A Krisztus előtti harmadik században Arkhimédész jelent egy rejtvény a szarvasmarha tereléséről, amelyet állítása szerint csak egy igazán bölcs ember tud megfejteni. Problémája végül egy egyenletre torkollt, amely magában foglalja a két négyzetes tag közötti különbséget, amely így írható fel x2 - dy2 = 1. Itt, d egy egész szám – pozitív vagy negatív számláló szám –, és Arkhimédész olyan megoldásokat keresett, ahol mindkettő x és a y egész számok is.
A Pell-egyenleteknek nevezett egyenletosztály az évezredek óta lenyűgözi a matematikusokat.
Néhány évszázaddal Arkhimédész után Brahmagupta indiai matematikus, majd később II. Bhászkara matematikus algoritmusokat készített ezeknek az egyenleteknek egész számú megoldására. Az 1600-as évek közepén Pierre de Fermat francia matematikus (aki nem tudott erről a munkáról) újra felfedezte, hogy bizonyos esetekben még akkor is, d viszonylag kis értéket, a lehető legkisebb egész megoldást kapta x és a y masszív lehet. Amikor egy sor kihívást küldött a rivális matematikusoknak, azok tartalmazták az egyenletet x2 - 61y2 = 1, amelynek legkisebb megoldásai kilenc vagy 10 számjegyűek. (Ami Arkhimédészt illeti, az ő rejtvénye lényegében egész számú megoldást kért az egyenletre x2 - 4,729,494y2 = 1. „A legkisebb megoldás kinyomtatásához 50 oldalra van szükség” – mondta Peter Koymans, a Michigani Egyetem matematikusa. „Bizonyos értelemben ez Arkhimédész óriási trollja.”
De a Pell-egyenletek megoldásai sokkal többre képesek. Tegyük fel például, hogy a $latex sqrt{2}$-t, egy irracionális számot szeretné megközelíteni egész számok arányaként. Kiderül, hogy a Pell-egyenlet megoldása x2 - 2y2 = 1 segíthet ebben: $latex sqrt{2}$ (vagy általánosabban: $latex sqrt{d}$) jól közelíthető, ha a megoldást az űrlap töredékére írjuk át x/y.
Talán még érdekesebb, hogy ezek a megoldások bizonyos számrendszerekről is árulnak el valamit, amelyeket a matematikusok gyűrűknek neveznek. Egy ilyen számrendszerben a matematikusok a $latex sqrt{2}$ értéket egész számokhoz kapcsolhatják. A gyűrűknek vannak bizonyos tulajdonságai, és a matematikusok meg akarják érteni ezeket a tulajdonságokat. Kiderült, hogy a Pell-egyenlet segíthet nekik ebben.
Így „sok nagyon híres matematikus – bizonyos időkben szinte minden matematikus – valóban tanulmányozta ezt az egyenletet, mert milyen egyszerű” – mondta. Mark Shusterman, a Harvard Egyetem matematikusa. A matematikusok közé tartozott Fermat, Euler, Lagrange és Dirichlet. (John Pell, nem annyira; az egyenletet tévesen róla nevezték el.)
Most Koymans és Carlo Pagano, a montreali Concordia Egyetem matematikusa évtizedes sejtésnek bizonyult a Pell-egyenlethez kapcsolódik, amely számszerűsíti, hogy az egyenlet egy bizonyos formájának milyen gyakran vannak egész megoldásai. Ennek érdekében ötleteket importáltak egy másik területről – a csoportelméletről –, miközben egyúttal jobban megértették az adott terület kulcsfontosságú, de titokzatos tárgyát. „Igazán mély és gyönyörű ötleteket használtak” – mondta Andrew Granville, a Montreali Egyetem matematikusa. – Valóban eltalálták.
Törött aritmetika
Az 1990-es évek elején Peter Stevenhagen, a holland Leiden Egyetem matematikusát a Pell-egyenletek és a csoportelmélet közötti összefüggések ihlették, hogy sejtést tegyen arról, hogy ezeknek az egyenleteknek milyen gyakran vannak egész megoldásai. De „nem számítottam arra, hogy ez egyhamar bebizonyosodik” – mondta – vagy még életében. A rendelkezésre álló technikák nem tűntek elég erősnek ahhoz, hogy megtámadják a problémát.
Sejtése a gyűrűk egy adott tulajdonságától függ. A számok gyűrűjében, ahol például a $latex sqrt{-5}$ hozzáadásra került az egész számokhoz (a matematikusok gyakran „képzetes” számokkal dolgoznak, mint például a $latex sqrt{-5}$), két különböző módja van a ossza fel a számot prímtényezőire. A 6-os szám például nem csak 2 × 3-ként írható fel, hanem (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$) is. Ennek eredményeként ebben a gyűrűben az egyedi prímtényezők felbomlása – az aritmetika központi tétele, amely gyakorlatilag természetesnek tekinthető a normál egész számokban. Ennek mértékét egy, a gyűrűhöz társított objektum, az úgynevezett osztálycsoport kódolja.
Az egyik módja annak, hogy a matematikusok mélyebb betekintést nyerjenek egy őket érdeklő számrendszerbe – mondjuk az egész számokhoz kapcsolódó $latex sqrt{2}$ – az, hogy kiszámítják és tanulmányozzák az osztálycsoportját. Mégis szinte megfizethetetlenül nehéz általános szabályokat meghatározni arra vonatkozóan, hogy az osztálycsoportok hogyan viselkednek a különböző számrendszerekben.
Az 1980-as években a matematikusok Henri Cohen és a Hendrik Lenstra sejtések széles körét terjeszti elő arról, hogy ezeknek a szabályoknak hogyan kell kinézniük. Ezek a „Cohen-Lenstra-heurisztikák” sokat elárulhatnak az osztálycsoportokról, amelyek viszont felfedik a mögöttes számrendszereik tulajdonságait.
Csak egy probléma volt. Bár úgy tűnik, hogy sok számítás alátámasztja a Cohen-Lenstra heurisztikát, ezek továbbra is feltételezések, nem bizonyítékok. „Ami a tételeket illeti, egészen a közelmúltig szinte semmit sem tudtunk” – mondta Alex Bartel, matematikus a Glasgow-i Egyetemen.
Érdekes módon egy osztálycsoport tipikus viselkedése elválaszthatatlanul összefonódik a Pell-egyenletek viselkedésével. Az egyik probléma megértése segít megérteni a másikat – olyannyira, hogy Stevenhagen sejtése „egyben próbaprobléma volt a Cohen-Lenstra-heurisztikában elért előrehaladás tekintetében” – mondta Pagano.
Az új munka magában foglalja a negatív Pell-egyenletet, ahol x2 - dy2 1 helyett −1-re van állítva. Az eredeti Pell-egyenlettel ellentétben, amely mindig végtelen számú egész megoldást tartalmaz d, nem minden értéke d a negatív Pell-egyenletben egy megoldható egyenletet kapunk. Vesz x2 - 3y2 = −1: Bármilyen messzire is nézel a számegyenes mentén, soha nem találsz megoldást, bár x2 - 3y2 = 1 végtelen sok megoldása van.
Valójában nagyon sok érték létezik d amelyekre a negatív Pell-egyenlet nem oldható meg: Bizonyos számok egymáshoz való viszonyára vonatkozó ismert szabályok alapján, d nem lehet 3, 7, 11, 15 és így tovább többszöröse.
De még akkor is, ha elkerüli ezeket az értékeket d és csak a fennmaradó negatív Pell-egyenleteket vegyük figyelembe, még mindig nem lehet megoldást találni. A lehetséges értékek azon kisebb halmazában d, milyen arány működik valójában?
1993-ban Stevenhagen egy olyan formulát javasolt, amely pontos választ adott erre a kérdésre. Az értékek közül d ami működhet (vagyis olyan értékek, amelyek nem többszörösei 3-nak, 7-nek stb.), azt jósolta, hogy körülbelül 58% negatív Pell-egyenleteket eredményez egész megoldásokkal.
Stevenhagen találgatását különösen a negatív Pell-egyenlet és az osztálycsoportokra vonatkozó Cohen-Lenstra-heurisztika közötti kapcsolat motiválta – ezt a kapcsolatot Koymans és Pagano használta ki, amikor 30 évvel később végül bebizonyították, hogy igaza volt.
Egy jobb ágyú
2010-ben Koymans és Pagano még egyetemisták voltak – még nem ismerték Stevenhagen sejtését –, amikor megjelent egy tanulmány, amely évek óta az első előrelépést tette a probléma megoldásában.
Abban a munkában, ami volt a A matematika évkönyvei, a matematikusok Étienne Fouvry és a Jürgen Klüners kimutatta, hogy az értékek aránya d ami működne a negatív Pell-egyenlet esetén, egy bizonyos tartományba esik. Ennek érdekében az érintett osztálycsoportok egyes elemeinek viselkedését kapták kézhez. De sokkal több elem megértésére van szükségük ahhoz, hogy Stevenhagen sokkal pontosabb, 58%-os becslésébe beleférjenek. Sajnos ezek az elemek kifürkészhetetlenek maradtak: szerkezetük értelmezéséhez még mindig új módszerekre volt szükség. A további haladás lehetetlennek tűnt.
Aztán 2017-ben, amikor Koymans és Pagano együtt végeztek a Leideni Egyetemen, megjelent egy papír ami mindent megváltoztatott. „Amikor ezt megláttam, azonnal felismertem, hogy ez egy nagyon-nagyon lenyűgöző eredmény” – mondta Koymans. „Úgy volt, hogy rendben, most már van egy ágyúm, amellyel rálőhetek erre a problémára, és remélem, hogy sikerül előrelépnem.” (Abban az időben Stevenhagen és Lenstra is Leiden professzora volt, ami segített felkelteni Koymans és Pagano érdeklődését a probléma iránt.)
Az írást egy Harvard végzős hallgatója írta, Alexander Smith (aki most Clay-ösztöndíjas a Stanfordban). Koymans és Pagano nem voltak egyedül azzal, hogy áttörésként értékelték a munkát. „Az ötletek csodálatosak voltak” – mondta Granville. "Forradalmi."
Smith megpróbálta megérteni az elliptikus görbéknek nevezett egyenletek megoldásainak tulajdonságait. Ennek során kidolgozta a Cohen-Lenstra-heurisztika egy meghatározott részét. Nemcsak ez volt az első jelentős lépés e szélesebb körű sejtések matematikai tényként való megszilárdításában, hanem pontosan az osztálycsoport azon részét érintette, amelyet Koymansnak és Paganónak meg kellett értenie Stevenhagen sejtésén végzett munkájuk során. (Ez a darab tartalmazza azokat az elemeket is, amelyeket Fouvry és Klüners tanulmányozott részeredményükben, de messze túlmutat rajtuk.)
Koymans és Pagano azonban nem tudta azonnal használni Smith módszereit. (Ha ez lehetséges lett volna, valószínűleg maga Smith is megtette volna.) Smith bizonyítása a megfelelő számgyűrűkkel társított osztálycsoportokról szólt (olyanok, amelyekben a $latex sqrt{d}$ az egész számokhoz kapcsolódik) – de mindent figyelembe vett egész értékei d. Koymans és Pagano ezzel szemben ezeknek az értékeknek csak egy kis részhalmazára gondoltak. d. Ennek eredményeként az osztálycsoportok sokkal kisebb hányada átlagos viselkedését kellett felmérniük.
Ezek az osztálycsoportok lényegében Smith osztálycsoportjainak 0%-át tették ki – ami azt jelenti, hogy Smith eldobhatta őket, amikor a bizonyítékát írta. Egyáltalán nem járultak hozzá az átlagos viselkedéshez, amit tanulmányozott.
És amikor Koymans és Pagano megpróbálta alkalmazni a technikáit csak a számukra fontos osztálycsoportokra, a módszerek azonnal tönkrementek. A párnak jelentős változtatásokat kell végrehajtania ahhoz, hogy működni tudjanak. Sőt, nemcsak egy osztálycsoportot jellemeztek, hanem azt az eltérést, amely két különböző osztálycsoport között létezhet (ez a Stevenhagen sejtés nagy részét bizonyítaná) – amihez szintén különböző eszközökre lenne szükség.
Így hát Koymans és Pagano alaposabban átfésülték Smith papírját abban a reményben, hogy pontosan meg tudják határozni, hol kezdtek el kicsúszni a dolgok. Nehéz, fáradságos munka volt, nem csak azért, mert az anyag olyan bonyolult volt, hanem azért is, mert Smith akkoriban még finomította az előnyomatát, és elvégezte a szükséges javításokat és pontosításokat. (Ő közzétette a dolgozatának új változata múlt hónapban online.)
Koymans és Pagano egy egész éven át együtt tanulták a bizonyítást, sorról sorra. Minden nap találkoztak, ebéd közben megbeszélték az adott részt, mielőtt néhány órát a táblánál töltöttek, és segítették egymást a releváns ötletek átdolgozásában. Ha egyikük egyedül haladt előre, SMS-t küldött a másiknak, hogy frissítse. Shusterman felidézi, hogy néha éjszakán át látta őket dolgozni. Az ezzel járó kihívások ellenére (vagy talán éppen azért), „nagyon szórakoztató volt együtt csinálni” – mondta Koymans.
Végül meghatározták, hol kell új megközelítést kipróbálniuk. Eleinte csak szerény fejlesztésekre voltak képesek. A matematikusokkal együtt Stephanie Chan és a Djordjo Milovic, kitalálták, hogyan lehet kezelni néhány további elemet az osztálycsoportban, ami lehetővé tette számukra, hogy jobb határokat szerezzenek, mint Fouvry és Klüners. De az osztálycsoport szerkezetének jelentős részei még mindig elkerülték őket.
Az egyik fő probléma, amellyel meg kellett küzdeniük – amelyre Smith módszere ebben az új kontextusban már nem működött – az volt, hogy biztosítsák, hogy valóban elemezzék az osztálycsoportok „átlagos” viselkedését, mint az osztályok értékeit. d egyre nagyobb lett. A véletlenszerűség megfelelő fokának megállapítására Koymans és Pagano egy bonyolult szabályrendszert bizonyított, amelyet kölcsönösségi törvényeknek neveztek. Végül ez lehetővé tette számukra, hogy megszerezzék a szükséges kontrollt a két osztálycsoport közötti különbség felett.
Ez az előrelépés másokkal együtt lehetővé tette számukra, hogy végre befejezzék Stevenhagen sejtésének bizonyítását az év elején. „Elképesztő, hogy teljesen meg tudták oldani” – mondta Chan. – Korábban is voltak ilyen problémák.
Amit tettek, „meglepett” – mondta Smith. „Koymans és Pagano megőrizték a régi nyelvemet, és csak arra használták, hogy egyre tovább nyomuljanak egy olyan irányba, amelyet már alig értek.”
A legélesebb eszköz
Attól kezdve, hogy öt évvel ezelőtt bemutatta, Smith a Cohen-Lenstra-heurisztika egy részének bizonyítékát úgy tekintették, mint egy módot arra, hogy ajtót nyithasson számos más probléma előtt, beleértve az elliptikus görbékkel és más érdekes struktúrákkal kapcsolatos kérdéseket. (Koymans és Pagano cikkükben körülbelül egy tucat olyan sejtést sorol fel, amelyekre a módszereiket remélik használni. Sokuknak semmi közük a negatív Pell-egyenlethez vagy akár az osztálycsoportokhoz.)
"Sok objektumnak van olyan szerkezete, amely nem különbözik az ilyen típusú algebrai csoportoktól" - mondta Granville. De sok ugyanazon útakadály, amellyel Koymansnak és Paganónak szembe kellett néznie, ezekben a más összefüggésekben is jelen van. A negatív Pell-egyenletre vonatkozó új munka segített felszámolni ezeket az akadályokat. "Alexander Smith elmondta nekünk, hogyan kell megépíteni ezeket a fűrészeket és kalapácsokat, de most a lehető legélesebbre és a lehető legkeményebbre kell tennünk őket, és a lehető legjobban alkalmazkodni kell a különböző helyzetekhez" - mondta Bartel. „Az egyik dolog, amit ez a lap tesz, az, hogy nagyon sokat ebbe az irányba mutat.”
Ez a munka mindeközben finomította a matematikusok megértését az osztálycsoportok egyetlen aspektusáról. A Cohen-Lenstra-sejtés többi része elérhetetlen marad, legalábbis pillanatnyilag. De Koymans és Pagano írása „jelzi, hogy a Cohen-Lenstra-i problémák támadási technikáink egyfajta fejlődésben vannak” – mondta Smith.
Lenstra maga is hasonlóan optimista volt. „Abszolút látványos” – írta egy e-mailben. "Ez valóban új fejezetet nyit a számelmélet egy olyan ágában, amely éppolyan régi, mint maga a számelmélet."
