Az „entrópia bagelek” és más összetett struktúrák egyszerű szabályokból származnak | Quanta Magazin

Az ismétlésnek nem kell mindig unalmasnak lennie. A matematikában ez egy hatalmas erő, amely megdöbbentő összetettséget képes generálni.

A matematikusok még több évtizedes tanulmányozás után sem tudják megválaszolni a nagyon egyszerű szabályok – a legalapvetőbb „dinamikus rendszerek” – ismételt végrehajtásával kapcsolatos kérdéseket. Ám amikor ezt megpróbálták megtenni, mély összefüggéseket tártak fel e szabályok és a matematika más látszólag távoli területei között.

Például a Mandelbrot-készlet, amelyet I írta múlt hónapban, egy térkép egy függvénycsaládról – amelyet az egyenlet ír le f(x) = x² + c - értékeként viselkedik c az úgynevezett komplex sík felett terjed. (Eltérően a valós számoktól, amelyek egy egyenesre helyezhetők, a komplex számoknak két összetevője van, amelyeket a x- és a y-egy kétdimenziós sík tengelyei.)

Bármennyire is nagyítod a Mandelbrot készletet, mindig újszerű minták születnek, korlátlanul. „Még most is teljesen elképesztő számomra, hogy ez a nagyon összetett struktúra ilyen egyszerű szabályokból alakul ki” – mondta. Matthew Baker a Georgia Institute of Technology. "Ez a 20. század egyik igazán meglepő felfedezése."

A Mandelbrot-halmaz összetettsége részben azért merül fel, mert olyan számokkal van meghatározva, amelyek önmagukban is összetettek. De talán meglepő módon nem ez a teljes történet. Még akkor is, ha c egy egyszerű valós szám, mint például a –3/2, mindenféle furcsa jelenség előfordulhat. Senki sem tudja, mi történik, ha ismételten alkalmazzuk az egyenletet f(x) = x² – 3/2, minden egyes kimenetet az iterációnak nevezett folyamat következő bemeneteként használva. Ha innen kezdi az iterációt x = 0 (a másodfokú egyenlet „kritikus pontja”), nem világos, hogy olyan sorozatot fog-e létrehozni, amely végül egy ismétlődő értékciklus felé konvergál, vagy olyat, amely a végtelenségig kaotikus mintában ugrál.

Az értékekhez c -2-nél kisebb vagy 1/4-nél nagyobb, az iteráció gyorsan a végtelenségig terjed. De ezen az intervallumon belül végtelenül sok értéke van c köztudottan kaotikus viselkedést vált ki, és végtelenül sok olyan eset, mint a –3/2, ahol „nem tudjuk, mi történik, pedig szuper konkrét” – mondta. Giulio Tiozzo a Torontói Egyetemen.

De az 1990-es években a Stony Brook Egyetem matematikusa Misha Lyubich, aki kiemelkedő szerepet kapott a Mandelbrot-készletről szóló beszámolómban, bizonyított hogy a –2 és 1/4 közötti intervallumban az értékek túlnyomó többsége a c szép „hiperbolikus” viselkedést produkálnak. (A matematikusok Jacek Graczyk és Grzegorz Swiatek önállóan bizonyított az eredmény körülbelül ugyanabban az időben.) Ez azt jelenti, hogy a megfelelő egyenletek iterálva egyetlen értékhez vagy ismétlődő számciklushoz konvergálnak.

Egy évtizeddel később matematikusok triója kimutatta, hogy a legtöbb érték a c nemcsak másodfokú egyenletek esetén hiperbolikusak, hanem a bármely valódi polinomcsalád (általánosabb függvények, amelyek a hatványokra emelt változókat kombinálják, pl x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). És most az egyikük, Sebastian van Strien A londoni Imperial College munkatársa úgy véli, hogy bizonyítéka van ennek a tulajdonságnak az egyenletek még szélesebb osztályára, amelyet valós analitikus függvényeknek neveznek, és amelyek magukban foglalják a szinusz-, koszinusz- és exponenciális függvényeket. Van Strien reményei szerint májusban bejelentheti az eredményt. Ha a szakértői értékelés után is megállja a helyét, az jelentős előrelépést jelent a valódi egydimenziós rendszerek viselkedésének jellemzésében.

Valószínűtlen kereszteződések és entrópia bagelek

Végtelenül sok valós másodfokú egyenlet létezik, amelyekről ismert, hogy nulláról iterálva ismétlődő számciklust hoznak létre. De ha korlátozza c a racionális értékekhez – azokhoz, amelyek törtként írhatók fel – végül csak három érték generál periodikus sorozatot: 0, –1 és –2. „Ezek a dinamikus rendszerek nagyon-nagyon különlegesek” – mondta Clayton Petsche az Oregon Állami Egyetemen.

In egy papír tavaly megjelent Petsche és Chatchai Noytaptim A Waterloo Egyetem munkatársa bebizonyította, hogy még különlegesebbek, mint amilyennek első pillantásra tűnnek. A matematikusok a „teljesen valós” számokat vizsgálták, amelyek szigorúbbak, mint a valós számok, de kevésbé korlátozóak, mint a racionális számok.

Ha egy számot csatlakoztatunk egy polinomhoz, és nulla kimenetet kapunk, akkor ez a szám a polinom megoldása vagy gyöke. Például a 2 a gyöke f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30, és végtelenül sok más egyenlet. Az ilyen polinomoknak lehetnek valós vagy összetett gyökök. (Például a gyökerei x² A + 1 a –1 négyzetgyöke, így írva iés -i - mindkét komplex szám.)

Egy szám akkor teljesen valós, ha kielégít egy egész együtthatós polinomegyenletet, amelynek csak valós gyöke van. Minden racionális szám teljesen valós, de néhány irracionális szám is. Például a $latex sqrt{2}$ teljesen valós, mert megoldást nyújt erre f(x) = x² – 2, amelynek csak valódi gyökerei vannak ($latex sqrt{2}$ és „testvér” gyökér $latex -sqrt{2}$). De a 2 kockagyöke, $latex sqrt[3]{2}$, nem teljesen valós. Ez egy megoldás arra f(x) = x³ – 2, amelynek további két testvérgyöke van, más néven Galois konjugátumok, amelyek összetettek.

Petsche és Noytaptim bebizonyította, hogy nincsenek olyan irracionális, teljesen valós számok, amelyek végül periodikus ciklusokat hoznának létre. Inkább 0, –1 és –2 az egyetlen teljesen valós szám, amely ezt teszi. Valószínűtlen metszéspontot jelentenek két látszólag különböző világ – a számelmélet (az egész számok tanulmányozása) és a dinamikus rendszerek – tulajdonságai között. Petsche és Noytaptim fontos számelméleti eredményeket használt fel bizonyítása során, kiemelve a két terület közötti kapcsolatot.

A matematikusok Xavier Buff és a Sarah Koch talált egy másik valószínűtlen kereszteződés. Megmutatták, hogy csak négy teljesen valós értéke c – 1/4, –3/4, –5/4 és –7/4 – egy bizonyos, jól érthető típusú sorozatot generál, amelyet parabolikus ciklusnak neveznek.

A Galois-konjugátumok megnyitották az utat az „entrópia bagelnek” nevezett titokzatos objektum felfedezéséhez is, amely egy izzó fraktálgyűrű a komplex síkban. Az entrópia a véletlenszerűség mértéke; ebben az összefüggésben azt méri, hogy mennyire nehéz megjósolni az iteráció által generált számsort x² + c. Az utolsó dolgozata, amit írt Mielőtt 2012-ben meghalt, a neves topológus, William Thurston felrajzolta az entrópiaértékek halmazát, amelyek csaknem egymilliárd különböző valós értéknek felelnek meg. c — az entrópiaértékek Galois-konjugátumaival együtt, amelyek összetettek is lehetnek. Az entrópia fogalma „csak a valós vonalon van, de valahogy még mindig látható az összetett világ árnyéka” – mondta Tiozzo.

„Látod, hogy ez a hihetetlen csipkés fraktálszerkezetbe szerveződik” – mondta Koch. "Ez nagyon menő." Az entrópia bagel csak egy nagyon bonyolult minta, amely a valós másodfokú egyenletek iterációjából jön létre. „Még mindig tanuljuk ezeket a varázslatos kijelentéseket – kis drágaköveket – a valódi másodfokú polinomokról” – tette hozzá. „Mindig visszatérhetsz, és meglepődhetsz azon, amiről azt hitted, hogy nagyon jól ismersz.”