Amikor Daniel Larsen középiskolás volt, elkezdett keresztrejtvényeket tervezni. A hobbit a többi érdeklődési köre mellé kellett raknia: sakk, programozás, zongora, hegedű. Miután megnyerte regionális versenyét, kétszer kvalifikálta magát a Scripps National Spelling Bee-re Washington D.C. közelében. „Összpontosít valamire, és csak bú, bumm, bumm, amíg sikerül” – mondta Larsen édesanyja, Ayelet Lindenstrauss. Első keresztrejtvényeit a nagyobb újságok elutasították, de kitartott mellette, és végül betört. A mai napig tartja a rekordot a legfiatalabb személy, akiben keresztrejtvényt publikálhat A New York Times, 13 évesen. „Nagyon kitartó – mondta Lindenstrauss.
Ennek ellenére Larsen legutóbbi rögeszméje más volt, „hosszabb és intenzívebb, mint a legtöbb projektje” – mondta. Larsen több mint másfél évig nem tudott megállni egy bizonyos matematikai feladaton.
Egy tágabb kérdésben gyökerezik, amelyet Carl Friedrich Gauss matematikus a matematika egyik legfontosabb kérdésének tartott: hogyan lehet megkülönböztetni egy prímszámot (olyan számot, amely csak 1-gyel osztható önmagával) az összetett számtól. A matematikusok több száz éve keresték ennek hatékony módját. A probléma a modern kriptográfia kontextusában is aktuálissá vált, mivel a mai legszélesebb körben használt kriptorendszerek némelyike hatalmas prímszámokkal végzett aritmetikával jár.
Több mint egy évszázaddal ezelőtt a matematikusok egy gyors, erőteljes primalitásteszt után kutatva egy csoport bajkeverőbe botlottak – olyan számokba, amelyek megtévesztik a teszteket, és azt gondolják, hogy prímszámúak, pedig nem azok. Ezeket a pszeudoprímeket, amelyeket Carmichael-számoknak neveznek, különösen nehéz volt megragadni. Például csak az 1990-es évek közepén bizonyították be a matematikusok, hogy végtelenül sok van belőlük. Még nagyobb kihívást jelent az, hogy többet mondhatunk arról, hogyan oszlanak meg a számegyenesen.
Aztán jött Larsen is új bizonyíték éppen erről, a számelmélet egy másik területén végzett közelmúltbeli korszakos munkák ihlette. Ekkor még csak 17 éves volt.
A szikra
Az Indiana állambeli Bloomingtonban nőtt fel, Larsent mindig is vonzotta a matematika. Szülei, mindketten matematikusok, fiatal korukban avatták be őt és nővérét a témába. (Most matematikából doktorál.) Amikor Larsen 3 éves volt – emlékszik vissza Lindenstrauss – elkezdett filozófiai kérdéseket feltenni neki a végtelenség természetéről. „Azt hittem, ennek a gyereknek van matematikai elméje” – mondta Lindenstrauss, az Indiana Egyetem professzora.
Aztán néhány évvel ezelőtt – körülbelül abban az időben, amikor elmerült a helyesírási és keresztrejtvény-projektjeiben – rábukkant egy dokumentumfilm körülbelül Yitang Zhang, egy ismeretlen matematikus, aki 2013-ban emelkedett fel a homályból, miután mérföldkőnek számító eredményt bizonyítva amelyek felső korlátot tesznek az egymást követő prímszámok közötti résekre. Valami kattant Larsenben. Nem tudta megállni, hogy ne gondoljon a számelméletre, és a kapcsolódó problémára, amelyet Zhang és más matematikusok még mindig reméltek megoldani: az ikerprím-sejtésről, amely azt állítja, hogy végtelenül sok olyan prímpár van, amelyek csak 2-vel különböznek egymástól.
Zhang munkája után, amely kimutatta, hogy végtelenül sok olyan prímpár van, amelyek 70 milliónál kevesebbel térnek el egymástól, mások beugrottak hogy ezt a határt még tovább csökkentsék. Hónapokon belül a matematikusok James Maynard és a Terence tao önállóan bizonyított egy még erősebb állítást a prímszámok közötti hézagokról. Ez a különbség azóta 246-ra csökkent.
Larsen meg akart érteni néhány matematikát, amely Maynard és Tao munkája mögött rejlik, „de ez nagyjából lehetetlen volt számomra” – mondta. A papírjaik túl bonyolultak voltak. Larsen megpróbált elolvasni a kapcsolódó műveket, de azt is áthatolhatatlannak találta. Kitartott mellette, egyik eredményről a másikra ugrált, míg végül 2021 februárjában egy olyan papírra bukkant, amelyet egyszerre szépnek és érthetőnek talált. Tárgya: Carmichael-számok, azok a furcsa összetett számok, amelyek néha prímnek tűnhetnek.
Minden, kivéve Prime
A 17. század közepén Pierre de Fermat francia matematikus levelet írt barátjának és bizalmasának, Frénicle de Bessy-nek, amelyben kijelentette, amit később „kis tételének” neveznek. Ha N akkor egy prímszám bN - b mindig többszöröse N, bármi történjék b van. Például a 7 egy prímszám, és ennek eredményeként a 27 – 2 (ami 126-nak felel meg) a 7 többszöröse. Hasonlóképpen, a 37 – A 3 a 7 többszöröse, és így tovább.
A matematikusok meglátták a lehetőséget egy tökéletes tesztben, hogy egy adott szám prím-e vagy összetett-e. Tudták, hogy ha N elsőrendű, bN - b mindig többszöröse N. Mi van, ha ennek a fordítottja is igaz? Vagyis ha bN - b többszöröse N minden értékéhez b, kell N első számú?
Sajnos kiderült, hogy nagyon ritka esetekben N kielégíti ezt a feltételt, és továbbra is összetett. A legkisebb ilyen szám 561: Bármely egész számra b, b561 - b mindig 561 többszöröse, még akkor is, ha 561 nem prímszám. Az ehhez hasonló számokat Robert Carmichael matematikusról nevezték el, akit gyakran az első példa 1910-es publikálásának tulajdonítanak (bár Václav Šimerka cseh matematikus 1885-ben önállóan fedezett fel példákat).
A matematikusok jobban meg akarták érteni ezeket a számokat, amelyek annyira hasonlítanak a számelmélet legalapvetőbb objektumaira, a prímekre. Kiderült, hogy 1899-ben – egy évtizeddel Carmichael eredménye előtt – egy másik matematikus, Alwin Korselt egyenértékű meghatározással állt elő. Egyszerűen nem tudta, hogy vannak-e olyan számok, amelyek megfelelnek a számlának.
Korselt kritériuma szerint egy szám N akkor és csak akkor egy Carmichael-szám, ha három tulajdonságot teljesít. Először is, egynél több elsődleges tényezővel kell rendelkeznie. Másodszor, egyetlen elsődleges tényező sem ismétlődhet meg. Harmadszor pedig minden elsőszámú p hogy oszt N, p – 1 is oszt N – 1. Tekintsük újra az 561-es számot. Ez egyenlő 3 × 11 × 17-tel, tehát egyértelműen kielégíti Korselt listáján az első két tulajdonságot. Az utolsó tulajdonság megjelenítéséhez minden prímtényezőből vonjon le 1-et, hogy 2, 10 és 16 legyen. Ezenkívül vonjon le 1-et 561-ből. Mindhárom kisebb szám osztója 560-nak. Az 561-es szám tehát egy Carmichael-szám.
Bár a matematikusok azt gyanították, hogy végtelenül sok Carmichael-szám létezik, a prímekhez képest viszonylag kevés van, ami megnehezítette a rögzítést. Aztán 1994-ben Red Alford, Andrew Granville és a Carl Pomerance áttörést publikált papír amelyben végül bebizonyították, hogy valóban végtelenül sok van ezekből az álprímekből.
Sajnos az általuk kifejlesztett technikák nem tették lehetővé számukra, hogy bármit is mondjanak arról, hogyan néznek ki ezek a Carmichael-számok. Csoportokban jelentek meg a számegyenes mentén, nagy rések között? Vagy mindig találsz egy Carmichael-számot rövid idő alatt? „Azt hinné az ember, ha be tudja bizonyítani, hogy végtelenül sok van belőlük” – mondta Granville –, akkor bizonyára be kell tudnia bizonyítani, hogy nincsenek nagy szakadékok közöttük, és viszonylag jól el kell helyezni őket.
Ő és szerzőtársai különösen azt remélték, hogy bebizonyítanak egy olyan állítást, amely ezt az elképzelést tükrözi – amely kellően nagy szám mellett Xközött mindig lesz Carmichael szám X és 2X. „Ez egy másik módja annak, hogy kifejezzük, mennyire mindenütt jelen vannak” – mondta Jon Grantham, az Institute for Defense Analyzes matematikusa, aki hasonló munkát végzett.
De évtizedekig senki sem tudta bizonyítani. Az Alford, Granville és Pomerance által kifejlesztett technikák „lehetővé tették számunkra, hogy megmutassuk, hogy sok Carmichael-szám lesz” – mondta Pomerance. ”
Aztán 2021 novemberében Granville megnyitott egy e-mailt Larsentől, aki akkor 17 éves volt, és a középiskola utolsó évében járt. A papír csatolták – és Granville meglepetésére helyesnek tűnt. „Nem ez volt a valaha volt legkönnyebb olvasmány” – mondta. „De amikor elolvastam, teljesen egyértelmű volt, hogy nem vacakol. Zseniális ötletei voltak.”
Pomerance, aki elolvasta a mű későbbi változatát, egyetértett. "A bizonyítása valóban meglehetősen fejlett" - mondta. „Ez egy olyan dolgozat lenne, amelyre bármely matematikus büszke lenne. És itt egy középiskolás gyerek írja.”
Larsen bizonyításának kulcsa az a munka volt, amely elsősorban a Carmichael-számokhoz vonzotta: Maynard és Tao eredményei a prímhézagokról.
Valószínűtlen – nem lehetetlen
Amikor Larsen először meg akarta mutatni, hogy rövid idő alatt mindig meg lehet találni egy Carmichael-számot, „úgy tűnt, hogy ez nyilvánvalóan igaz, milyen nehéz bizonyítani?” ő mondta. Hamar rájött, hogy ez nagyon nehéz lehet. „Ez egy olyan probléma, amely próbára teszi korunk technológiáját” – mondta.
1994-es tanulmányukban Alford, Granville és Pomerance megmutatta, hogyan lehet végtelenül sok Carmichael-számot létrehozni. De nem tudták ellenőrizni a megalkotásukhoz használt prímszámok méretét. Larsennek ezt kell tennie, hogy viszonylag közeli méretű Carmichael-számokat építsen. A probléma nehézsége aggasztotta apját, Michael Larsent. „Nem tartottam lehetetlennek, de valószínűtlennek tartottam, hogy sikerüljön” – mondta. „Láttam, mennyi időt tölt ezzel… és úgy éreztem, pusztító lenne, ha ennyit odaadna magából, és nem kapná meg.”
Ennek ellenére jobban tudta, mint hogy megpróbálja lebeszélni a fiát. „Amikor Daniel elkötelezi magát valami mellett, ami igazán érdekli őt, mindig kitart mellette” – mondta.
Larsen tehát visszatért Maynard dolgozataihoz – különösen ahhoz, hogy bemutassa, hogy ha elég számsorozatot veszünk, akkor ezeknek a számoknak bizonyos részhalmazainak prímszámúnak kell lenniük. Larsen módosította Maynard technikáit, hogy összekapcsolja azokat Alford, Granville és Pomerance módszereivel. Ez lehetővé tette számára, hogy biztosítsa, hogy a végül kapott prímszámok mérete változó legyen – elég ahhoz, hogy olyan Carmichael-számokat állítson elő, amelyek az általa kívánt intervallumok közé esnek.
„Jobb irányítása van a dolgok felett, mint mi valaha is” – mondta Granville. És ezt Maynard munkájának különösen okos felhasználásával érte el. „Nem könnyű… ezt a haladást a prímszámok közötti rövid résekre használni” – mondta Kaisa Matomäki, a finn Turku Egyetem matematikusa. "Nagyon szép, hogy össze tudja kapcsolni ezt a Carmichael-számokra vonatkozó kérdéssel."
Valójában Larsen érvelése nem csak azt tette lehetővé, hogy bemutassa, hogy egy Carmichael-számnak mindig szerepelnie kell közöttük X és 2X. Bizonyítása sokkal kisebb időközönként is működik. A matematikusok most azt remélik, hogy segít feltárni e furcsa számok viselkedésének más aspektusait is. „Ez egy másik ötlet” – mondta Thomas Wright, a dél-karolinai Wofford College matematikusa, aki pszeudoprímszámokon dolgozik. "Sok mindent megváltoztat abban, hogy miként bizonyíthatunk a Carmichael-számokkal kapcsolatban."
Grantham beleegyezett. „Most olyan dolgokat tehet, amelyekre soha nem is gondolt” – mondta.
Larsen eközben most kezdte elsőéves évfolyamát a Massachusetts Institute of Technology-ban. Nem tudja, milyen problémán dolgozhat legközelebb, de alig várja, hogy megtudja, mi van. „Csak tanfolyamokat veszek… és próbálok nyitott lenni” – mondta.
„Mindezt alapképzés nélkül tette” – mondta Grantham. – El tudom képzelni, mire készül majd a posztgraduális iskolában.
