A számokkal való színezés törtekben mutatja a számtani mintákat

Egy évvel azután, hogy megkezdte Ph.D. Matematikából a McGill Egyetemen Matt Bowennek problémája volt. „Letettem a képesítő vizsgáimat, és borzalmasan teljesítettem” – mondta. Bowen biztos volt benne, hogy pontszámai nem tükrözik matematikai képességeit, és elhatározta, hogy bebizonyítja. Tavaly ősszel megtette, amikor tanácsadójával együtt Sabok Marcin, jelentős előrelépést tett néven ismert területen Ramsey elmélet.

A Ramsey teoretikusai csaknem egy évszázada bizonyítékokat gyűjtenek arra vonatkozóan, hogy a matematikai szerkezet ellenséges körülmények között is fennmarad. Szétszedhetnek nagy számhalmazokat, például egészeket vagy törteket, vagy feldarabolhatják a hálózat pontjai közötti kapcsolatokat. Ezután módot találnak annak bizonyítására, hogy bizonyos struktúrák elkerülhetetlenek, még akkor is, ha megpróbálja elkerülni azok létrehozását ügyes töréssel vagy szeleteléssel.

Amikor Ramsey teoretikusai egy számhalmaz felosztásáról beszélnek, gyakran a színezés nyelvét használják. Válasszon több színt: például piros, kék és sárga. Most rendeljen színt a gyűjtemény minden számához. Még ha véletlenszerűen vagy kaotikus módon teszi is ezt, bizonyos minták elkerülhetetlenül megjelennek mindaddig, amíg csak véges számú különböző színt használ, még akkor is, ha ez a szám nagyon nagy. A Ramsey teoretikusai megpróbálják megtalálni ezeket a mintákat, olyan strukturált számkészleteket keresve, amelyek „monokromatikusak”, ami azt jelenti, hogy mindegyik elemhez ugyanazt a színt rendelték.

Az első színezési eredmények a 19. század végére nyúlnak vissza. 1916-ra Issai Schur bebizonyította, hogy akárhogy színezed is a pozitív egész számokat (más néven természetes számokat), mindig lesz számpár. x és a y oly módon, hogy x, y, és azok összege x+y mind azonos színűek. A 20. század során a matematikusok továbbra is dolgoztak a színezési problémákon. 1974-ben Neil Hindman kiterjesztette Schur eredményét hogy az egész számok egy végtelen részhalmazát tartalmazza. Schur tételéhez hasonlóan Hindman tétele is érvényes, függetlenül attól, hogy a természetes számok hogyan vannak színezve (véges számú zsírkrétával). Nemcsak ezek az egész számok a Hindman-készletben azonos színűek, de ha összeadja bármelyik gyűjteményüket, az eredmény is ez a szín lesz. Az ilyen halmazok a páros számokhoz hasonlítanak abban, hogy ahogy a páros számok összege mindig páros, úgy a Hindman-halmazok bármelyikének összege is benne lenne abban a halmazban.

„A Hindman-tétel a matematika csodálatos darabja” – mondta Sabok. "Ez egy olyan történet, amiből filmet is készíthetünk."

De Hindman úgy gondolta, több is lehetséges. Úgy vélte, lehet találni egy tetszőleges nagy (de véges) monokromatikus halmazt, amely nemcsak a tagok összegét tartalmazza, hanem a szorzatokat is. "Évtizedek óta fenntartom, hogy ez tény" - mondta, majd hozzátette: "Nem állítom, hogy be tudom bizonyítani."

Hindman sejtése

Ha lemond az összegről, és csak azt akarja biztosítani, hogy a szorzatok azonos színűek legyenek, akkor egyszerűen adaptálhatja Hindman tételét úgy, hogy hatványozással alakítja át az összegeket szorzatokká (ahogyan egy diaszabály teszi).

Az összegekkel és termékekkel egyszerre birkózni azonban sokkal keményebb. „Nagyon nehéz rávenni őket, hogy beszéljenek egymással” – mondta Joel Moreira, a Warwicki Egyetem matematikusa. „Az összeadás és a szorzás kapcsolatának megértése – bizonyos értelemben ez az egész számelmélet alapja, majdnem.”

Még egy egyszerűbb változat is, amelyet Hindman először javasolt az 1970-es években, kihívást jelentett. Feltételezte, hogy a természetes számok bármely színének tartalmaznia kell egy monokromatikus halmazt a következő formában:x, y, xy, x+y} – két szám x és a y, valamint azok összegét és szorzatát. „Az emberek évtizedekig nem igazán haladtak a probléma megoldásában” – mondta Bowen. "És aztán hirtelen, 2010 körül az emberek egyre több dolgot kezdtek bizonygatni ezzel kapcsolatban."

Bowen értesült a {x, y, xy, x+y} problémát 2016-ban, a főiskola második félévében, amikor egyik professzora a Carnegie Mellon Egyetemen leírta a problémát az órán. Bowent megdöbbentette az egyszerűsége. „Ez egyike azoknak a klassz dolgoknak, ahol olyan, hogy nos, nem sokat tudok matekból, de ezt valahogy meg tudom érteni” – mondta.

2017-ben Moreira bizonyított hogy te tud mindig keressen egy monokromatikus halmazt, amely a négy kívánt elem közül hármat tartalmaz: x, xyés x + y. Eközben Bowen óvodás korában lazán töprengett a kérdésen. „Valójában nem tudtam megoldani a problémát” – mondta. – De nagyjából félévente visszatérnék hozzá. Gyenge teljesítménye után Ph.D. 2020-ban végzett érettségi vizsgákon megkétszerezte erőfeszítéseit. Néhány nappal később bebizonyította, hogy {x, y, xy, x+y} sejtés két szín esetére, ezt az eredményt Ron Graham már az 1970-es években bizonyította számítógép segítségével.

Ezzel a sikerrel Bowen a Sabokkal együttműködve tetszőleges számú színre kiterjesztette az eredményt. De gyorsan belegabalyodtak a technikai részletekbe. „A probléma összetettsége teljesen kontrollálhatatlanná válik, ha nagy a színek száma” – mondta Sabok. 18 hónapon keresztül próbálták kiszabadítani magukat, kevés szerencsével. „Ebben a másfél évben körülbelül egymillió téves bizonyítékunk volt” – mondta Sabok.

Egy nehézség különösen akadályozta meg a két matematikus fejlődését. Ha véletlenszerűen választ ki két egész számot, valószínűleg nem fogja tudni felosztani őket. Az osztás csak abban a ritka esetben működik, amikor az első szám többszöröse a másodiknak. Ez rendkívül korlátozónak bizonyult. Ezzel a felismeréssel Bowen és Sabok a {x, y, xy, x+y} sejtés helyett a racionális számokban (ahogy a matematikusok törteknek nevezik). Ott a számok abandonnal oszthatók.

Bowen és Sabok bizonyítása akkor a legelegánsabb, ha az összes érintett szín gyakran megjelenik a racionális számokban. A színek „gyakran” többféleképpen is megjelenhetnek. Mindegyikük a számegyenes nagy darabjait takarhatja. Vagy ez azt jelentheti, hogy nem utazhat túl messzire a számegyenesen anélkül, hogy minden színt látna. Általában azonban a színek nem felelnek meg az ilyen szabályoknak. Ilyen esetekben a racionális számokon belül a kis régiókra összpontosíthat, ahol a színek gyakrabban jelennek meg, magyarázta Sabok. „Itt történt a munka nagy része” – mondta.

2022 októberében Bowen és Sabok bizonyítékot tettek közzé arra vonatkozóan, hogy ha véges sok színnel színezi a racionális számokat, akkor lesz egy halmaz a következővel: {x, y, xy, x+y} amelynek minden eleme azonos színű. „Ez egy hihetetlenül okos bizonyíték” – mondta Imre Vezető a Cambridge-i Egyetemen. „Ismert eredményeket használ. De teljesen zseniálisan, nagyon eredeti és nagyon innovatív módon egyesíti őket.”

Rengeteg kérdés maradt. Lehet egy harmadik szám z hozzá kell adni a gyűjteményhez, az azt követő összegekkel és termékekkel együtt? Hindman legmerészebb jóslatainak kielégítése azt jelentené, hogy egy negyedik, egy ötödik és végül tetszőlegesen sok új számot kell hozzáadni a sorozathoz. Ehhez a racionális számoktól a természetes számok felé kell elmozdulni, és meg kell találni az utat a Bowen és Sabok erőfeszítéseit megzavaró osztási rejtély megkerülésére.

Leader úgy véli, hogy mivel Moreira, Bowen és Sabok mind a problémán dolgoznak, ez a bizonyíték talán nincs is messze. „Ezek a srácok különösen zseniálisnak tűnnek abban, hogy új módszereket találjanak a dolgokra” – mondta. "Tehát optimista vagyok, hogy ők vagy néhány kollégájuk megtalálja."

Sabok óvatosabb jóslataiban. De nem zár ki semmit. "A matematika egyik varázsa az, hogy mielőtt bizonyítékot kapsz, minden lehetséges" - mondta.