Valószínűség- és számelmélet ütközik – egy pillanat alatt

Ambícióik mindig magasak voltak. Amikor Will Sawin és Melanie Matchett Wood 2020 nyarán először kezdett együtt dolgozni, elhatározták, hogy újragondolják a számelméleti legizgalmasabb sejtések legfontosabb összetevőit. Figyelmük tárgyai, az osztálycsoportok szorosan kapcsolódnak azokhoz az alapvető kérdésekhez, hogy hogyan működik az aritmetika, amikor a számokat az egész számokon túlra terjesztjük. Sawin, a Columbia Egyetemen és Wood, a Harvardon olyan struktúrákra akart jóslatokat tenni, amelyek még általánosabbak és matematikailag megfélemlítőbbek, mint az osztálycsoport.

Még mielőtt befejezték volna jóslataik megfogalmazását, októberben bebizonyították a új eredmény Ez lehetővé teszi a matematikusok számára, hogy a valószínűségszámítás egyik leghasznosabb eszközét alkalmazzák nemcsak osztálycsoportokra, hanem számgyűjteményekre, hálózatokra és sok más matematikai objektumra is.

„Ez csak az az alappapír, amelyhez mindenki fordul, amikor elkezd gondolkodni ezeken a problémákon” – mondta David Zureick-Brown, az Emory Egyetem matematikusa. „Nem olyan érzés többé, mintha a semmiből kellene kitalálnod a dolgokat.”

Egy osztálytörvény

Az osztálycsoport egy példa a csoportnak nevezett strukturált matematikai halmazra. A csoportok sok ismerős halmazt tartalmaznak, például az egész számokat. Az egész számokat az teszi csoporttá, nem csupán számok halmazává, mert összeadhatja elemeit, és egy másik egész számot kaphat. Általánosságban elmondható, hogy egy halmaz akkor csoport, ha olyan művelettel rendelkezik, amely az összeadáshoz hasonlóan két elemet egyesít egy harmadik elemmé oly módon, hogy az megfelel bizonyos alapvető követelményeknek. Például léteznie kell a nullának, egy olyan elemnek, amely nem változtatja meg a többi elemet.

Az egész számok, amelyeket a matematikusok általában $latex mathbb{Z}$-nak neveznek, végtelenek. De sok csoportnak véges számú eleme van. Például egy négy elemből álló csoport létrehozásához vegye figyelembe a {0, 1, 2, 3} halmazt. A szokásos összeadás helyett ossza el bármely két szám összegét 4-gyel, és vegye ki a maradékot. (E szabályok szerint 2 + 2 = 0 és 2 + 3 = 1.) Ezt a csoportot $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$-nak hívják.

Általánosságban elmondható, hogy ha $latex n$ elemekkel szeretne csoportot létrehozni, akkor a számokat nulláról átviheti. n – 1, és vegye figyelembe a maradékot, amikor osztja vele n. Az eredményül kapott csoport neve $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, bár nem mindig ez az egyetlen csoport n elemek.

Az osztálycsoport akkor jelenik meg, amikor a számelméleti szakemberek az egész számokon túli számok szerkezetét vizsgálják. Ehhez új számokat adnak az egész számokhoz, mint pl i (a −1 négyzetgyöke), $latex sqrt{5}$ vagy akár $latex sqrt{–5}$.

„A számokkal kapcsolatban megszokott dolgok ebben az összefüggésben már nem igazak. Vagy legalábbis nem feltétlenül igazak” – mondta Jordan Ellenberg, matematikus a Wisconsini Egyetemen, Madisonban.

Pontosabban, a faktoring másképpen működik az egész számok kiterjesztésében. Ha csak az egész számokhoz ragaszkodik, a számokat csak egyféleképpen lehet prímszámokká (olyan számokká, amelyek csak önmagukkal és 1-gyel oszthatók) faktorozni. Például 6 az 2 × 3, és nem vehető bele más prímszámokba. Ezt a tulajdonságot egyedi faktorizációnak nevezzük.

De ha hozzáadja a $latex sqrt{–5}$ értéket a számrendszerhez, akkor többé nem lesz egyedi faktorizáció. A 6-ot kétféleképpen is beszámíthatja a prímekbe. Még mindig 2 × 3, de $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$ is.

Az ilyen kiterjesztésekből egész számokig osztálycsoportok jönnek létre. „Az osztálycsoportok hihetetlenül fontosak” – mondta Wood. "És így természetes a kérdés: milyenek általában?"

Az egész számok tetszőleges kiterjesztéséhez társított osztálycsoport mérete egy barométer arra vonatkozóan, hogy mennyi egyedi faktorizáció bomlik le. Bár a matematikusok bebizonyították, hogy az osztálycsoportok mindig végesek, szerkezetük és méretük meghatározása bonyolult. Ezért 1984-ben Henri Cohen és Hendrik Lenstra megkockáztatott néhány találgatást. Sejtéseik, amelyeket ma Cohen-Lenstra-heurisztikának hívnak, az összes osztálycsoportra vonatkoztak, amelyek akkor jelennek meg, amikor új négyzetgyököket adunk az egész számokhoz. Ha az összes osztálycsoportot összegyűjtöttük, Cohen és Lenstra válaszokat javasoltak olyan kérdésekre, mint: Milyen arányban tartalmazzák a $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ csoportot? Vagy $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Vagy valami más ismert véges csoport?

Cohen és Lenstra arra ösztönözte a számelméleti szakembereket, hogy ne csupán az osztálycsoportok elszigetelt példáit vegyék figyelembe, hanem az osztálycsoportok egészének alapját képező statisztikákat is. Előrejelzéseik egy olyan vízióba illeszkedtek, amely a matematikát olyan univerzumnak tekinti, amelyben minden szinten fel kell fedezni a mintákat.

Majdnem 40 évvel később a Cohen-Lenstra-heurisztikákról széles körben úgy tartják, hogy igazak, bár senki sem került közel a bizonyításhoz. A matematikára gyakorolt ​​hatásuk érezhető – mondta Nigel Boston, a Madisoni Wisconsini Egyetem emeritus professzora. „Amit felfedeztek, az ez a csodálatos háló” – mondta. "Ott van ez a hatalmas infrastruktúra, ahogyan azt gondoljuk, hogy a világ össze van rakva."

Az egyetlen játék a városban

Mivel a matematikusok nem tudták közvetlenül kezelni a heurisztikát, sokkal könnyebben kezelhető problémákkal álltak elő, amelyek azt remélték, hogy megvilágítják a helyzetet. Ebből a munkából egy hasznos mennyiségi halmaz alakult ki, amelyet a matematikusok pillanatoknak kezdtek nevezni, a valószínűségszámításban használt kifejezés után.

Valószínűleg a pillanatok segíthetnek a véletlen számok mögötti eloszlások kidolgozásában. Vegyük például a napi legmagasabb hőmérséklet eloszlását január 1-jén New Yorkban – annak az esélye, hogy jövő év január 1-jén 10 Fahrenheit-fok, 40 fok, vagy 70 vagy 120 fok lesz. Csak dolgozni kell. a múltbeli adatokkal: a napi csúcs előzménye minden év január 1-jén a feljegyzett történelem kezdete óta.

Ha kiszámítja ezeknek a hőmérsékleteknek az átlagát, egy kicsit tanul, de nem mindent. A 40 fokos átlaghőmérséklet még nem mutatja meg annak az esélyét, hogy a hőmérséklet 50 fok felett vagy 20 alatt lesz.

Ez azonban megváltozik, ha több információt kap. Pontosabban, megtanulhatja a hőmérséklet négyzetének átlagát, amely mennyiség az eloszlás második mozzanataként ismert. (Az átlag az első pillanat.) Vagy megtanulhatja a kockák átlagát, amelyet harmadik momentumként ismerünk, vagy a negyedik hatványok átlagát – a negyedik pillanatot.

Az 1920-as évekre a matematikusok rájöttek, hogy ha ebben a sorozatban a pillanatok kellően lassan nőnek, akkor az összes mozzanat ismeretében arra következtethetünk, hogy csak egy lehetséges eloszlásban vannak ilyen pillanatok. (Bár ez nem feltétlenül teszi lehetővé az eloszlás közvetlen kiszámítását.)

– Ez tényleg nem intuitív – mondta Wood. „Ha a folyamatos elosztásra gondolunk, annak van valamilyen formája. Valahogy olyan érzés, mintha több van benne, mint amit egy számsorozatban el lehet ragadni.”

A Cohen-Lenstra-heurisztikák iránt érdeklődő matematikusok rájöttek, hogy ahogy a valószínűségelméletben a pillanatok valószínűségi eloszlást valósítanak meg, az osztálycsoportok számára meghatározott módon meghatározott momentumok is olyan lencsék lehetnek, amelyeken keresztül láthatjuk méretüket és szerkezetüket. . Jacob Tsimerman, a Torontói Egyetem matematikusa azt mondta, nem tudja elképzelni, hogyan lehetne közvetlenül kiszámítani az osztályok létszámának eloszlását. A pillanatok felhasználása – mondta – „több mint egyszerűbb. Ez az egyetlen játék a városban.”

Ez a varázslatos pillanat

Míg a valószínűség minden mozzanata egy egész számhoz kapcsolódik – a harmadik hatványhoz, a negyedik hatványhoz és így tovább –, a számelméleti szakemberek által bevezetett új mennyiségek mindegyike egy-egy csoportnak felel meg. Ezek az új pillanatok attól függnek, hogy gyakran egy csoportot kisebb csoporttá redukálhat különböző elemek összecsukásával.

A csoporthoz tartozó pillanat kiszámítása G, vegye ki az összes lehetséges osztálycsoportot – egyet minden új négyzetgyökhöz, amelyet hozzáad az egész számokhoz. Minden osztálycsoportnál számold meg, hány különböző módon csukhatod össze G. Ezután vegye ezeknek a számoknak az átlagát. Ez a folyamat bonyolultnak tűnhet, de sokkal könnyebb vele dolgozni, mint a Cohen és Lenstra jóslatai mögött meghúzódó tényleges eloszlás. Bár magukat a Cohen-Lenstra-heurisztikát bonyolult kimondani, az eloszlás általuk megjósolt mozzanatai mind 1.

„Ez arra készteti az embert, hogy azt gondolja, hú, talán a pillanatok a természetes módja annak, hogy megközelítsük” – mondta Ellenberg. "Hihetőbbnek tűnik annak bizonyítása, hogy valami egyenlő 1-gyel, mint azt, hogy egyenlő valami őrült végtelen szorzattal."

Amikor a matematikusok a csoportok (osztálycsoportok vagy egyéb) eloszlását tanulmányozzák, minden csoportra egy egyenletet kapnak. G, a valószínűségek most például a $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$-nak tűnő osztálycsoportok arányát jelentik. A végtelen sok egyenlet és a végtelen sok lehetséges osztálycsoport miatt nehéz megoldani a valószínűségeket. Nem nyilvánvaló, hogy ennek egyáltalán van értelme.

„Ha végtelen összegek állnak rendelkezésére, a dolgok elromolhatnak” – mondta Wood.

A matematikusok azonban, akik továbbra sem tudtak más utakat találni az eloszlások tanulmányozására, folyamatosan visszatértek a pillanatnyi problémához. számában megjelent munkában A matematika évkönyvei 2016-ban Ellenberg, Akshay Venkatesh és Craig Westerland mellett, használt pillanatok hogy az osztálycsoportok statisztikáit egy kicsit más környezetben tanulmányozza, mint azt Cohen és Lenstra gondolta. Ez az ötlet volt újra számos alkalommal. De minden alkalommal, amikor a kutatók felhasználták a pillanatokat, sajátos problémájuk furcsaságaira támaszkodtak, hogy bebizonyítsák, a végtelen egyenlethalmaznak van megoldása. Ez azt jelentette, hogy a technikáik nem voltak átruházhatók. A következő matematikusnak, akinek a pillanatokat kell használnia, újra meg kell oldania a pillanatfeladatot.

Együttműködésük kezdetén Sawin és Wood is ezt az utat tervezte. A pillanatokat arra használták, hogy előre jelezzék az osztálycsoportok bonyolultabb verzióinak elosztását. De körülbelül egy éve a projektjük során magára a pillanatnyi problémára fordították a hangsúlyt.

Oldalra vezetés

A kollégák úgy írják le Sawint és Woodot, hogy szokatlanul szenvedélyesek munkájuk iránt. „Mindketten nagyon okosak. De sok okos ember van” – mondta Zureick-Brown. "Csak pozitívan viszonyulnak a matematikához."

Kezdetben Sawin és Wood a pillanatokat akarta felhasználni arra, hogy a Cohen-Lenstra-jóslatokat új beállításokkal bővítsék. De hamarosan elégedetlenek lettek a pillanatnyi probléma érvével. „Szükségünk volt arra, hogy ismételten hasonló érveket írjunk le” – emlékezett vissza Sawin. Sőt, hozzátette, az általuk használt matematikai nyelv „úgy tűnik, nem a lényege annak, amit az érvelés csinál… Az ötletek ott voltak, de egyszerűen nem találtuk meg a megfelelő módot a kifejezésükre”.

Sawin és Wood mélyebbre ástak a bizonyítékaikban, és megpróbálták kitalálni, mi is van valójában az egész mögött. Végül egy olyan bizonyításra jutottak, amely nemcsak a konkrét alkalmazásukra, hanem a csoportok bármely eloszlására – és mindenféle más matematikai szerkezetre – megoldotta a pillanatnyi problémát.

A problémát apró, kezelhető lépésekre osztják fel. Ahelyett, hogy a teljes valószínűségi eloszlást egy menetben próbálták volna megoldani, a pillanatoknak csak egy kis szeletére koncentráltak.

Például a csoportok közötti valószínűségi eloszlás pillanatproblémájának megoldásához minden pillanatot egy csoporthoz kell társítani G. Először Sawin és Wood egy olyan egyenletrendszert néztek meg, amely csak a csoportok korlátozott listájának pillanatait tartalmazza.. Ezután lassan hozzáadtak csoportokat a listához, és minden alkalommal újabb és újabb pillanatokat néztek meg. A probléma fokozatos összetettebbé tételével minden lépést megoldható problémává tettek. Apránként felépítették a pillanatnyi probléma teljes megoldását.

„Ez a rögzített lista olyan, mint a felhúzott szemüveg, és minél több csoportot hajlandó figyelembe venni, annál jobb a szemüveg” – magyarázta Wood.

Amikor végre leporolták az utolsó részletet is, vitába kerültek, amelynek indái átnyúltak a matematikán. Eredményük bevált osztálycsoportokra, geometriai alakzatokhoz kapcsolódó csoportokra, pontok és vonalak hálózataira, valamint más, matematikailag bonyolultabb halmazokra. Ezekben a helyzetekben Sawin és Wood talált egy képletet, amely pillanatok halmazát veszi fel, és kiköpi az adott pillanatokat tartalmazó disztribúciót (egyéb követelmények mellett mindaddig, amíg a pillanatok nem nőnek túl gyorsan).

„Nagyon Melanie stílusához illik” – mondta Ellenberg. „Ha úgy akarok lenni, 'Bizonyítsunk be egy nagyon általános tételt, amely sok különböző esetet egységesen és elegánsan kezel."

Sawin és Wood most visszatérnek eredeti céljukhoz. Január elején osztoztak egy új papír ez korrigálja téves Cohen-Lenstra jóslatok az 1980-as évek végén Cohen és kollégája, Jacques Martinet készítette. Ezen túlmenően még több eredmény van a sorban, és a tervek szerint a heurisztikát még több új helyzetre is kiterjesztik. „Nem tudom, hogy ez a projekt véget ér-e valaha” – mondta Sawin.

A pillanatnyi probléma, amelyet Sawin és Wood megoldott, „egyfajta tüske volt a fejedben sok különböző kérdéshez” – mondta Tsimerman. – Azt hiszem, sok matematikus megkönnyebbülten fellélegez.