Hogyan beszélhet valaki teljes bizonyossággal a végtelenről? Mit tudhatunk valójában a titokzatos prímszámokról anélkül, hogy mindegyiket ismernénk? Ahogy a tudósoknak adatokra van szükségük hipotéziseik értékeléséhez, a matematikusoknak bizonyítékokra van szükségük a sejtések bizonyításához vagy cáfolásához. De mi számít bizonyítéknak a számelmélet megfoghatatlan területén? Ebben az epizódban Steven Strogatz beszél vele Melanie Matchett Wood, a Harvard Egyetem matematikaprofesszora, hogy megtudja, hogyan segíthet a valószínűség és a véletlenszerűség bizonyítékok felállításában a matematikusoktól megkövetelt légmentes érvek mellett.
Figyelj Apple Podcastok, Spotify, Google Podcastok, Fűzőgép, TuneIn vagy kedvenc podcast-alkalmazását, vagy megteheti onnan streamelni Quanta.
Másolat
Steven Strogatz (00:02): Steve Strogatz vagyok, és ez az A miért öröme, egy podcast innen Quanta Magazine ez a matematika és a természettudomány mai legnagyobb megválaszolatlan kérdései közé vezet. Ebben az epizódban arról fogunk beszélni bizonyítékok a matematikában. Milyen bizonyítékokat használnak a matematikusok? Mi készteti őket arra, hogy gyanakodjanak, hogy valami igaz lehet, még mielőtt vízhatlan bizonyítékuk lenne?
(00:26) Paradoxonnak tűnhet, de kiderül, hogy a valószínűségszámításon, a véletlenek és véletlenszerűségek tanulmányozásán alapuló érvelés néha elvezethet ahhoz, amit a matematikusok valójában keresnek, ami a bizonyosság, nem csak a valószínűség. Például a matematika számelméletként ismert ágában régóta használják a véletlenszerűséget, hogy segítsenek a matematikusoknak kitalálni, mi az igaz. Most a valószínűséget használják fel arra, hogy bebizonyítsák, mi az igaz.
(00:53) Itt a prímszámokra fogunk összpontosítani. Valószínűleg emlékszel a prímszámokra, igaz? Az iskolában tanultál róluk. A prímszám 1-nél nagyobb egész szám, amely csak 1-gyel és önmagával osztható. Például 7 vagy 11. Ezek prímszámok, de a 15 nem azért van, mert a 15 egyenlően osztható 3-mal vagy 5-tel. A prímszámokat a kémia periódusos rendszerének elemeihez hasonlónak tekinthetjük. hogy ők az összes többi számot alkotó oszthatatlan atomok.
(01:27) A prímszámoknak egyszerűnek kell lenniük, de a matematika egyik legnagyobb rejtélye a prímszámokkal kapcsolatos kérdések. Egyes esetekben több száz éve felmerülő kérdések. Valójában van valami nagyon finom a prímszámokban. Úgy tűnik, a rend és a véletlenszerűség határvidékén élnek. Mai vendégem abban segít, hogy jobban megértsük a matematikai bizonyítékok természetét, és különösen azt, hogy a véletlenszerűség hogyan és miért árul el annyit a prímszámokról, és miért lehetnek olyan hasznosak a valószínűségen alapuló modellek a számelmélet élvonalában. Melanie Matchett Wood, a Harvard Egyetem matematikaprofesszora most csatlakozik hozzám, hogy mindezt megvitassa. Isten hozott, Melanie!
Melanie Matchett Wood (02:09): Szia, jó veled beszélgetni.
Strogatz (02:11): Nagyon jó veled beszélgetni, nagy rajongója vagyok. Beszéljünk a matematikáról és a természettudományról egymáshoz viszonyítva, mert a szavak gyakran összeszoknak, és mégis, a matematikában a bizonyítás és bizonyosság megszerzésére használt technikák némileg eltérnek attól, amit a természettudományban próbálunk megvalósítani. Például, amikor a matematikai bizonyítékgyűjtésről beszélünk, miben ugyanaz, vagy miben különbözik a tudományos módszerekkel történő bizonyítékgyűjtéstől a tudományban?
Wood (02:38): A matematikai bizonyítás egy teljesen légmentes, teljes logikai érvelés amellett, hogy bizonyos matematikai állításoknak így kell lenniük, és nem is lehetne másképp. Tehát ellentétben egy tudományos elmélettel – amely a mai bizonyítékok alapján a legjobb, amivel rendelkezünk, de több bizonyítékot fogunk kapni, tudod, a következő 10 évben, és talán lesz egy új elmélet – egy matematikai bizonyíték. azt mondja, hogy valamilyen állításnak így kell lennie, nem fedezhetjük fel, hogy 10 vagy 20 év múlva rossz lesz.
Strogatz (03:17): Nos, milyen dolgok számítanak bizonyítéknak a matematikában?
Wood (03:19): Tehát sok példából láthatja, hogy valami igaz. És abból kiindulva, hogy ez sok példában igaz, ami talán azt mondhatná, hogy bizonyíték lenne erre a tényre, sejthetsz, amit a matematikusok sejtésnek, sejtésnek neveznek, hogy valami igaz. De akkor a matematikusok azt akarják, hogy bizonyíték legyen arra, hogy az a dolog, amit oly sok példában láttál, mindig úgy működne, ahogyan azt állítod.
Strogatz (03:49): Igaz, nagyon különbözik a bizonyítékok súlyától. Ez annak a kijelentése, hogy megvan az oka annak, hogy valami örökké, mindörökké igaz lesz, minden esetben.
Wood (03:58): És nem csak „na jó, millió esetet néztem meg, és ez mindegyikre igaz”. Ez okot ad arra, hogy azt feltételezzük, hogy ez mindig igaz. De a matematikában különbséget teszünk egy ilyen feltételezés között, amely sok eseten vagy bizonyítékon alapulhat, és egy tétel vagy egy bizonyítás között, amely azt mondja, hogy ez minden esetben működni fog, még azokban is, amelyekben van. nem próbáltam.
Strogatz (04:25): Csak arról van szó, hogy a matematikusok természetüknél fogva igényesek, vagy vannak olyan esetek, amikor valami olyasmi, ami igaznak tűnt, néhány nagyon sok lehetőség erejéig végül nem igaz egy másik nagy számon túl ?
Wood (04:39): Ó, ez egy nagyszerű kérdés. Nos, itt van egy példa, ami tetszik, mert szeretem a prímszámokat. Tehát, ahogy végigmész a prímszámokon – 2, 3, 5, 7 – azon dolgok egyikén, amelyeket megtehetsz, ránézhetsz, és azt mondhatod: „Hé, oszthatók 2-vel?” És kiderül, hogy nem túl érdekes. 2 után egyik sem osztható 2-vel. Mind páratlan.
(05:10) És akkor azt gondolhatja, hogy „jó, oszthatók 3-mal?” És persze 3 után ezek sem oszthatók 3-mal, hiszen prímek. Azonban észreveheti, hogy némelyikük, ha elosztja őket 3-mal, 1 maradékot kap, ami 1-gyel több, mint a 3 többszöröse. Tehát például 7, ami 1-gyel több, mint 6, vagy 13 , ami 1-gyel több, mint 12. És néhány prímszám, például 11 vagy 17, ami 2-vel több, mint 15, 2-vel több marad, ha elosztja őket 3-mal, mert 2-vel nagyobbak, mint egy 3 többszöröse.
(05:47) És így ezekre a prímekre csapatban is gondolhat. Az 1. csapat mindazok, amelyek 1-gyel többek a 3 többszörösénél, a 2. csapat pedig mindazok, amelyek 2-vel nagyobbak a 3 többszörösénél. És ahogy végigmész a prímszámokon, és felsorolod a prímeket, felsorolhatod az összes prímszámok és összeszámolhat, és megnézheti, hányan vannak az 1-es csapatban, és hányan a 2-es csapatban. És ha ezt összeszámolná 600 milliárdig, minden ponton, minden szám 600 milliárdig, akkor azt találná, hogy több a 2. csapat prímje, mint az 1. csapat prímje. Tehát ezen bizonyítékok alapján természetesen azt sejtheti, hogy mindig több lesz a 2. csoport prímje, mint az 1. csapat prímje.
Strogatz (06:33): Persze. Teljesen úgy hangzik.
Wood: Kiderült, hogy egy 608 milliárd körüli számnál elfelejtem a pontos számot, megváltozik.
Strogatz (06:46): Ó, gyerünk.
Wood: Igen, tényleg változik. És most hirtelen az 1-es csapat áll az élen. Tehát ez egy -
Strogatz (06:53): Várj egy kicsit. Várj, de ez csodálatos. Mi – most, folyamatosan változnak? Tudjuk, mi történik, miközben folytatod? Folyamatosan változnak?
Wood (07:01): Igen, remek kérdés. Tehát valóban, ez egy tétel, hogy végtelenül gyakran fogják cserélni a vezetékeket.
Strogatz (07:07): Tényleg?
Wood: Tehát továbbra is kereskednek a leadekkel. De ez egy igazán nagyszerű példa arra, hogy a prímszámok tanulmányozása közben a fejedben tartsd, hogy attól, hogy valami igaz volt az első 600 milliárd esetben, még nem jelenti azt, hogy mindig igaz lesz.
Strogatz (07:25): Ó, izé. Szép. Oké. Tehát, mint általában, hogyan juthatunk el a sejtéstől a bizonyításhoz?
Wood (07:31): Ez nagyban függ az esettől. Úgy értem, a matematikának sok olyan esete van, amikor sejtéseink vannak, és nincs bizonyítékunk. Tehát nincs valami egyszerű recept a sejtésből a bizonyításhoz, különben nem lenne olyan sok híres nyitott problémánk, ahol, tudod, van néhány – néhány sejtés, hogy az emberek azt hiszik, hogy valami bizonyos módon működik, de mi nem nem tudom biztosan. De tudod, néha a sejtések okokat sugallhatnak annak, hogy valami igaz. Néha csak a matematikai elmélet, amely egyre több matematikai elméletre épül, amelyet az emberek több száz éve fejlesztenek, elegendő eszközt és struktúrát ad ahhoz, hogy megértsük azokat a dolgokat, amelyeket bizonyítunk. De nem arról van szó, hogy a sejtés szükségszerűen vezet a bizonyításhoz. A sejtés arra ösztönözheti az embereket, hogy megpróbálják megtalálni a bizonyítékot, de a bizonyítás módja teljesen elkülönülhet magától a sejtéstől.
Strogatz (08:31): Igen, az érdekel, hogy felsoroljam vagy felsoroljam azokat a bizonyítékokat, amelyek elmaradnak a bizonyítékoktól, amelyek elvezetik az embereket ahhoz a bizalomhoz, hogy érdemes megpróbálni egy bizonyítást keresni.
Wood (08:41): Igen, egy másik dolog, amit bizonyítéknak nevezhetünk, és nem csak példák, az egy heurisztika. A heurisztika olyasmi lehet, mint egy érv, kivéve, ha a szigorúság sokkal alacsonyabb. Csak úgy tűnik, ez rendben van? Nem „teljesen biztosan megállapítottam ezt a tényt minden kétséget kizáróan?” de „ezt csinálja – igen, elég hihetőnek tűnik”. Tehát a heurisztika egy olyan érvelés lehet, amely elég hihetőnek tűnik, de valójában nem szigorú érv. Szóval ez egyfajta bizonyíték.
(09:12) Néha előfordulhat, hogy van egy modell, amelyről azt gondoljuk, hogy megragadja a matematikai rendszer alapvető elemeit, amelyet megpróbálunk megérteni, és így azt sejtené, hogy a rendszere ugyanolyan viselkedésű, mint a modellje.
Strogatz (09:30): Oké. Valamikor szeretnék néhány példát hallani a modellekre és sejtésekre, és azt is, hogy ezek milyen mértékben működnek vagy nem működnek bizonyos kérdésekben, vagy nem, de ha nem bánod, szeretnék visszatérni néhány apró személyes dologhoz, mert itt a számokról beszélünk, és te számelméleti szakember vagy. Lehet, hogy az emberek nem ismernek sok számelméletet a mindennapi életükben. Szóval szeretném elmondani nekünk mi az a számelmélet, és azt is, miért találod érdekesnek? Miért jöttél tanulni?
Wood (10:02) Nos, a számelmélet az egész számok matematikai tanulmányozása. Tehát gondoljon 1, 2, 3, 4, 5-re. És különösen az egyik fontos dolog az egész számokban a prímszámok. Ahogy elmagyaráztad, már a legelején ezek azok az építőelemek, amelyekből szorzás útján felállíthatjuk az összes többi számot. Tehát mivel a számelmélet az összes egész számra vonatkozik, az építőelemeikre, a prímszámokra is vonatkozik, valamint arra, hogy más számok hogyan számítanak bele prímszámokba, és hogyan ki vannak építve – prímszámokból.
Strogatz (10:37): Tehát a számelmélet mai céljaink szerint az egész számok tanulmányozása lesz, különös tekintettel a prímszámokra. Ez elég jó kezdetnek tűnik. Azt hiszem, ez több annál. De talán ez most jó definíció számunkra. Nem gondolod?
Wood (10:50): Ez jó, ez egy jó kezdet. Úgy értem, onnantól az ember további dolgokat kutat, mint például: nos, mi van, ha olyan számrendszereket kezd el gondolkodni, amelyek bonyolultabbak, mint az egész számok? Ha elkezd más számokat beírni, például 2 négyzetgyökét, akkor mi történik a prímszámokkal és a faktorizálással? További kérdésekhez vezet. De őszintén szólva, sok gazdag és gyönyörű matematika van, csak az egész számokban és a prímekben.
Strogatz (11:16): Tehát ha ezt szem előtt tartod, akkor miért találod meggyőzőnek? Miért szereted a számelmélet tanulmányozását? Mi vonzott benneteket?
Wood (11:22): Azt hiszem, tetszik, hogy a kérdések ennyire konkrétak lehetnek. Tudod, elmegyek és beszélgetek általános iskolás gyerekekkel. És elmesélhetem nekik, tudod, néhány olyan dologról, amelyre gondolok. Szóval jó mulatság, hogy olyanon dolgozhatok, aminek egyrészt a kérdések annyira konkrétak, másrészt a megfejtési rejtvény is olyan nehéz lehet. Úgy értem, az emberek szó szerint évezredek óta próbálnak válaszolni az egész számokra, a prímszámokra vonatkozó kérdésekre.
(11:54) És a matematikának nagyon sok ága van. A modern számelmélet egyik fontos része az, hogy ahhoz, hogy előrehaladást érjünk el ezeken a makacs, régi kérdéseken, amelyeken az emberek oly régóta dolgoznak, új ötleteket kell behozni, és kapcsolatokat kell teremteni a matematika más részeivel. Tehát bár számelméleti szakembernek mondanám magam, mindenféle területről használom a matematikát. Tudod, a geometria és a topológia, valamint a terek alakjának tanulmányozásától a valószínűségek és a véletlenszerűségek tanulmányozásáig. Mindenféle matematikát használok, de megpróbálok valamit mondani olyan dolgokról, mint az egész számokról, prímszámokról és a faktorizálásról.
Strogatz (12:36): Igen, szeretem ezt a matematikáról alkotott elképzelést, mint az ötletek óriási, egymással összefüggő hálóját, és lehet, hogy annak egy bizonyos részében szeretne élni, ami a kedvence. De említetted a prímszámokat, mint a számelmélet egy különleges érdeklődési területét, valójában a legalapvetőbb részét. Mi a nehéz bennük? Egyelőre nem világos, mi olyan titokzatos ott a vitánk során? Ahogy definiáltuk őket, valószínűleg folytathatnánk a felsorolást, azt hiszem. Melyek azok a több száz éves problémák, amelyekre hivatkozol?
Wood (13:05): Nos, az egyik legnagyobb és legfontosabb kérdés, ami körülbelül 120 éves, azt mondtad, hogy „ó, sorolhatnád őket. Ha ezt tenné, hányat találna?” Tegyük fel, hogy felsorolta a prímszámokat, akár száz, vagy ezer, vagy százezer, vagy millió, milliárd. Miközben a prímszámokat egyre nagyobb számokig sorolja fel, hány szám lesz ténylegesen prímszám azokból, amelyeken átmegy? Tehát ennek a mennyiségnek a megértése a lényege a Riemann-hipotézist, amely a Clay Math Institute egyik Millenniumi díj problémák, egy millió dolláros jutalom jár a válaszért. Ez az egyik leghíresebb kérdés, és fogalmunk sincs, hogyan tegyük, és valójában csak arról a kérdésről van szó, hogy ha felsorolja ezeket a prímszámokat, hányat fog találni?
Strogatz (13:58): Oké. Vicces, igaz? Mert ahogy elkezdi összeállítani a listát, még ha valaki csak úgy véletlenül elkezdi felsorolni a 100-ig terjedő prímszámokat – észrevesz néhány vicces dolgot. Például eleinte 11 és 13, 2 távolságra vannak egymástól. Nos, a tizenöt nem működik, mert osztható 5-tel és 3-mal. Aztán 17-tel, tehát 4-es rés van most, 13 és 17 között. De akkor a 19 ismét közel van. Nem tudom, úgy értem, szóval a prímszámok közötti térköz eléggé fura lehet. Mintha néha elég nagy rés van benne, és néha egymás mellett vannak, csak 2-re egymástól.
Wood (14:31): Igen, szóval annak megértése, hogy a szóközök és ezek a hézagok szintén fontos kérdés volt. Az elmúlt évtizedben figyelemre méltó előrelépés történt a prímszámok közötti távolság megértésében. De még mindig van egy igazán kínzó, alapvető kérdés, amelyre nem tudjuk a választ. Tehát említetted, hogy ezek a prímszámok, a 11 és 13, csak 2 távolságra vannak egymástól. Tehát az ilyen prímszámokat ikerprímeknek nevezzük. Nem számíthattunk arra, hogy a prímszámok 2-nél közelebb kerüljenek egymástól, mivel 2 után mindegyiknek páratlannak kell lennie. Itt van egy nyitott kérdés a matematikában, ami azt jelenti, hogy nem tudjuk a választ, és ez: Van-e végtelenül sok ikerprímpár? És hát itt van egy sejtés, a sejtés az lenne, igen. Úgy értem, nem csak az a sejtés létezik, hogy „igen, örökké folytatódniuk kell, és mindig többnek kell lenniük”, hanem még arról is van sejtés, hogy mennyit fog találni, ahogy halad. De ez teljesen nyitott. Amennyire tudjuk, előfordulhat, hogy amint egy igazán nagy számhoz érsz, egyszerűen leállnak, és egyáltalán nem találsz több ikerprímpárt.
Strogatz (15:40): Van ebben valami nagyon költői, megrendítő, az a gondolat, hogy valamikor ez lehet a sor vége. Úgy értem, ezt valószínűleg egyikünk sem hiszi el. De lehetséges, azt hiszem, elképzelhető, hogy van valami utolsó magányos ikerpár a sötétben bújva, kifelé, tudod, a számegyenesen.
Wood (15:57): Igen, lehet. És tudod, matematikusként azt mondanánk, tudod, nem tudjuk. Még ha grafikont is készíthetne a talált mennyiségről, ha felvázolja azt a grafikont, akkor is úgy tűnik, hogy valóban határozottan emelkedik és emelkedik olyan sebességgel, amely soha nem fordul meg. De azt hiszem, ez a különbség a matematika és a tudomány között, hogy fenntartjuk ezt a szkepticizmust, és azt mondjuk, hát nem tudjuk. Úgy értem, talán egy ponton a grafikon csak megfordul, és nincs több.
Strogatz (16:29): Szóval, hogy – tetszik a grafikonról alkotott képed, mert szerintem mindenki tud kapcsolódni ehhez az ötlethez, hogy diagramot készíts, valamilyen grafikont készíts. Tudod, a prímszámokra úgy gondolva, mint egyfajta adatra. És, és ezért azt hiszem, itt az ideje, hogy forduljunk, hogy elkezdjünk beszélni a valószínűségszámításról. És kicsit furcsának tűnik a valószínűségről és a statisztikáról beszélni a prímszámokkal kapcsolatban, mert itt nincs esély. A prímeket az általunk adott definíció határozza meg, hogy nem oszthatók. De a matematikusok és a számelméletek, akárcsak Ön, statisztikai vagy valószínűségi érveket használtak a prímszámokról való gondolkodás során. Kíváncsi vagyok, felvázolna nekem valami hasonlót érmefeldobással, és vissza a páratlan és páros számokhoz – amiről az elején beszéltünk.
Wood (17:14): Oké. Tehát a prímszámokkal ellentétben valójában nagyon jól értjük a páratlan és páros számok mintáját. Természetesen páratlanok, páratlanok, páratlanok, páratlanok. De tegyük fel, hogy nem értettük ezt a mintát. És ezt arra használjuk, hogy megértsük, hány páratlan számot találhat, ha az összes számot megnézné egy millióig. Elképzelhető, mivel két lehetőség van, egy szám lehet páratlan vagy páros, hogy valaki elment és feldobott egy-egy érmét minden számhoz, és ha az érme felbukkant, akkor a szám páratlan volt. És ha az érme farokba emelkedett, a szám páros volt. És így megteheti, hogy az érmefeldobó ember úgy sétáljon végig a számegyenesen, hogy minden számnál feldob egy érmét, és szóba jön, hogy vagy páratlannak vagy párosnak nyilvánítja azt a számot.
(18:03) Ez most egyrészt hülyeség. Másrészt az érmefeldobós modell bizonyos dolgokat rendbe hoz. Például, ha azt mondod, nagyjából tudod, hány páros szám az egymillióig? Tudjuk, hogy nagyjából a fele az érmefeldobások száma, amelyek, mondjuk, nagy számban, például egymillió érmével feldobnak. Tehát ez a modell, bármilyen buta is, mégis képes helyesen jósolni. És azt kell mondanom, hogy ez hülyén hangzik, mert már tudjuk a választ erre a kérdésre. Az ötlet az, hogy bonyolultabb mintákra építünk modelleket, például ahol a prímek a számok között jelennek meg, ahelyett, hogy csak az esélyek jelennének meg.
Strogatz (18:55): Igen. Úgy értem, azt hiszem, hangsúlyoznunk kell, hogy a prímszámok milyen mélységesen titokzatosak. Nincs képlet a prímszámokra, ahogy a páratlan számokra. Mintha azt gondolná, hogy ó, tessék, itt tényleg abszurd dolgokról beszélünk, valójában nagyon értékesek ezek a statisztikai modellek, amelyek képesek előre jelezni az átlagos tulajdonságokat. Az analóghoz hasonlóan a nagy számnál kisebb számok fele páratlan lesz. Ez a prímszámok esetében nagyon komoly, érdekes kérdés. A nagy számnál kisebb számok melyik törtrésze prím? És ahogy mondod, készíthetsz egy statisztikai modellt, amely ezt helyesnek tartja. És akkor mi van, ugyanez a modell felhasználható arra, hogy megjósoljuk, hány ikerprím lenne kevesebb, mint egy nagy szám? Ebben az esetben ugyanaz a modell jó munkát végez?
Wood (19:41): Tehát a prímszámok esetében, ha modellt építenénk – tudod, és van egy olyan modell, amit a matematikusok használnak, ún. a prímszámok Cramér-modellje - ha a prímszámok érmefeldobós modelljét építenénk, ahol elképzelnénk, hogy valaki a számegyenesen sétál, és minden számnál feldob egy érmét, mondjuk, hogy eldöntse, hogy a szám prím-e vagy sem, akkor annyit építsünk be a modellbe, amennyit a prímszámokról tudunk. Tehát először is tudjuk, hogy a nagy számok kisebb valószínűséggel prímek, mint a kisebbek. Tehát ezeket az érméket súlyozni kell. És meg kellene próbálnunk pontosan az elvárt súlyozásokat megadni. És tudjuk, hogy nem lehet két prím egymás mellett, mert az egyiknek páratlannak kell lennie, a másiknak pedig párosnak. Tehát ezt belehelyeztük a modellbe. És még több dolgot tudunk a prímszámokról.
(20:37) Tehát a modell egy olyan dolog, ami ezzel az érmeforgató modellel kezdődik, de aztán módosul az összes többi szabály, és az összes többi dolog, amit a prímszámokról tudunk. És ha egyszer belehelyezed a modellbe mindazokat a dolgokat, amiket tudunk, akkor megkérdezed ezt az érmefeldobást, tudod, modell, hát látod, végtelenül gyakran, hogy az érmék csak 2 távolságra kerülnek fel? És a modell azt mondja, ó, igen, ezt látjuk. Valójában ezen a sajátos arányon látjuk, amire egy képletet tudunk adni. És akkor, ha ábrázolja a tényleges ikerprímek számát a tényleges számokban, ahol nincsenek feldobott érmék, szemben azzal, amit a modell jósolt, akkor azt látja, hogy a modell nagyon pontos előrejelzést ad az ikerprímpárok számáról. ahogy haladsz, megtalálod. És akkor azt gondolja, hogy ez a modell talán tudja, miről beszél.
Strogatz (21:31): Ez nagyszerű. Úgy értem, ez nagyon fontos, amihez most jutottunk el, hogy – még nem használtad a számítógépek szót. De feltételezem, hogy ezt nem kézzel csinálja. Azok az emberek, akik twin prímet írnak, nem tudom, miről beszélünk? Billió billió billió? Úgy értem, ezek nagy számok, amelyekről beszélünk, nem?
Wood (21:49): Nos, az ikerprímek felsorolása, vagyis – számítógéppel történne, abszolút. De azért, hogy megépítsem ezt a modellt, és kitaláljam azt a képletet, amit a modell ad. Tudod, ezt kézzel csinálják, lényegében úgy, hogy a matematikusok gondolkodnak a modellen, és kitalálják vele.
Strogatz (22:07): Ez nagyon klassz. Tehát itt mutatja meg a modell a dolgait, hogy a modell valóban meg tudja jósolni, hogy mit lát a számítógép. És nincs szükség számítógépre az előrejelzéshez. Ezt megtehetik kézzel, emberekkel, és valójában bizonyításhoz vezethetnek. Kivéve, hogy ez a modell tulajdonságainak bizonyítéka, de még nem feltétlenül annak a dolognak a bizonyítéka, amely érdekli.
Wood (22:28): Igaz. És egy ponton a számítógép leáll. Tudod, csak annyi a számítási teljesítmény. De az a képlet, amit kapsz, amit a modell adna neked, amit be tudnál bizonyítani, igaz, megint csak erről a modellérmefeldobási szituációról, ez a képlet tovább fog menni. Ebbe a képletbe egyre nagyobb számokat írhat be, sokkal nagyobbakat, mint amennyit a számítógépe valaha is ki tudott számítani.
Strogatz (22:53): Szóval meséltél nekünk egy kicsit arról, hogy a véletlenszerűség hogyan segíthet érdekes számelméleti jelenségek modelljeiben, és biztos vagyok benne, hogy ez igaz a matematika más részeire is. Vannak olyan esetek, amikor a véletlenszerűséget tényleges bizonyításra is használhatja, nem csak modelleket?
Wood (23:10): Abszolút. A matematika másik ágát valószínűségszámításnak nevezik. A valószínűségszámításban pedig tételeket bizonyítanak a véletlenszerű rendszerekről és azok viselkedéséről. És azt gondolhatod, hogy ha valami véletlenszerű dologgal kezdesz, és csinálsz vele valamit, akkor mindig lesz valami véletlenszerű. De az egyik feltűnően szép dolog, amit az ember a valószínűségszámításban talál, az az, hogy néha valami determinisztikust lehet kihozni valami véletlenszerűségből.
Strogatz (23:45): Nos, ez hogy működik? Mint micsoda?
Wood (23:48): Igen. Tehát láttad a haranggörbét vagy a normál eloszlást, a matematikusok így hívnák. A természetben mindenhol megjelenik. Mintha az emberek vérnyomását, a baba születési súlyát, vagy ilyesmit néznénk. És azt gondolhatod, ó, ez a haranggörbe, hogy ez a természet ténye. Valójában azonban van egy tétel, amelyet a valószínűségszámításban központi határérték-tételnek neveznek, és amely azt mondja, hogy ez a haranggörbe bizonyos értelemben nem természeti tény, hanem matematikai tény. A központi határtétel azt mondja, hogy ha egy csomó kis véletlenszerű hatást egymástól függetlenül kombinálunk, akkor annak kimenete mindig egy bizonyos eloszláshoz fog illeszkedni. Ez a forma, ez a haranggörbe. A matematika és a valószínűségelmélet bebizonyíthatja, hogy ha van – ha sok kis független véletlenszerű dolgot kombinálunk, akkor ennek a kombinációnak az eredménye egy olyan eloszlást ad, amely úgy néz ki, mint ez a haranggörbe. És így – még ha nem is tudja, milyenek voltak a bemenetek. És ez egy igazán erőteljes tétel és egy igazán hatékony eszköz a matematikában.
Strogatz (25:05): Igen, biztosan az. És tetszett, hogy hangsúlyoztad, hogy nem kell tudnod, mi történik a kis hatásokkal. Hogy az valahogy kimosódik. Erre az információra nincs szükség. A haranggörbe megjósolható, még akkor is, ha nem tudod, mi az apró hatások természete. Amíg sok van belőlük és kevesen. És nem hatnak egymásra, igaz, bizonyos értelemben függetlenek.
Wood (25:27): Igen, abszolút. És ez az az elképzelés, tudod, néha univerzalitásnak hívják a valószínűségszámításban, hogy vannak bizonyos típusú gépek, amelyekre ha sok véletlenszerű bemenetet adsz meg, megjósolhatod a kimenetet. Például azt, hogy megkapja ezt a haranggörbét, vagy ezt a normál eloszlást, még akkor is, ha nem tudja, mit tesz a gépbe. És ez hihetetlenül erős, ha vannak dolgok, amelyeket nem nagyon értünk, mert…
Strogatz (25:56): De hát azt mondod – ó, bocsánat, hogy félbeszakítottam –, de azt mondod, hogy ez most a számelméletben is megtörténik? Valahogy elérjük, hogy az egyetemesség gondolata megjelenjen a számelméletben? Vagy álmodom?
Wood (26:09): Nos, bizonyos mértékig azt mondanám, hogy ez egy álmom, ami most kezdődik. Tudod, mi csak, megtesszük az első lépéseket annak érdekében, hogy ez megvalósuljon. Tehát ez nem csak a te álmod, hanem az én álmom is. Néhány munka, amit ma végzek, és amelyen munkatársaimmal dolgozunk, megpróbáljuk ezt a fajta álmot valóra váltani, hogy ezek a számokkal kapcsolatos rejtélyes kérdések, amelyekre nem tudjuk a választ, talán sikerülne. értsd meg, hogy vannak olyan minták, amelyek úgy jönnek ki, mint egy haranggörbe, mint egy normál eloszlás, amelyekről be tudjuk bizonyítani, hogy kijöttek a gépből, még akkor is, ha nem tudjuk, milyen rejtélyeket raktak bele.
Strogatz (26:55): Nos, ez egy nagyon inspiráló, izgalmas látomás, és remélem, hogy mindez megvalósul. Nagyon köszönöm, hogy ma beszélt velünk, Melanie.
Wood (27:03): Köszönöm. Ez nagyon szórakoztató volt.
Bemondó (27:06): Ha úgy tetszik A miért öröme, nézd meg a Quanta Magazin tudományos podcast, házigazdája én, Susan Valot, a műsor egyik producere. Mondd el barátaidnak is ezt a podcastot, és nyomj egy like-ot, vagy kövesd, hol hallgatod. Segít az embereknek megtalálni A miért öröme podcast.
Strogatz (27: 26): A miért öröme egy podcast tőle Quanta Magazine, a Simons Alapítvány által támogatott, szerkesztőileg független kiadvány. A Simons Alapítvány finanszírozási döntéseinek nincs befolyása a témák kiválasztására, a vendégekre vagy más szerkesztői döntésekre ebben a podcastban vagy a Quanta Magazine. A miért öröme producere Susan Valot és Polly Stryker. Szerkesztőink John Rennie és Thomas Lin, Matt Carlstrom, Annie Melchor és Leila Sloman támogatásával. Főcímzenéinket Richie Johnson szerezte. A logónkat Jackie King, az epizódok grafikáját pedig Michael Driver és Samuel Velasco készítette. Én vagyok a házigazdád, Steve Strogatz. Ha bármilyen kérdése vagy észrevétele van velünk kapcsolatban, kérjük, írjon nekünk a quanta@simonsfoundation.org címre. Köszönöm, hogy meghallgattak.
