A matematikusok dobnak kockával, és kapnak kő-papír-ollót

Ahogy Bill Gates meséli a történetet, Warren Buffett egyszer kihívta egy kockajátékra. Mindegyik kiválaszt egyet a Buffetthez tartozó négy kocka közül, majd dobott, és a nagyobb szám nyert. Ezek nem szokványos kockák voltak – a szokásos 1-től 6-ig eltérő számsorral rendelkeztek. Buffett felajánlotta, hogy Gates először választhasson, így ő választhatja ki a legerősebb kockát. De miután Gates megvizsgálta a kockát, egy ellenjavaslatot adott vissza: Buffett válasszon először.

Gates felismerte, hogy Buffett kockái egy furcsa tulajdonságot mutatnak: egyikük sem volt a legerősebb. Ha Gates választotta volna előbb, akkor bármelyik kockát választja is, Buffett tudott volna találni egy másik kockát, amelyik képes legyőzni (vagyis olyat, amelyiknek több mint 50%-os esélye van a győzelemre).

Buffett négy kockája (hívd őket A, B, C és a D) szikla-papír-ollóra emlékeztető mintát alkotott, melyben A ütés B, B ütés C, C ütés D és a D ütés A. A matematikusok azt mondják, hogy egy ilyen kockakészlet „intransitív”.

"Egyáltalán nem intuitív, hogy [intransitív kocka] léteznie kell" - mondta Brian Conrey, a San José-i Amerikai Matematikai Intézet (AIM) igazgatója, aki 2013-ban befolyásos tanulmányt írt a témában.

A matematikusok kitalálták a első példák 50 évvel ezelőtt, és végül bizonyított hogy ahogy egyre több oldalú kockát veszünk figyelembe, lehetséges bármilyen hosszúságú intransitív ciklusokat létrehozni. A matematikusok egészen a közelmúltig nem tudták, hogy milyen gyakoriak az intranzitív kockák. Óvatosan kell kitalálnia az ilyen példákat, vagy véletlenszerűen kockáztatva találhat egy intransitív halmazt?

Nézzünk három kockát, ha ezt tudod A ütés B és a B ütés C, ez bizonyítéknak tűnik A a legerősebb; helyzetek, ahol C ütés A ritka legyen. És valóban, ha a kockán lévő számok különböző összegeket adnak össze, akkor a matematikusok úgy vélik, hogy ez az intuíció igaz.

De a online közzétett papír a múlt év vége azt mutatja, hogy egy másik természetes környezetben ez az intuíció látványosan megbukik. Tegyük fel, hogy megköveteli, hogy a kocka csak azokat a számokat használja, amelyek egy normál kockán szerepelnek, és amelyek összértéke megegyezik egy normál kockával. Aztán a papír azt mutatta, ha A ütés B és a B ütés C, A és a C lényegében egyenlő esélyekkel bírnak egymással szemben.

„Ezt tudva A ütés B és a B ütés C csak nem ad információt arról, hogy A ütés C," mondott Timothy Gowers a Cambridge-i Egyetem kutatója, a Fields-érmes és az egyik hozzájárulója az új eredménynek, amelyet a Polymath projektként ismert nyílt online együttműködés bizonyított.

Közben egy másik friss papír négy vagy több kockából álló sorozatokat elemzi. Ez a megállapítás vitathatatlanul még paradoxabb: ha például véletlenszerűen választasz négy kockát, és azt tapasztalod, hogy A ütés B, B ütés C és a C ütés D, akkor enyhén több valószínű azért D megverni A mint fordítva.

Se nem erős, se nem gyenge

Az eredmények közelmúltbeli kiütése körülbelül egy évtizede kezdődött, miután Conrey részt vett egy matematikatanárok összejövetelén, amelyen az intransitív kockákkal foglalkozott. „Fogalmam sem volt, hogy létezhetnek ilyen dolgok” – mondta. – Valahogy elbűvöltek tőlük.

Úgy döntött (később kollégája is csatlakozott hozzá Kent Morrison az AIM-nél), hogy három általa mentorált középiskolás diákkal – James Gabbarddal, Katie Granttel és Andrew Liuval – tárja fel a témát. A csoport azon töprengett, hogy a véletlenszerűen kiválasztott kockák milyen gyakran alkotnak intranzitív ciklust?

Úgy gondolják, hogy az intransitív kockakészletek ritkák, ha a kockák arcszámai különböző összegeket adnak össze, mivel a legnagyobb összegű kocka valószínűleg legyőzi a többit. Ezért a csapat úgy döntött, hogy azokra a kockákra összpontosít, amelyeknek két tulajdonsága van: Először is, a kockák ugyanazokat a számokat használják, mint egy szabványos kockán – 1-től n, abban az esetben, ha egy n-oldalas kocka. Másodszor, az arcszámok összege ugyanannyit tesz ki, mint egy normál kocka esetében. De a szokásos kockákkal ellentétben minden kocka megismételhet néhány számot, míg másokat kihagy.

Hat oldalú dobókocka esetén csak 32 különböző kocka rendelkezik ezzel a két tulajdonsággal. Így egy számítógép segítségével a csapat azonosítani tudta az összes hármast, amelyben A ütés B és a B ütés C. A kutatók legnagyobb meglepetésükre azt találták A ütés C 1,756 hármasban és C ütés A 1,731 hármasban – közel azonos számok. E számítás és a hatnál több oldalú dobókockák szimulációi alapján – sejtette a csapat hogy ahogy a kocka oldalainak száma közeledik a végtelenhez, annak a valószínűsége A ütés C megközelíti az 50%-ot.

A sejtés a hozzáférhetőség és az árnyalatok keverékével Conrey-t jó takarmányként találta meg egy Polymath projekthez, amelyben sok matematikus találkozik online, hogy megosszák egymással ötleteiket. 2017 közepén javasolta az ötletet Gowersnek, a Polymath megközelítés ötletgazdájának. „Nagyon tetszett a kérdés, meglepő értéke miatt” – mondta Gowers. Azt írta a blogbejegyzés a kommentárhullámot kiváltó sejtésről, és hat további poszt során a hozzászólóknak sikerült ezt bizonyítaniuk.

Papírjukban online közzétett 2022. november végén a bizonyítás kulcsfontosságú része annak bemutatása, hogy a legtöbb esetben nincs értelme arról beszélni, hogy egyetlen kocka erős vagy gyenge. Buffett kockái, amelyek közül egyik sem a legerősebb a csomagban, nem olyan szokatlanok: ha véletlenszerűen választasz egy kockát, a Polymath projekt kimutatta, az valószínűleg legyőzi a másik kocka körülbelül felét, és veszít a másik felével szemben. „Majdnem minden kocka elég átlagos” – mondta Gowers.

A projekt egy tekintetben eltért az AIM csapat eredeti modelljétől: Egyes technikai szempontok egyszerűsítése érdekében a projekt kijelentette, hogy a kocka számsorrendje számít – így például az 122556 és az 152562 két különböző kockának minősül. De a Polymath-eredmény az AIM-csapat kísérleti bizonyítékaival kombinálva azt az erős feltételezést kelti, hogy a sejtés az eredeti modellben is igaz, mondta Gowers.

„Nagyon örültem, hogy előálltak ezzel a bizonyítékkal” – mondta Conrey.

Ha négy vagy több kockából álló gyűjteményről volt szó, az AIM csapata a három kockához hasonló viselkedést jósolt: Például, ha A ütés B, B ütés C és a C ütés D akkor nagyjából 50-50 a valószínűsége annak D ütés A, pontosan megközelíti az 50-50-et, ahogy a kocka oldalainak száma a végtelenhez közelít.

A sejtés tesztelésére a kutatók egymás elleni versenyeket szimuláltak négy, 50, 100, 150 és 200 oldalú kockából álló sorozatban. A szimulációk nem engedelmeskedtek olyan szorosan az előrejelzéseiknek, mint a három kocka esetében, de még mindig elég közel voltak ahhoz, hogy megerősítsék a sejtésbe vetett hitüket. De bár a kutatók nem vették észre, ezek a kis eltérések más üzenetet hordoztak: a négy vagy több kockából álló halmazok esetében a sejtés téves.

"Nagyon szerettük volna, hogy [a sejtés] igaz legyen, mert az klassz lenne" - mondta Conrey.

Négy kocka esetén Elisabetta Cornacchia a Svájci Szövetségi Műszaki Intézet Lausanne és Jan Hązła a ruandai Kigaliban működő Afrikai Matematikai Tudományok Intézetének munkatársa a papír 2020 végén közzétették az interneten, hogy ha A ütés B, B ütés C és a C ütés D, Akkor D valamivel nagyobb, mint 50%-os esélye van a verésre A – valószínűleg valahol 52% körül – mondta Hązła. (A Polymath-papírhoz hasonlóan a Cornacchia és a Hązła kissé eltérő modellt használt, mint az AIM-papírban.)

Cornacchia és Hązła megállapítása abból fakad, hogy bár általában egyetlen kocka sem erős, sem gyenge, egy kockapárnak néha lehetnek közös erősségi területei. Ha véletlenszerűen választ ki két kockát, Cornacchia és Hązła megmutatta, megfelelő a valószínűsége annak, hogy a kockák korrelálnak egymással: hajlamosak lesznek verni vagy veszíteni ugyanazt a kockát. „Ha megkérlek, hogy hozz létre két kockát, amelyek közel vannak egymáshoz, akkor kiderül, hogy ez lehetséges” – mondta Hązła. Ezek a kis korrelációs zsebek elmozdítják a versenyek kimenetelét a szimmetriától, amint legalább négy kocka van a képen.

A legutóbbi újságok nem jelentik a történet végét. Cornacchia és Hązła dolgozata csak most kezdi feltárni, hogy a kockák közötti összefüggések hogyan teszik egyensúlyba a versenyek szimmetriáját. Mindeközben azonban már tudjuk, hogy rengeteg intransitív kockakészlet létezik – talán még egy olyan is, amely elég finom ahhoz, hogy Bill Gates-et rávegye a választásra.