termékeink rejtvény feladat múlt hónapban az volt, hogy megmentse a Star Trek Nyolc fős felszíni párt, amelyet a Vállalkozás Kommunikációs tiszt Uhura hadnagy (a néhai játszotta Nicole Nichols). A legénységet egy idegen faj, a Catenati bebörtönzi egy bolygón Nyaklánc köd. Ahhoz, hogy megszökjenek, maximalizálniuk kell annak valószínűségét, hogy végrehajtanak egy olyan feladatot, amely elsőre úgy tűnik, hogy csak rossz valószínűséggel sikerül.
A nyolcfős legénységet tájékoztatják a feladatról, miközben ideiglenesen egy közös helyiségben tartják őket, ahol szabadon kommunikálhatnak és stratégiát alakíthatnak ki. Néhány óra múlva egyenként a rulettkamrának nevezett helyiségbe vezetik őket. Ebben a szobában nyolc gomb van egymás után elrendezve, amelyek mindegyike úgy van programozva, hogy a személyzet más-más tagjára reagáljon. A legénység félrevezetése érdekében minden gomb véletlenszerűen egy másik csapattag nevével van félrecímkézve. A legénység minden tagja legfeljebb négy gombot nyomhat meg, bármilyen sorrendben. Amikor megnyomnak egy gombot, látni fogják, hogy valójában kié a gomb. Négy próbálkozásukon belül meg kell találniuk a hozzájuk rendelt gombot. Ahhoz, hogy a legénység szabadon menjen, mindegyiküknek sikeresnek kell lennie ebben a feladatban. Ha csak az egyik is megbukik, mindegyiket kivégzik. Miután a legénység egy tagja befejezte a kísérletet, el kell különíteni, és semmilyen módon nem adhatja át az információkat a személyzet egyik tagjának.
A siker esélyei csekélynek tűnnek. Ha a legénység tagjai véletlenszerűen választják ki a gombokat, mindegyiknek 1 a 2-hez esélye lesz, hogy megtalálja a gombját. Mind a nyolc sikerének esélye mindössze 1 a 256-hoz, vagyis körülbelül 0.4%.
De nem kell véletlenszerűen nyomogatniuk a gombokat. A siker valószínűségének növelésének egyik módja lehet az összes gombnyomás valamilyen módon történő kiegyenlítése. Ezzel el is érkeztünk az első rejtvénykérdésünkhöz.
Rejtvény 1
Mennyivel javítható a legénység túlélési valószínűsége, ha gondoskodnak arról, hogy minden gombot egyformán lenyomjanak (ahelyett, hogy véletlenszerűen nyomna meg négy gombot)?
Rob Corlett és a JPayette erre is jól válaszoltak, ahogy az összes többi kérdésre is. Ami a rovatban található rejtvények megfoghatatlan központi gondolatát illeti, Rob Corlett, JPayette és Jouni Seppänen szépen leírta, közben Sacha Bugnon számítógépes megoldással járult hozzá.
Íme Rob Corlett válasza:
Az egyik módja annak, hogy minden gombot azonos számú megnyomásra lehessen nyomni, ha a foglyokat két egyenlő méretű, 4 fős csoportra osztjuk.
Minden csoport csak a csoport tagjainak megfelelő gombokat nyomja meg. Így ha A, B, C és D ugyanabban az alcsoportban vannak, akkor csak az A, B, C és D gombokat nyomják meg.
Ez megváltoztatja a problémát abban, hogy meg kell kérdezni annak valószínűségét, hogy minden fogoly a megfelelő csoportba kerül, mivel akkor garantáltan négy vagy kevesebb lenyomással megnyomja a gombot.
Az első csoport (és így a második csoport) négy fővel való feltöltésének módjainak száma annyi, ahány mód közül választhatunk 4-et 8 közül, ami C(8, 4) = 70. mindenkit a két csoportba osztva 70.
Csak egy elosztás létezik, amely minden foglyot helyesen a megfelelő csoportba sorol, így annak valószínűsége, hogy mindenki a megfelelő csoportba kerül, és az összes fogoly életben marad, 1/70, ami 3.66-szor jobb, mint az előző stratégia 1/256-a. [De még mindig nagyon kicsi: csak 1.4% az esély.]
Rejtvény 2
Van mód az eredeti lehangoló oddsok 90-szeresére, körülbelül 36.5%-ra növelésére, ami csodálatosnak tűnik! Ez a stratégia hurkok vagy találgatási láncok használatát foglalja magában – innen ered a Nyaklánc-ködre és a Catenatira való hivatkozás.catena latinul láncot jelent). A stratégia alapformájában minden csapattag a saját nevét viselő gomb megnyomásával kezdi, majd továbblép a legénység azon tagjának a nevét viselő gombra, amelyhez az első gomb ténylegesen tartozott, és így tovább, névláncot hozva létre.
Lássuk, hogyan működik ez a gyakorlatban. Az ábrán a gombok fehér címkével láthatók. Az alábbi kék betűk a gombok valódi tulajdonosait mutatják. Amikor a legénység első tagja, A belép a rulettkamrába, először ő nyomja meg az A gombot. Ez C gombja, így ő megnyomja a C gombot, majd az E gombot, végül pedig az F gombot, ami valójában A saját gombja, így négy próbálkozással sikeresen megtalálta. Vegye figyelembe, hogy az ACEF gombok négy gombból álló zárt hurkot alkotnak. Amikor a legénység C, E és F tagjai felváltják egymást, ők is megkerülik ugyanazt a zárt hurkot, saját helyükről indulva, és négy próbálkozással megtalálják a saját gombjaikat.
Ez az elrendezés két kisebb, két-két gombos hurokkal is rendelkezik: BD és GH. Ez a négy csapattag két próbálkozáson belül megtalálja a saját gombját. Tehát ezzel a megállapodással a legénység minden tagja sikeres lesz, és kiérdemelte a szabadságát. Nyilvánvaló, hogy ha az elrendezés csak 4 vagy annál kisebb hosszúságú hurkokat tartalmaz, a legénység minden tagja sikeres lesz, és kiszabadul. Ha viszont egyetlen 5-ös vagy több hurok van, akkor azon a hurkon lévő összes csapattag négy próbálkozás után nem találja meg a gombot, és a legénységet kivégzik. A siker valószínűségének meghatározásához megkereshetjük annak valószínűségét, hogy egy 5-ös, 6-os, 7-es vagy 8-as hurok van, ezeket összeadjuk, és ezt az összeget kivonjuk 1-ből. Ezt könnyebb kiszámítani, mint a másik módszert, mert nyolcra gombok esetén csak egyetlen hurok lehet 5, 6, 7 vagy 8 taggal.
8 van! nyolc gomb elrendezésének különböző módjai. De amikor hurkokat készítünk, ugyanaz a ciklus nyolc ilyen elrendezést jelent (az ABCDEFGH ugyanazt a ciklust alkotja, mint a BCDEFGHA, amely ugyanaz, mint a CDEFGHAB stb.). Tehát a 8-as méretű hurok valószínűsége (8!/8)/8!, ami egyszerűen 1/8. Hasonlóképpen a 7-es méretű hurok valószínűsége 1/7, a 6-osé 1/6, az 5-ösé pedig 1/5. Ezért rettenthetetlen legénységünk sikerének valószínűsége 1 − (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8), vagyis 36.5%, ahogy korábban említettük.
A fenti stratégia tetszőleges számú fogoly esetén működik, és a véletlenszerű megközelítéshez viszonyított esélyek javulása a szám növekedésével gyorsan növekszik. Négy rab esetében körülbelül hétszeres, hatnál 24-szeres, nyolcnál 93-szoros, és elképesztő (3.8 × 10)29)-fold 100 rabra. Ennek a hatalmas növekedésnek a megértéséhez az a kulcs, hogy a módszer a csoport minden egyes tagjának sikerét vagy kudarcát a többiéhez köti. Nagyon nagy mértékben mindannyian együtt sikerülnek vagy kudarcot vallanak. A csoport sikerének valószínűsége nem esik le túlságosan az egyetlen emberéhez képest, mindössze 50%-ról 30.69%-ra esik, mivel a foglyok számát korlátlanul növelik. Másrészt a véletlenszerű megközelítés vagy akár a „páros gombnyomás” megközelítés sikerének valószínűsége még kis számú fogoly esetében is gyorsan a nullához nagyon közel esik.
Ha a stratégia mögött meghúzódó logika még mindig homályosnak tűnik, akkor íme a 100 fogoly problémájának elemzése. kiváló videó a Veritasiumtól.
Rejtvény 3
Ez a feladvány arról szólt, hogy Uhura hadnagy emlékezett egy gyerekkori játékra, ami lényegében ugyanaz volt, de hat személyre. Tippként azt javasoltam, hogy négy emberre dolgozzák ki a problémát. Most, hogy megvan a képlet, könnyen kiszámíthatjuk a valószínűségeket.
Négy ember esetében annak a valószínűsége, hogy a leghosszabb hurok csak 2 vagy 1, a következő: 1 − (1/3 + 1/4) vagy 41.7%, hétszeres növekedéssel a véletlenszerű választáshoz képest.
Hat ember esetében annak a valószínűsége, hogy a leghosszabb hurok 3, 2 vagy 1, a következő: 1 − (1/4 + 1/5 + 1/6) vagy 38.3%, több mint 24-szeres nyereséggel a véletlenszerű választáshoz képest.
Rejtvény 4
Ahogy történetünk folytatódik, kiderül, hogy az egyik Catenati különös ellenszenvet vett a Vállalkozás és távolról figyeli őket. Azt gyanítja, hogy valami hatékony stratégiát dolgoztak ki Uhura diagramja alapján. Eltökélt szándéka, hogy meghiúsítsa a tervüket azzal, hogy becsúszik a kamrába, és szándékosan megváltoztatja a gombok címkéinek sorrendjét, mielőtt a rulett elkezdődik. Sikeresen meghiúsítja a tervet? Mire kell különösen ügyelnie a leszállócsapat eltitkolására?
A legénység stratégiai megbeszélésének korai szakaszában Uhura szeme hirtelen összeszűkült. Jelet adott a legénységének, és átváltott nicholese nyelvű beszédre, és bejelentette: „Kérem, minden további beszélgetést nicholese nyelven.” A Nicholese egy új nyelv volt, amelyet Uhura pályafutása elején talált ki, éppen ilyen helyzetekre, hogy megkerülje az univerzális fordítók használatát. – Biztosan észrevetted azt a gyanakvó Catenatit – folytatta. „Megpróbálhat szabotálni minket, ezért módosítanunk kell a tervünket. Íme, mit kell tennünk…”
Uhura addig vázolta az új tervet, amíg meg nem győződött arról, hogy a legénységének minden tagja tökéletesen tudja. Aztán távoli pillantással azon töprengett: „Nicholese-t egy 20. századi ikonikus színésznőről neveztem el. Örülök, hogy ragaszkodtam ahhoz, hogy a Csillagflotta szabványossá tegye az összes hajónkon.
Visszafordult a legénységhez. – Ez minden, tisztek. Tudod mit kell tenned!"
Nem tudjuk pontosan, mit mondott Uhura a csapatának. De JPayette-nek és Rob Corlettnek volt egy nagyon jó ötlete. Ismét itt van Rob Corlett:
Ha a gonosz Catenati meghallja, hogy ezt a stratégiát alkalmazzák, akkor megváltoztathatja a kijelzőn megjelenő neveket, hogy biztosítsa a 4-nél hosszabb ciklust.
Ennek megtöréséhez a foglyoknak el kell fogadniuk egy titkos parancsot, amely véletlenszerűvé teszi a sorrendet. Ezt úgy teszik, hogy valami ilyesmit mondanak: „Ha látja Uhura nevét, akkor lépjen a Chekov feliratú gombra. Ha Csekov nevét látja, lépjen a Smith stb. feliratú gombra.
Ily módon a Catenati általi átrendezés nem számít, hiszen csak akkor működik, ha ismeri a stáb reakciójának módját a kijelzőn megjelenő nevekre. Bármilyen átrendezési titkot meg kell őrizniük, különben ismét megszakadhat.
Ahogy láttuk, Uhura gondoskodott a titok biztonságáról. A legénység minden tagjának ugyanazt a titkos parancsot kellett használnia, és biztosítania kellett, hogy a gonosz Catenati ne tudja, mi az. Valójában a gonosz Catenati megváltoztatott sorrendje növelte a legénység sikerének valószínűségét!
Ez történt. Uhura volt az első, akit a rulettkamrába vittek. Megnyomott három gombot. Egyik sem volt az övé. Szomorú legyen vagy örüljön? Visszatartotta a lélegzetét, és megnyomta a negyediket. Megtalálta igazi gombját!
Tudta, hogy mindannyian megmenekülnek.
Rejtvény 5
Milyen határhoz közelít a maximális sikerszázalék, amikor a leszállócsoport létszáma korlátlanul növekszik? Meg tudná magyarázni, hogy ez a módszer miért sokkal hatékonyabb, mint a véletlenszerű gombnyomás?
JPayette írta:
A fentiek mindegyike egyenesen a 2 fős legénységre vonatkozikn a tagok mindegyike legfeljebb nyomkodhat n gombokat. A 2. rejtvényből arra következtetünk, hogy esélyük van a sikerre
1 − (összesítés vége k között n + 1 és 2n 1/k).
Az összeg összevethető az 1/ integráljávalx az intervallumon át [n, 2n], amely lehetővé teszi számunkra annak bizonyítását, hogy as n a végtelenségig növekszik, a fenti valószínűség csökken, és elképesztő 1 − ln(2) ≈ 30.6%-ra konvergál. [Valójában 30.69% két tizedesjegyig.]
Rob Corlett hozzátette:
Ha nem ismeri az integrációt, gyorsan hozzávetőleges választ kaphat egy táblázat segítségével. Egyszer elértem a 0.307-et n elérte a 750-et, ami 3 tizedesjegyig pontos.
Fentebb már elmagyaráztuk, miért működik ez a módszer. Minden 1-nél hosszabb hurkot több csapattag oszt meg. Tehát sikereik és kudarcaik erősen korrelálnak egymással. Ez a „Mindenki egyért, egy mindenkiért” elv szemléltetése. Egyenesen a Csillagflotta kézikönyvéből!
Köszönjük minden közreműködőnknek. JPayette és Rob Corlett egyaránt díjazott válaszokat küldött, amelyek miatt ez a megoldás rovat szinte feleslegesnek tűnt. Sajnos ragaszkodnom kell a szabályunkhoz, miszerint rejtvényoszloponként egy nyertest választunk ki. Az Insights díjat a JPayette kapja az itt és az előző rejtvényben nyújtott hozzájárulások elismeréseként. Gratulálunk! Rob Corlett, hozzájárulásait nem felejtjük el.
Találkozunk a következő hónapban az új Insights-ért!
