Bevezetés
Képzeld el, hogy hatszögekből álló, méhsejtszerű rács húzódik előtted. Néhány hatszög üres; másokat egy 6 méter magas tömör betonoszlop tölt ki. Az eredmény egyfajta labirintus. A matematikusok több mint fél évszázada kérdéseket tettek fel az ilyen véletlenszerűen generált labirintusokról. Mekkora a megtisztított utak legnagyobb hálója? Mekkora az esélye annak, hogy az egyik szélétől a rács közepéig út vezet, és újra kifelé? Hogyan változnak ezek az esélyek, ahogy a rács mérete megduzzad, és egyre több hatszöget ad a széleihez?
Ezekre a kérdésekre könnyű válaszolni, ha vagy sok az üres hely, vagy sok a beton. Tegyük fel, hogy minden hatszög véletlenszerűen van hozzárendelve az állapotához, függetlenül az összes többi hatszögtől, olyan valószínűséggel, amely az egész rácson állandó. Mondjuk 1% az esélye annak, hogy minden hatszög üres. A beton zsúfolja a rácsot, csak kis levegőzsebek maradnak közöttük, így gyakorlatilag nulla az esélye annak, hogy utat találjanak a peremhez. Másrészt, ha 99%-os esély van arra, hogy minden hatszög üres, akkor csak egy vékony betonfalak vannak, amelyek a nyílt teret átütik – nem sok labirintus. A középponttól a szélig vezető út megtalálása ebben az esetben szinte bizonyos.
A nagy rácsoknál feltűnően hirtelen változás következik be, amikor a valószínűség eléri az 1/2-t. Ahogyan a jég pontosan nulla Celsius-fokon folyékony vízzé olvad, a labirintus karaktere drasztikusan megváltozik ezen az átmeneti ponton, amelyet kritikus valószínűségnek neveznek. A kritikus valószínűség alatt a rács nagy része beton alatt helyezkedik el, míg az üres utak mindig zsákutcákba kerülnek. A kritikus valószínűség felett hatalmas pályák maradnak üresen, és a betonfalak azok, amelyek biztosan kimúlnak. Ha pontosan a kritikus valószínűségnél állsz meg, a beton és az üresség kiegyensúlyozza egymást, és egyik sem tud uralni az útvesztőt.
„A kritikus ponton a szimmetria magasabb foka jelenik meg” – mondta Michael Aizenman, a Princetoni Egyetem matematikus fizikusa. "Ez megnyitja a kaput a matematika hatalmas halmaza előtt." Gyakorlati alkalmazásai is vannak a gázmaszkok tervezésétől kezdve a fertőző betegségek terjedésének vagy az olaj sziklákon keresztüli átszivárgásának elemzéséig.
egy tavaly ősszel megjelent papír, négy kutató végül kiszámította annak esélyét, hogy 1/2-es kritikus valószínűséggel találjanak utat a labirintusokhoz.
Fegyverkezési verseny
Doktori hallgatóként Franciaországban a 2000-es évek közepén, Pierre Nolin részletesen tanulmányozta a kritikus valószínűségi forgatókönyvet. A véletlenszerű labirintus szerinte „egy igazán szép modell, talán az egyik legegyszerűbb modell, amit fel lehet találni”. Doktori tanulmányai vége felé, amelyet 2008-ban fejezte be, Nolint egy különösen nagy kihívást jelentő kérdés ragadta meg, hogy hogyan viselkedik a kritikus valószínűségű hatszögletű rács. Tegyük fel, hogy rácsot építesz egy központi pont köré úgy, hogy az egy körhöz közelít, és onnan építed fel véletlenszerűen a labirintusodat. Nolin fel akarta tárni annak lehetőségét, hogy képes lesz megtalálni egy nyitott utat, amely a szélétől a középpontig tart, majd visszafelé, anélkül, hogy önmagát vissza kellene követnie. A matematikusok ezt monokromatikus kétkarú útnak nevezik, mivel mind a befelé, mind a kifelé irányuló „karok” nyitott utakon vannak. (Néha úgy gondolják, hogy az ilyen rácsok két különböző színből, mondjuk világoskékből és sötétkékből állnak, nem pedig nyitott és zárt cellákból.) Ha növeli a labirintus méretét, a szükséges út hossza is megnő. , és egyre kisebb lesz az esély egy ilyen út megtalálására. De milyen gyorsan csökkennek az esélyek, ahogy a labirintus tetszőlegesen nagyra nő?
Az egyszerűbb kapcsolódó kérdésekre évtizedekkel ezelőtt válaszoltak. 1979-ből származó számítások szerint Marcel den Nijs becsülte annak esélyét, hogy megtalálja az egyik utat vagy kart a szélétől a középpontig. (Hasonlítsa össze ezt Nolin azon követelményével, hogy egy kar legyen befelé és egy külön kifelé.) Den Nijs munkája azt jósolta, hogy annak az esélye, hogy egy hatszögletű rácsban megtalálják az egyik kart, arányos $latex 1/n^{5/48}$ értékkel. , ahol n a csempék száma a közepétől a széléig, vagy a rács sugara. 2002-ben Gregory Lawler, Oded Schramm és a Wendelin Werner végül bizonyított hogy az egykarú jóslat helyes volt. A rács méretének növekedésével csökkenő valószínűség tömör számszerűsítésére a kutatók a nevezőből származó kitevőt, az 5/48-at használják, amely egykarú kitevőként ismert.
Nolin a megfoghatatlanabb monokromatikus kétkarú kitevőt akarta kiszámítani. Numerikus szimulációk 1999-ben kimutatta, hogy nagyon közel van a 0.3568-hoz, de a matematikusok nem tudták megállapítani a pontos értékét.
Sokkal könnyebb volt kiszámítani az úgynevezett polikromatikus kétkarú kitevőt, amely annak esélyét jellemzi, hogy a központtól kezdve nemcsak „nyitott” utat találhatunk a kerülethez, hanem külön „zárt” utat is. (Gondoljunk úgy a zárt ösvényre, mint amely áthalad a labirintus betonfalainak tetején.) 2001-ben Stanislav Smirnov és Werner bizonyított hogy ez a kitevő 1/4 volt. (Mivel az 1/4 lényegesen nagyobb, mint az 5/48, a $latex 1/n^{1/4}$ gyorsabban zsugorodik, mint a $latex 1/n^{5/48}$ n nő. A polikromatikus kétkarú szerkezet esélye tehát sokkal kisebb, mint az egyik kar esélye, ahogyan azt az ember elvárná.)
Ez a számítás nagymértékben támaszkodott a gráf klasztereinek alakjával kapcsolatos ismeretekre. Képzelje el, hogy a kritikus valószínűségű labirintus rendkívül nagy – millió és millió hatszögből áll. Most keressen egy üres hatszögből álló klasztert, és kösse be a klaszter szélét egy vastag fekete Sharpie-val. Ez valószínűleg nem eredményez egyszerű, kerek foltot. Mérföldekről a levegőben egy kanyargó ívet láthat, amely folyamatosan visszafelé duplázódik, gyakran úgy tűnik, mintha keresztezni készülne önmagán, de soha nem vállalja el magát.
Ez egy olyan típusú görbe, amelyet SLE-görbének neveznek, Schramm a 2000 papír amely újradefiniálta a területet. Egy matematikus, aki egy nyitott és egy zárt út megtalálásának esélyeit tanulmányozza, tudja, hogy ezeknek az utaknak a nyitott és zárt helyek nagyobb klasztereiben kell elhelyezkedniük, amelyek végül egy SLE-görbe mentén találkoznak. Az SLE-görbék matematikai tulajdonságai ezután felbecsülhetetlen értékű információval szolgálnak a labirintuson belüli utakról. De ha a matematikusok több azonos típusú utat keresnek, az SLE-görbék sokat veszítenek hatékonyságukból.
2007-re Nolin és munkatársa, Vincent Beffara numerikus szimulációkat készítettek, amelyek kimutatták, hogy a monokromatikus kétkarú kitevő körülbelül 0.35. Ez gyanúsan közel volt a 17/48-hoz – az egykarú kitevő 5/48 és a polikromatikus kétkarú kitevő összege 1/4 (vagy 12/48). „17/48 igazán feltűnő” – mondta Nolin. Kezdett gyanakodni, hogy a 17/48 az igazi válasz – vagyis egyszerű kapcsolat van a különböző típusú kitevők között. Egyszerűen összeadhatod őket. „Azt mondtuk: oké, túl szép, hogy hamis legyen; ennek igaznak kell lennie."
Bevezetés
Egy ideig semmi sem jött ki Nolin és Beffara sejtéséből, bár Nolin közzétette a weboldalán, hogy mások dolgozhassanak. 2017-ben Hongkongba költözött, hogy professzori állást vállaljon a Hongkongi Városi Egyetemen, és tovább dolgozott a problémán. 2018-ban felhozta a kitevőt a beszélgetésben Wei Qian, aki akkor az angliai Cambridge-i Egyetem posztdoktora volt. Qian a véletlen geometriát folytonos, nem pedig diszkrét kontextusban tanulmányozta, különös tekintettel az SLE-görbékre. Egy olyan projekt kellős közepén volt, amely SLE-t használt a kitevők kiszámítására egy másik típusú véletlenszerű modellben, és Nolin gyanítani kezdett, hogy szakértelme a monokromatikus kétkarú kitevő esetében is releváns. A pár hamarosan talált egy egyszerűnek tűnő egyenletet, amelynek megoldása megadná a kitevőt, de ez az egyenlet egy köztes mennyiségre támaszkodott, amely a rács szélén lévő SLE-görbe által bezárt térhez kapcsolódik. Nolin és Qian nem tudta rögzíteni ezt a számot.
"Sok számítást végeztem, de még mindig nem tudtam kiszámítani ezt a tulajdonságot" - mondta Qian. – Nem jártam sikerrel, ezért egy időre abbahagytam.
„Soha nem említettük senkinek, mert nem voltunk biztosak abban, hogy hasznos lesz-e vagy sem” – tette hozzá Nolin.
A gerinckitevő
A monokromatikus kétkarú kitevő különösen érdekes, mert leírja a rács „gerincét” is: a hatszögek gyűjteményét, amelyek két különálló karhoz kapcsolódnak, amelyek két nem átfedő karra nyúlnak: az egyik a labirintus szélére, a másik pedig a központja. Ha ezeket a helyeket beszínezzük, egy hálót alkotnak, amely a teljes rácson átnyúlik, és gerinchálózatnak nevezik. Amikor a kutatók a betegségek vagy a porózus kőzetképződmények terjedését modellezik, a gerinc egy autópálya, amelyen a mikrobák vagy az olaj áramolhatnak. A Nolin és Qian keresett kitevő felfedi a gerinc méretét, és gerinckitevőnek nevezik.
Nem Nolin és Qian voltak az egyedüliek a gerinc után. Xin Sun, akkor a Pennsylvaniai Egyetemen, szintén megpróbálta kiszámítani a gerinckitevőt. Az elmúlt években a Sun és munkatársai, köztük Nina Holden, a New York-i Egyetem munkatársa, rájöttek, hogyan tanulmányozzák az SLE-görbéket véletlenszerű fraktálfelületek segítségével. Ezeknek a terebélyes, ívelt felületeknek karkos szélei vannak, amelyek hosszú indákká nyúlnak ki. Néhány pont egy rövid ugrásnyira van a szomszédoktól, míg mások hónapokig tartó útra vannak. Egyes helyeken ezek a hatások túlságosan extrémek ahhoz, hogy láthatóvá tegyék őket. „Valójában nem lehetséges teljesen pontosan megrajzolni” – mondta Holden. – Nagyon meg kellene nyújtanod a felületet.
2022 nyarán a Sun felkérte Zijie Zhuangot, egy másodéves végzős hallgatót, hogy kritikus valószínűséggel csatlakozzon a véletlen útvesztő tanulmányozásához. Véletlenszerű labirintusokat vettek figyelembe, ahol a hatszögek véletlenszerű fraktálfelületen feküdtek, nem pedig sík síkon. Mivel a véletlen határozza meg, hogy a felület hol és mennyivel van megfeszítve és összenyomva, a felület egyedi tulajdonságokkal rendelkezik. (Ezek a tulajdonságok hasznossá teszik az ilyen felületeket azon fizikusok számára is, akik a kvantumgravitációs modelleket tanulmányozzák egy kétdimenziós univerzumban, és adják nekik a nevüket: Liouville kvantumgravitációs felületek.) Például, ha ollót veszünk egy ilyen felületre, a két fél nem függ egymástól. „Ez a fajta függetlenség nagyon leegyszerűsíti a dolgokat” – mondta Scott Sheffield a Massachusetts Institute of Technology munkatársa. Ha a dolgok véletlenszerűek, kevesebbet tudsz róluk, de ez azt jelentheti, hogy kevesebb információval kell számolnod.
Sun és Zhuang először megpróbálta meghatározni annak valószínűségét, hogy létezik egy nyitott út, amely egy kis kört köt össze a rács középpontja körül egy nagyobb körrel. Miután megválaszolták ezt a kérdést, Sun egy lépést javasolt az ambíció felé: kiszámítani annak esélyét, hogy két út köti össze az egymásba ágyazott köröket, ami lehetővé tette volna a gerincexponens kiszámítását. Hamarosan azonban nehézségekbe ütköztek. "Több hónapig próbálkoztunk ezzel a megközelítéssel, de úgy tűnik, hogy a számítás nem igazán követhető" - írta Zhuang egy e-mailben.
Bevezetés
Eközben, bár Nolinnak és Qiannak nem sikerült megtalálnia a kitevő értékét, más módokon haladtak előre. Qian szabadságot vett a Francia Nemzeti Tudományos Kutatási Központban, és csatlakozott Nolinhoz a Hongkongi Városi Egyetem professzoraként. (Megházasodtak is.) 2021 nyarán Sun és munkatársai néhány iratára bukkant, amelyek felkeltették az érdeklődését, így a járvány miatti utazási korlátozások feloldásával 2022 decemberére látogatást tervezett a Princetoni Institute for Advanced Studyban. , New Jersey, ahol Sun az évet töltötte.
Hasznos látogatásnak bizonyult. Miközben Qian leírta az egyenletet, amelyet ő és Nolin találtak, Sun elkezdett arra gondolni, hogy ez alkalmas lehet az ő és Zhuang által alkalmazott technikára, amellyel a labirintusokat Liouville kvantumgravitációs felületeire fedik le. „Ez egyfajta véletlen egybeesés” – mondta Sun. "Az egyik srácnak van zár, a másiknak kulcsa."
Zhuang kissé szkeptikus volt. "Nincs jóslatunk, és még azt sem tudjuk, hogy a képletnek lesz-e jó megoldása" - mondta a dolgok akkori állapotáról. Sun és Zhuang a következő néhány hónapot a Liouville-i kvantumgravitációs technikájuk – a kulcs – használatával töltötte, hogy feloldják az évekkel korábbi Nolin és Qian egyenletében szereplő megfoghatatlan mennyiséget – a zárat.
Négy hónapnyi munka után Sun és Zhuang kinyitotta a metaforikus zárat. A Sun e-mailt küldött Zhuangnak, Qiannak és Nolinnak, amelyben ezt hirdette: „Nagyszerű hír: Pontos képlet a gerincexponens számára.” A válasz a négyzetgyökök és a trigonometrikus szinuszfüggvény mérsékelten bonyolult kifejezése volt. A korábbi becslésekkel összhangban volt a 0.3566668-cal kezdődő számjegyek végtelen folyama.
A négyen írásos dolgozattá alakították munkájukat, finomítva az érvelést egészen addig, amíg Nolin és Qian, a másik oldalon Sun és Zhuang ötletei egyesültek, és bizonyítékot hoztak arra, hogy Sheffield, aki Sun doktori tanácsadója volt, „gyönyörűnek” nevezte. drágakő." "A bizonyítási stratégia határozottan meglepő és nagyon eredeti, de ha látod, ez is valami természetesnek tűnik" - mondta Holden.
Nolin nehezményezi azt a 2011-es gyanúját, hogy a kitevő pontosan 17/48 volt. „Jó ideig félrevezettük a mezőnyt. Nem vagyok rá nagyon büszke.” A gerinckitevő feltűnően különbözik polikromatikus rokonaitól. Nemcsak irracionális, de transzcendentális is, vagyis mint $latex pi$ ill e, nem írható fel egyszerű polinomegyenlet megoldásaként.
„A bizonyíték nem igazán magyarázza meg, honnan származik ez a képlet” – mondta. "Megmutattuk a fizikusoknak, és nagyon várjuk a betekintést."
A gerincexponens transzcendentális természete felkeltette mások figyelmét a területen. Gregory Huber, a Chan Zuckerberg Biohub munkatársa, aki társszerzője a folytatásos cikk a gerincexponensről azt mondta, hogy szerinte az eredmény egy „új kontinens első pillantása” a statisztikai mechanikában. Bár az SLE-görbék és a Liouville-féle kvantumgravitáció kombinálása rendkívül technikás, a világos és egyszerű numerikus válasz – írta – „elképesztően egyszerű és elegáns”.
- SEO által támogatott tartalom és PR terjesztés. Erősödjön még ma.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Erősítse meg magát. Hozzáférés itt.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Felerősített tudás. Hozzáférés itt.
- PlatoESG. Carbon, CleanTech, Energia, Környezet, Nap, Hulladékgazdálkodás. Hozzáférés itt.
- PlatoHealth. Biotechnológiai és klinikai vizsgálatok intelligencia. Hozzáférés itt.
- Forrás: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
- :van
- :is
- :nem
- :ahol
- ][p
- $ UP
- 2001
- 2008
- 2011
- 2017
- 2018
- 2021
- 2022
- 35%
- a
- Képes
- Rólunk
- felett
- AC
- egyetértés
- Fiók
- pontosan
- át
- tulajdonképpen
- hozzá
- hozzáadott
- hozzáadásával
- fejlett
- ügyek
- Után
- újra
- Augusztus
- AIR
- Minden termék
- mentén
- Is
- becsvágy
- elfogadható
- an
- elemzések
- és a
- Másik
- válasz
- bárki
- alkalmazások
- megközelítés
- közelít
- VANNAK
- érv
- ARM
- fegyver
- körül
- AS
- kijelölt
- At
- figyelem
- vissza
- Hátgerinc
- Egyenleg
- BE
- szép
- lett
- mert
- óta
- előtt
- kezdődött
- Kezdet
- lent
- között
- Nagy
- Bit
- Fekete
- Kék
- test
- mindkét
- hozott
- épít
- de
- by
- számít
- számított
- kiszámítása
- számítás
- számítások
- hívott
- kéri
- Cambridge
- jött
- TUD
- nem tud
- eset
- elkapott
- Cellák
- Celsius
- Központ
- központi
- Század
- bizonyos
- kihívást
- chan
- esély
- esély
- változik
- Változások
- karakter
- jellemzését
- Kör
- körök
- Város
- City University of Hong Kong
- világos
- közel
- zárt
- Fürt
- egybeesés
- együttműködők
- gyűjtemény
- Oszlop
- kombinált
- kombinálása
- hogyan
- érkező
- elkövetése
- teljesen
- bonyolult
- számítás
- számítások
- Kiszámít
- beton
- sejtés
- összefüggő
- Csatlakozó
- figyelembe vett
- állandó
- állandóan
- kontextus
- folyamatos
- kontraszt
- Beszélgetés
- kijavítására
- tudott
- teremt
- készítette
- kritikai
- Kereszt
- görbe
- sötét
- halott
- évtizedek
- december
- minden bizonnyal
- Fok
- függ
- leírt
- körülír
- leíró
- Design
- részlet
- Határozzuk meg
- meghatározza
- DID
- különböző
- nehézségek
- számjegy
- csökkenő
- betegség
- betegségek
- különböző
- do
- Nem
- dominálnak
- ne
- Által
- Páros
- le-
- drasztikusan
- húz
- minden
- Korábban
- könnyebb
- könnyű
- él
- hatékonyan
- hatékonyság
- hatások
- bármelyik
- alakult
- kiemelkedik
- végén
- Végtelen
- vége
- Anglia
- Egész
- megállapítja
- becsült
- becslések
- Még
- végül is
- Minden
- minden
- pontosan
- vár
- szakvélemény
- Magyarázza
- feltárása
- kifejezés
- terjed
- kiterjedő
- szélső
- rendkívüli módon
- Sikertelen
- hamis
- úgy érzi,
- kevés
- mező
- mintás
- megtöltött
- Végül
- Találjon
- megtalálása
- vezetéknév
- lakás
- áramlási
- Összpontosít
- A
- forma
- képlet
- Előre
- talált
- négy
- Franciaország
- francia
- ból ből
- Tele
- funkció
- GAS
- Drágakő
- generált
- kap
- Ad
- adott
- Giving
- megpillant
- jó
- kapott
- diplomás
- grafikon
- gravitációs
- nagy
- Rács
- Nő
- növekszik
- Fickó
- kellett
- fél
- kéz
- Legyen
- tekintettel
- he
- súlyosan
- neki
- <p></p>
- Országút
- övé
- Találat
- Hong
- Hong Kong
- Hogyan
- azonban
- HTML
- http
- HTTPS
- hatalmas
- i
- ICE
- ötletek
- if
- kép
- in
- Más
- Beleértve
- Növelje
- függetlenség
- független
- fertőző
- Fertőző betegségek
- információ
- belső
- Insight
- példa
- helyette
- Intézet
- érdekes
- bele
- Bevezetett
- felbecsülhetetlen
- változatlanul
- irracionális
- IT
- ITS
- maga
- Jersey
- csatlakozik
- csatlakozott
- utazás
- éppen
- tartotta
- Kulcs
- Kedves
- fajta
- Ismer
- tudás
- ismert
- tudja
- Kong
- nagy
- nagyobb
- legnagyobb
- keresztnév
- világi
- Szabadság
- kilépő
- balra
- Hossz
- kevesebb
- fekszik
- felemelte
- fény
- mint
- LINK
- Folyadék
- lock
- Hosszú
- keres
- veszít
- Sok
- alacsonyabb
- készült
- magazin
- csinál
- Gyártás
- maszkok
- Massachusetts
- Massachusetts Institute of Technology
- tömeges
- matematikai
- matematikai
- matematika
- talán
- jelent
- jelenti
- mechanika
- Találkozik
- említett
- esetleg
- Több millió
- MIT
- modell
- modellek
- mérsékelten
- hónap
- több
- a legtöbb
- áthelyezve
- sok
- többszörös
- kell
- név
- nemzeti
- Természetes
- Természet
- Közel
- szükséges
- szomszédok
- Se
- soha
- Új
- New Jersey
- New York
- hír
- következő
- szép
- nem
- semmi
- Most
- szám
- Esély
- of
- gyakran
- Olaj
- on
- ONE
- azok
- csak
- nyitva
- nyitott
- nyit
- or
- eredeti
- Más
- Egyéb
- ki
- felett
- pár
- járvány
- Papír
- papírok
- különösen
- ösvény
- utak
- Pennsylvania
- kimerül
- fizikus
- Helyek
- repülőgép
- tervezett
- Plató
- Platón adatintelligencia
- PlatoData
- zsebek
- pont
- pont
- jelent
- pozíció
- lehetséges
- kiküldött
- Gyakorlati
- megelőző
- jósolt
- előrejelzés
- Tippek
- Princeton
- valószínűleg
- Probléma
- Egyetemi tanár
- nyereséges
- Haladás
- program
- bizonyíték
- ingatlanait
- ingatlan
- büszke
- bizonyított
- Quantamagazine
- mennyiség
- Kvantum
- kérdés
- Kérdések
- gyorsan
- egészen
- véletlen
- véletlenszerűen generált
- Inkább
- Elér
- tényleg
- újradefiniált
- említett
- finomítás
- összefüggő
- követelmény
- kutatás
- kutatók
- korlátozások
- eredményez
- felfedi
- Szikla
- gyökerek
- körül
- Mondott
- azonos
- azt mondják
- forgatókönyv
- tudományos
- keres
- lát
- Úgy tűnik,
- küldött
- különálló
- számos
- Alak
- formák
- ő
- rövid
- kimutatta,
- oldal
- Egyszerű
- egyszerűsíti
- szimulációk
- ül
- Webhely (ek)
- Méret
- szkeptikus
- kicsi
- kisebb
- So
- szilárd
- megoldások
- néhány
- valami
- néha
- nemsokára
- keresett
- Hely
- speciális
- Költési
- költött
- terpeszkedés
- terjedése
- négyzet
- Kezdve
- Állami
- statisztikai
- Lépés
- Még mindig
- megáll
- megállt
- Stratégia
- folyam
- struktúra
- diák
- tanult
- tanulmányok
- Tanulmány
- Tanul
- lényegesen
- sikerül
- ilyen
- hirtelen
- nyár
- nap
- biztos
- felületi
- meglepő
- környező
- Gyanakodva
- Vesz
- Műszaki
- technika
- technikák
- Technológia
- mint
- hogy
- A
- A grafikon
- Az állam
- azok
- Őket
- akkor
- Ott.
- Ezek
- ők
- vékony
- dolgok
- Szerintem
- Azt hiszi
- ezt
- azok
- bár?
- gondoltam
- Keresztül
- idő
- nak nek
- együtt
- is
- vett
- Felsők
- Nyom
- átmenet
- fordít
- utazás
- borzasztóan
- kipróbált
- igaz
- próbál
- Fordult
- kettő
- típus
- alul
- egyedi
- Világegyetem
- egyetemi
- cambridge-i egyetem
- kinyit
- -ig
- használ
- használt
- hasznos
- segítségével
- érték
- nagyon
- Vincent
- Látogat
- kívánatos
- volt
- washington
- Víz
- Út..
- módon
- we
- háló
- webp
- weboldal
- JÓL
- voltak
- Mit
- amikor
- vajon
- ami
- míg
- WHO
- akinek
- lesz
- val vel
- belül
- nélkül
- Munka
- dolgozó
- lenne
- adna
- írott
- írt
- év
- év
- york
- te
- A te
- zephyrnet
- nulla
- Zuckerberg