elmenni, mielőtt valaki teljesen megérti a szférák közötti térképeket.

"Úgy tűnik, hogy a témában minden jelentős előrelépés azt sugallja, hogy a válasz sokkal bonyolultabb, mint azt korábban gondoltuk" - mondta Ravenel.