Bevezetés
A matematikusok évszázadok óta igyekeztek megérteni és modellezni a folyadékok mozgását. Azok az egyenletek, amelyek leírják, hogy a hullámok hogyan gyűrik meg a tó felszínét, szintén segítettek a kutatóknak az időjárás előrejelzésében, jobb repülőgépek tervezésében és annak jellemzésében, hogy a vér hogyan áramlik át a keringési rendszeren. Ezek az egyenletek megtévesztően egyszerűek, ha a megfelelő matematikai nyelven írják őket. Megoldásaik azonban olyan összetettek, hogy a velük kapcsolatos alapvető kérdéseket is rendkívül nehéz lehet értelmezni.
A Leonhard Euler által több mint 250 évvel ezelőtt megfogalmazott egyenletek közül talán a legrégebbi és legjelentősebb egy ideális, összenyomhatatlan folyadék áramlását írja le: olyan folyadék, amelynek nincs viszkozitása vagy belső súrlódása, és amelyet nem lehet kisebb térfogatra kényszeríteni. „Majdnem minden nemlineáris folyadékegyenlet az Euler-egyenletekből származik” – mondta. Tarek Elgindi, matematikus a Duke Egyetemen. – Mondhatni, ők az elsők.
Sok minden azonban ismeretlen maradt az Euler-egyenletekkel kapcsolatban – beleértve azt is, hogy mindig az ideális folyadékáramlás pontos modellje-e. A folyadékdinamika egyik központi problémája annak kiderítése, hogy az egyenletek valaha is meghibásodnak-e, és értelmetlen értékeket adnak ki, amelyek miatt nem tudják megjósolni a folyadék jövőbeli állapotát.
A matematikusok régóta gyanítják, hogy léteznek olyan kezdeti feltételek, amelyek az egyenletek felbomlását okozzák. De nem tudták bizonyítani.
In egy előnyomat A múlt hónapban online közzétett matematikuspár kimutatta, hogy az Euler-egyenletek egy bizonyos változata néha valóban meghibásodik. A bizonyítás jelentős áttörést jelent – és bár nem oldja meg teljesen a problémát az egyenletek általánosabb változatánál, reményt ad arra, hogy egy ilyen megoldás végre elérhető közelségbe kerül. „Ez egy csodálatos eredmény” – mondta Tristan Buckmaster, a Marylandi Egyetem matematikusa, aki nem vett részt a munkában. "A szakirodalomban nincs ilyen eredmény."
Csak egy fogás van.
A 177 oldalas bizonyítvány – egy évtizedes kutatási program eredménye – jelentős mértékben kihasználja a számítógépeket. Ez vitathatatlanul megnehezíti más matematikusok számára ennek igazolását. (Valójában még mindig dolgoznak, bár sok szakértő úgy véli, hogy az új munka helyesnek bizonyul majd.) Ez arra is rákényszeríti őket, hogy filozófiai kérdésekkel számoljanak azzal kapcsolatban, hogy mi a „bizonyíték” és mi lesz az. Ez azt jelenti, hogy az ilyen fontos kérdések megoldásának egyetlen járható módja a számítógépek segítségével.
A Szörnyeteg meglátása
Elvileg, ha ismeri az egyes részecskék helyét és sebességét egy folyadékban, az Euler-egyenleteknek képesnek kell lenniük arra, hogy megjósolják, hogyan fog a folyadék minden időre fejlődni. De a matematikusok tudni akarják, hogy ez valóban így van-e. Lehetséges, hogy bizonyos helyzetekben az egyenletek a várt módon fognak haladni, pontos értékeket hozva létre a folyadék állapotára az adott pillanatban, csak akkor, ha az egyik ilyen érték hirtelen az egekbe szökik a végtelenbe. Ezen a ponton az Euler-egyenletekről azt mondják, hogy „szingularitást” eredményeznek – vagy ami még drámaibb: „felrobbannak”.
Amint elérik ezt a szingularitást, az egyenletek többé nem lesznek képesek kiszámítani a folyadék áramlását. De "néhány évvel ezelőtt az, amit az emberek képesek voltak megtenni, nagyon-nagyon messze elmaradt a [bizonyított robbantástól]" – mondta. Charlie Fefferman, matematikus a Princeton Egyetemen.
Ez még bonyolultabbá válik, ha olyan folyadékot próbál modellezni, amelynek viszkozitása van (ahogyan szinte az összes valós folyadék teszi). A Clay Mathematics Institute egy millió dolláros millenniumi díja várja mindazokat, akik be tudják bizonyítani, hogy előfordulnak-e hasonló hibák a Navier-Stokes-egyenletekben, az Euler-egyenletek viszkozitást jelentő általánosításában.
A 2013, Thomas Hou, a California Institute of Technology matematikusa és Guo Luo, jelenleg a hongkongi Hang Seng Egyetemen egy olyan forgatókönyvet javasolt, amelyben az Euler-egyenletek szingularitáshoz vezetnének. Kifejlesztettek egy olyan hengerben lévő folyadék számítógépes szimulációját, amelynek felső fele az óramutató járásával megegyezően, míg az alsó fele az óramutató járásával ellentétes irányban. Ahogy lefuttatták a szimulációt, bonyolultabb áramok kezdtek fel-le mozogni. Ez viszont furcsa viselkedéshez vezetett a henger határa mentén, ahol az ellentétes áramlások találkoztak. A folyadék örvényessége – a forgás mértéke – olyan gyorsan nőtt, hogy úgy tűnt, készen áll a felrobbanásra.
Hou és Luo munkája szuggesztív volt, de nem igazi bizonyíték. Ennek az az oka, hogy a számítógép nem képes végtelen értékeket kiszámítani. Nagyon közel kerülhet a szingularitás észleléséhez, de valójában nem érheti el – ami azt jelenti, hogy a megoldás nagyon pontos lehet, de ez még mindig közelítés. Matematikai bizonyítékok alátámasztása nélkül az örvényesség értéke csak úgy tűnhet, hogy a végtelenségig nő a szimuláció valamely műterméke miatt. Ehelyett a megoldások hatalmas számra nőhetnek, mielőtt ismét alábbhagynak.
Ilyen megfordítások már korábban is előfordultak: A szimuláció azt jelezné, hogy az egyenletek egy értéke felrobbant, de a kifinomultabb számítási módszerek az ellenkezőjét mutatják. „Ezek a problémák annyira kényesek, hogy az utat tele vannak a korábbi szimulációk roncsai” – mondta Fefferman. Valójában így kezdett el Hou ezen a területen: több korábbi eredménye cáfolta a hipotetikus szingularitások kialakulását.
Mégis, amikor ő és Luo közzétették a megoldásukat, a legtöbb matematikus úgy gondolta, hogy ez egy igazi szingularitás. „Nagyon aprólékos volt, nagyon precíz” – mondta Vlagyimir Sverak, a Minnesota Egyetem matematikusa. „Nagyon mindent megtettek annak megállapítására, hogy ez valós forgatókönyv.” Elgindi, Sverak és mások későbbi munkái csak megerősítette ezt a meggyőződést.
De a bizonyíték megfoghatatlan volt. – Láttad a fenevadat – mondta Fefferman. – Akkor próbáld meg elkapni. Ez azt jelentette, hogy meg kell mutatni, hogy a hozzávetőleges megoldás, amelyet Hou és Luo gondosan szimulált, bizonyos matematikai értelemben nagyon-nagyon közel áll az egyenletek pontos megoldásához.
Most, kilenc évvel az első meglátás után, Hou és egykori végzős diákja Jiajie Chen végre sikerült bebizonyítani ennek a közeli szingularitásnak a létezését.
Költözés önhasonló földre
Hou, akihez később Chen is csatlakozott, kihasználta azt a tényt, hogy közelebbről megvizsgálva a 2013-as hozzávetőleges megoldás sajátos szerkezetűnek tűnt. Ahogy az egyenletek az idők során fejlődtek, a megoldás egy úgynevezett önhasonló mintát jelenített meg: alakja később nagyon hasonlított korábbi alakjához, csak egy meghatározott módon átméretezték.
Ennek eredményeként a matematikusoknak nem kellett magát a szingularitást vizsgálniuk. Ehelyett közvetetten tanulmányozhatták, egy korábbi időpontra összpontosítva. A megoldás adott részének megfelelő sebességgel való nagyításával – a megoldás önhasonló szerkezete alapján – modellezhetik, mi fog történni később, beleértve magát a szingularitást is.
Beletelt néhány évbe, mire megtalálták a 2013-as robbantásos forgatókönyvhöz hasonló analógot. (Az év elején egy másik matematikuscsapat, amelybe Buckmaster is tartozott, különböző módszereket alkalmazott hasonló közelítő megoldást találni. Jelenleg ezt a megoldást használják a szingularitás kialakulásának független bizonyítékának kidolgozására.)
Egy hozzávetőlegesen hasonló megoldással a kezében Hounak és Chennek meg kellett mutatnia, hogy létezik egy pontos megoldás a közelben. Matematikailag ez egyenértékű annak bizonyításával, hogy a hozzávetőleges önhasonló megoldásuk stabil – még ha kissé megzavarná is, majd az egyenleteket ezektől a zavart értékektől kezdve fejlesztené ki, akkor sem lehetne elkerülni egy kis környéket. közelítő megoldás. – Olyan, mint egy fekete lyuk – mondta Hou. "Ha egy közeli profillal kezdesz, be lesz szívva."
Az általános stratégia azonban csak egy lépés volt a megoldás felé. – A nyűgös részletek számítanak – mondta Fefferman. Miközben Hou és Chen az elkövetkező néhány évet ezen részletek kidolgozásával töltötte, rájöttek, hogy ismét a számítógépekre kell hagyatkozniuk – de ezúttal teljesen új módon.
Hibrid megközelítés
Az első kihívások között az volt, hogy kitalálják a pontos állítást, amelyet bizonyítaniuk kellett. Meg akarták mutatni, hogy ha bármilyen értékhalmazt vesznek közel a hozzávetőleges megoldásukhoz, és beillesztik az egyenletekbe, akkor a kimenet nem tud messzire elkalandozni. De mit jelent az, hogy egy bemenet „közel” van a közelítő megoldáshoz? Ezt matematikai állításban kellett megadniuk – de ebben az összefüggésben sokféleképpen lehet meghatározni a távolság fogalmát. Ahhoz, hogy a bizonyítás működjön, ki kellett választaniuk a megfelelőt.
„Különböző fizikai hatásokat kell mérnie” – mondta Rafael de la Llave, a Georgia Institute of Technology matematikusa. "Tehát a probléma mély megértése alapján kell kiválasztani."
Miután megtalálták a megfelelő módszert a „közelség” leírására, Hou-nak és Chennek bizonyítania kellett az állítást, amely egy bonyolult egyenlőtlenséghez vezetett, amelyben mind az átskálázott egyenletek, mind a közelítő megoldás kifejezései szerepeltek. A matematikusoknak meg kellett győződniük arról, hogy ezeknek a kifejezéseknek az értékei kiegyenlítődnek valami nagyon kicsire: Ha az egyik érték nagy lett, a többi értéknek negatívnak kellett lennie, vagy kordában kell tartania.
„Ha egy kicsit túl nagyot vagy egy kicsit túl kicsikét készítesz, az egész összeomlik” – mondta Javier Gómez-Serrano, matematikus a Brown Egyetemen. – Szóval nagyon-nagyon körültekintő, kényes munka.
„Ez egy igazán ádáz küzdelem” – tette hozzá Elgindi.
Hou és Chen két nagy részre bontotta az egyenlőtlenséget, hogy elérjék a szükséges szűk határokat mindezen eltérő feltételek mellett. Az első részt kézzel tudták megoldani, olyan technikákkal, amelyek a 18. századra nyúlnak vissza, amikor a francia matematikus, Gaspard Monge a talaj szállításának optimális módját kereste Napóleon hadseregének erődítményeinek építéséhez. "Ilyen dolgokat csináltak már, de feltűnőnek találtam, hogy [Hou és Chen] erre használta" - mondta Fefferman.
Így maradt az egyenlőtlenség második része. A megoldáshoz számítógépes segítségre lenne szükség. Kezdetnek annyi számítást kellett elvégezni, és akkora pontosságra volt szükség, hogy „a ceruzával és papírral végzendő munka mennyisége megdöbbentő lenne” – mondta de la Llave. A különböző kifejezések kiegyensúlyozása érdekében a matematikusoknak egy sor optimalizálási feladatot kellett végrehajtaniuk, amelyek viszonylag egyszerűek a számítógépek számára, de rendkívül időigényesek az emberek számára. Egyes értékek a közelítő megoldásból származó mennyiségektől is függtek; mivel ezt számítógéppel számították ki, egyszerűbb volt számítógépet is használni a további számítások elvégzéséhez.
"Ha megpróbálja manuálisan elvégezni néhány ilyen becslést, akkor valószínűleg túlbecsüli egy bizonyos ponton, és akkor veszít" - mondta Gómez-Serrano. „A számok olyan aprók és szűkek… a margó pedig hihetetlenül vékony.”
De mivel a számítógépek nem tudnak végtelen számú számjegyet manipulálni, elkerülhetetlenül előfordulnak apró hibák. Hounak és Chennek gondosan nyomon kellett követnie ezeket a hibákat, hogy megbizonyosodjon arról, hogy nem zavarják az egyensúlyozás többi részét.
Végül sikerült megtalálniuk az összes kifejezés határait, és ezzel befejezték a bizonyítást: az egyenletek valóban szingularitást hoztak létre.
Számítógépes igazolás
Nyitott marad, hogy bonyolultabb egyenletek – a hengeres határ jelenléte nélküli Euler-egyenletek és a Navier-Stokes egyenletek – képesek-e szingularitást kialakítani. "De [ez a munka] legalább reményt ad nekem" - mondta Hou. „Látok egy utat előre, módot arra, hogy talán végül megoldjuk a teljes millenniumi problémát.”
Eközben Buckmaster és Gómez-Serrano egy számítógéppel segített bizonyítványon dolgoznak – reményeik szerint egy általánosabb lesz, és ezért nem csak a Hou és Chen által megoldott problémát képes megbirkózni, hanem sok más problémát is.
Ezek az erőfeszítések egy növekvő tendenciát jeleznek a folyadékdinamika területén: a számítógépek használatát fontos problémák megoldására.
„A matematika számos különböző területén ez egyre gyakrabban fordul elő” – mondta Susan Friedlander, a Dél-Kaliforniai Egyetem matematikusa.
De a folyadékmechanikában a számítógéppel segített bizonyítás még viszonylag új technika. Valójában, ami a szingularitás kialakulásával kapcsolatos kijelentéseket illeti, Hou és Chen bizonyítéka az első a maga nemében: a korábbi számítógéppel segített bizonyítások csak a játékproblémák megoldására voltak képesek a területen.
Az ilyen bizonyítékok nem annyira ellentmondásosak, mint inkább „ízlés kérdése” – mondta Konstantin Péter a Princetoni Egyetemen. A matematikusok általában egyetértenek abban, hogy a bizonyítéknak meg kell győznie más matematikusokat arról, hogy bizonyos érvelések helyesek. Sokan azonban úgy érvelnek, hogy javítania kell annak megértésében, hogy egy adott állítás miért igaz, ahelyett, hogy egyszerűen igazolná, hogy helyes-e. „Megtanulunk valami alapvetően újat, vagy csak a választ tudjuk a kérdésre?” – mondta Elgindi. "Ha a matematikát művészetnek tekinti, akkor ez nem annyira esztétikus."
„Egy számítógép segíthet. Ez csodálatos. Betekintést ad. De ez nem ad teljes megértést” – tette hozzá Constantin. – A megértés tőlünk származik.
A maga részéről Elgindi továbbra is abban reménykedik, hogy teljes egészében kézzel ki tudja dolgozni a robbantás alternatív bizonyítékát. „Összességében örülök, hogy ez létezik” – mondta Hou és Chen munkájáról. "De inkább motivációnak tekintem, hogy kevésbé számítógép-függő módon próbáljam meg csinálni."
Más matematikusok a számítógépeket létfontosságú új eszköznek tekintik, amely lehetővé teszi a korábban megoldhatatlan problémák megtámadását. „Most már nem csak papír és ceruza a munka” – mondta Chen. – Lehetősége van valami erősebbet használni.
Ő és mások szerint (beleértve Elgindit is, annak ellenére, hogy személyesen szereti a bizonyítást kézzel írni), jó esély van arra, hogy a folyadékdinamika nagy problémáinak – vagyis az egyre bonyolultabb egyenleteket tartalmazó problémáknak – megoldásának egyetlen módja az, ha támaszkodunk. sokat számít a számítógépes segítségnyújtásra. „Számomra úgy tűnik, hogy ezt a számítógéppel segített bizonyítások nagy igénybevétele nélkül próbálni megtenni olyan, mintha egy vagy esetleg két kezét a hátunk mögé kötnénk” – mondta Fefferman.
Ha végül ez a helyzet, és „nincs más választásod”, mondta Elgindi, „akkor az olyan embereknek… mint én, akik azt mondanák, hogy ez szuboptimális, maradjanak csendben”. Ez azt is jelentené, hogy több matematikusnak kellene elkezdenie elsajátítania a számítógéppel segített bizonyítások írásához szükséges készségeket – amit Hou és Chen munkája remélhetőleg inspirál majd. „Azt hiszem, sokan voltak, akik egyszerűen arra vártak, hogy valaki megoldjon egy ilyen problémát, mielőtt saját idejét fektette volna ebbe a megközelítésbe” – mondta Buckmaster.
Ennek ellenére, amikor arról van szó, hogy a matematikusoknak milyen mértékben támaszkodniuk kell a számítógépekre, akkor „nem arról van szó, hogy egy oldalt kell választani” – mondta Gómez-Serrano. „[Hou és Chen] bizonyítása nem működne az elemzés nélkül, és a bizonyítás sem működne számítógépes segítség nélkül. … Szerintem az az érték, hogy az emberek beszélik a két nyelvet.”
Ezzel de la Llave azt mondta: „Új játék van a városban”.
