Michel Talagrand nyeri az Abel-díjat a Véletlenszerűségekért folytatott munkáért | Quanta Magazin

Véletlenszerű folyamatok zajlanak körülöttünk. Egyik nap esik, másnap nem; a részvények és kötvények felértékelődnek és veszítenek; a forgalmi dugók egyesülnek és eltűnnek. Mivel számos olyan tényező irányítja őket, amelyek bonyolult módon kölcsönhatásba lépnek egymással, lehetetlen megjósolni az ilyen rendszerek pontos viselkedését. Ehelyett a valószínűségek alapján gondolkodunk róluk, és az eredményeket valószínűnek vagy ritkanak minősítjük.

Ma a francia valószínűségszámító Michel Talagrand Az Abel-díjjal, a matematika egyik legmagasabb kitüntetésével ítélték oda az ilyen folyamatok mély és kifinomult megértésének fejlesztéséért. A norvég király által átadott díj a Nobel mintájára készült, és 7.5 millió norvég koronával (körülbelül 700,000 XNUMX dollár) jár. Amikor azt mondták neki, hogy nyert, „elment az agyam” – mondta Talagrand. „A matematika egyáltalán nem volt divatos, amikor elkezdtem. Alacsonyabb szintű matematikának tartották. Az a tény, hogy megkaptam ezt a díjat, abszolút bizonyítéka annak, hogy ez nem így van.”

Más matematikusok egyetértenek. Talagrand munkája „megváltoztatta azt, ahogyan a világot látom” – mondta Assaf Naor a Princetoni Egyetemen. Ma – tette hozzá Helge Holden, az Ábel-díj bizottság elnöke, „nagyon népszerűvé válik a valós események véletlenszerű folyamatokkal történő leírása és modellezése. Talagrand szerszámosládája azonnal előkerül.”

Talagrand saját életét valószínűtlen események láncolatának tekinti. Alig fejezte be az általános iskolát Lyonban: bár érdekelte a tudomány, nem szeretett tanulni. 5 éves korában a retinája leválása után elvesztette látását a jobb szemében; 15 éves korában három retinaleválást szenvedett a másik szemében, így egy hónapot kellett kórházban töltenie, bekötözött szemekkel, attól tartva, hogy megvakul. Apja, matematikaprofesszor, minden nap meglátogatta, és lefoglalta elméjét azzal, hogy matematikát tanított neki. „Így tanultam meg az absztrakció erejét” – mondta Talagrand írta az 2019-ban miután megnyerte a Shaw-díjat, egy másik jelentős matematikai díjat, amely 1.2 millió dolláros jutalommal jár. (Talagrand ebből a pénzből, Ábel-nyereményeivel együtt, saját díjat alapít, „a fiatal kutatók eredményeinek elismeréseként azokon a területeken, amelyeknek az életemet szenteltem”.

Fél évet kihagyott az iskolából, amíg felépült, de arra ösztönözte, hogy a tanulmányaira koncentráljon. Matematikából kimagaslóan teljesített, majd miután 1974-ben elvégezte a főiskolát, a Francia Nemzeti Tudományos Kutatóközpont, Európa legnagyobb kutatóintézete alkalmazta, ahol egészen 2017-es nyugdíjazásáig dolgozott. Ezalatt megszerezte a doktori címet; első látásra beleszeretett leendő feleségébe, egy statisztikusba (három nappal a találkozás után megkínálta); és fokozatosan felkeltette az érdeklődését a valószínűségszámítás, és több száz közleményt publikált a témában.

Ez nem volt előre elrendelt. Talagrand karrierjét nagydimenziós geometriai terek tanulmányozásával kezdte. „10 évig nem fedeztem fel, miben vagyok jó” – mondta. De nem bánja meg ezt a kitérőt. Ez végül elvezette a valószínűségszámításhoz, ahol „egy másik nézőpontom volt… ami módot adott arra, hogy másként tekintsek a dolgokra” – mondta. Lehetővé tette számára, hogy véletlenszerű folyamatokat vizsgáljon a nagydimenziós geometria lencséjén keresztül.

„Behozza geometriai intuícióját, hogy tisztán valószínűségi kérdéseket oldjon meg” – mondta Naor.

A véletlenszerű folyamat olyan események összessége, amelyek kimenetele a véletlentől függően modellezhető módon változik – például érmefeldobások sorozata, a gázban lévő atomok pályája vagy a napi csapadékösszeg. A matematikusok meg akarják érteni az egyéni eredmények és az összesített viselkedés közötti kapcsolatot. Hányszor kell feldobni egy érmét, hogy rájöjjön, igazságos-e? Egy folyó túlárad a partján?

Talagrand azokra a folyamatokra összpontosított, amelyek eredményei egy harang alakú, Gauss-görbe szerint oszlanak meg. Az ilyen eloszlások a természetben gyakoriak, és számos kívánatos matematikai tulajdonsággal rendelkeznek. Tudni akarta, mit lehet biztosan mondani a szélsőséges kimenetelekről ezekben a helyzetekben. Tehát bebizonyította az egyenlőtlenségek halmazát, amelyek szigorú felső és alsó határt szabnak a lehetséges kimeneteleknek. „A jó egyenlőtlenség elérése egy műalkotás” – mondta Holden. Ez a művészet hasznos: Talagrand módszerei optimális becslést adhatnak például arra vonatkozóan, hogy egy folyó a következő 10 évben mekkora szintre emelkedhet, vagy a lehetséges legerősebb földrengés mértékére.

Ha összetett, nagy dimenziójú adatokkal van dolgunk, az ilyen maximális értékek megtalálása nehéz lehet.

Tegyük fel, hogy fel szeretné mérni egy folyó áradásának kockázatát – ami olyan tényezőktől függ, mint a csapadék, a szél és a hőmérséklet. A folyó magasságát véletlenszerű folyamatként modellezheti. Talagrand 15 évet töltött az általános láncolásnak nevezett technika kifejlesztésével, amely lehetővé tette számára, hogy egy ilyen véletlenszerű folyamathoz kapcsolódó nagydimenziós geometriai teret hozzon létre. Módszere „módot ad arra, hogy a maximumot olvassa ki a geometriából” – mondta Naor.

A technika nagyon általános, ezért széles körben alkalmazható. Tegyük fel, hogy egy hatalmas, nagy dimenziójú adatkészletet szeretne elemezni, amely több ezer paramétertől függ. Ahhoz, hogy értelmes következtetést lehessen levonni, meg kívánja őrizni az adathalmaz legfontosabb jellemzőit, miközben csak néhány paraméterrel jellemezze azt. (Például ez az egyik módja a különböző fehérjék bonyolult szerkezetének elemzésének és összehasonlításának.) Sok korszerű módszer ezt az egyszerűsítést olyan véletlenszerű művelet alkalmazásával éri el, amely a nagy dimenziós adatokat egy alacsonyabb dimenziós térre képezi le. . A matematikusok a Talagrand általános láncolási módszerét használhatják a folyamat által okozott hiba maximális mennyiségének meghatározására – lehetővé téve számukra, hogy meghatározzák annak esélyét, hogy az egyszerűsített adatkészletben nem marad meg egy fontos jellemző.

Talagrand munkája nemcsak egy véletlenszerű folyamat lehető legjobb és legrosszabb kimenetelének elemzésére korlátozódott. Azt is tanulmányozta, hogy mi történik átlagos esetben.

Számos folyamatban a véletlenszerű egyedi események összességében rendkívül determinisztikus eredményekhez vezethetnek. Ha a mérések függetlenek, akkor a végösszegek nagyon kiszámíthatóvá válnak, még akkor is, ha az egyes eseményeket lehetetlen előre megjósolni. Például dobj fel egy tisztességes érmét. Nem lehet előre megmondani, hogy mi lesz. Fordítsa meg 10-szer, és az esetek 66%-ában négy, öt vagy hat fejet kap – közel az öt fej várható értékéhez. De fordítsa fel az érmét 1,000-szer, és az esetek 450%-ában 550 és 99.7 közötti fejet kap, ami még jobban koncentrálódik az 500-as várható érték körül. „Kivételesen éles az átlag körül” – mondta Holden.

„Bár valamiben annyi véletlenszerűség van, a véletlenszerűség kioltja magát” – mondta Naor. „Ami kezdetben szörnyű káosznak tűnt, az valójában szervezett.”

Ez a jelenség, az úgynevezett mértékkoncentráció, sokkal bonyolultabb véletlenszerű folyamatokban is előfordul. Talagrand olyan egyenlőtlenségek gyűjteményével állt elő, amelyek lehetővé teszik ennek a koncentrációnak a számszerűsítését, és bebizonyította, hogy ez számos különböző összefüggésben felmerül. Technikája eltérést mutatott a területen végzett korábbi munkáitól. 2019-es esszéjében azt írta, hogy az első ilyen egyenlőtlenség „varázslatos élmény” volt. „Állandó lelkesedésben volt”.

Különösen büszke az egyik későbbi koncentrációs egyenlőtlenségére. „Nem könnyű olyan eredményt elérni, amely megpróbál az univerzumra gondolni, és amely egyoldalas bizonyítékot tartalmaz, amelyet könnyen meg lehet magyarázni” – mondta. (Elragadtatva emlékszik vissza, hogy egyszer egy taxis szolgáltatást vett igénybe, amelynek tulajdonosa felismerte a nevét, miután egy valószínűségszámítási órán tanulta meg az egyenlőtlenséget az üzleti iskolában. „Ez rendkívüli volt” – mondta.)

Az általános láncolási módszeréhez hasonlóan Talagrand koncentráció-egyenlőtlenségei az egész matematikában megjelennek. „Elképesztő, milyen messzire megy” – mondta Naor. "A talagrandi egyenlőtlenségek azok a csavarok, amelyek összetartják a dolgokat."

Tekintsünk egy optimalizálási problémát, ahol különböző méretű tételeket kell tálcákba rendezni – ez egy erőforrás-elosztási modell. Ha sok cuccod van, nagyon nehéz kitalálni, hogy hány tárolóedényre lesz szükséged. De Talagrand egyenlőtlenségei megmondhatják, hogy valószínűleg hány rekeszre lesz szüksége, ha a tárgyak mérete véletlenszerű.

Hasonló módszereket alkalmaztak a koncentrációs jelenségek bizonyítására kombinatorika, fizika, számítástechnika, statisztika és egyéb területeken.

A közelmúltban Talagrand a véletlenszerű folyamatok megértését alkalmazta, hogy bebizonyítson egy fontos sejtést a forgó üvegekről, a rendezetlen mágneses anyagokról, amelyeket véletlenszerű, gyakran egymásnak ellentmondó kölcsönhatások hoztak létre. Talagrand csalódott volt, hogy bár a forgó szemüvegek matematikailag jól meghatározottak, a fizikusok jobban megértették őket, mint a matematikusok. „Tövis volt a lábunkban” – mondta. Bebizonyított egy eredményt – a forgó üvegek úgynevezett szabadenergiájáról –, amely alapot adott egy matematikaibb elmélethez.

Pályafutása során Talagrand kutatásait „az a képesség jellemezte, hogy csak hátralépve megtalálja azokat az általános elveket, amelyek mindenhol újra felhasználhatók” – mondta Naor. „Újra meglátogatja és újralátogatja, és mindenféle szemszögből gondolkodik valamin. És végül kiad egy olyan betekintést, amelyből igásló lesz, és amelyet mindenki használ.”

„Nagyon szeretem megérteni az egyszerű dolgokat, mert nagyon lassú az agyam” – mondta Talagrand. – Szóval nagyon-nagyon sokáig gondolok rájuk. Azt mondta, az a vágy hajtja, hogy „valamit mélyen, tiszta módon megértsen, ami sokkal könnyebbé teszi az elméletet. Aztán a következő generáció onnan indulhat, és a saját feltételeik szerint haladhat előre.”

Az elmúlt évtizedben ezt tankönyvek írásával érte el – nemcsak a véletlenszerű folyamatokról és a forgóüvegekről, hanem egy olyan területről is, amelyen egyáltalán nem dolgozik, a kvantumtérelméletről. Szeretett volna tanulni róla, de rájött, hogy az összes tankönyvet, amit csak talált, fizikusok írták és nem matematikusok számára. Tehát ő maga írt egyet. "Miután már nem tudsz feltalálni dolgokat, meg tudod magyarázni" - mondta.