A rejtett kapcsolat, amely megváltoztatta a számelméletet | Quanta Magazin

Háromféle prímszám létezik. Az első egy magányos kiugró érték: 2, az egyetlen páros prím. Ezt követően a prímszámok fele 1-es maradékot hagy, ha elosztjuk 4-gyel. A másik fele 3-at hagy. (5 és 13 esik az első táborba, 7 és 11 a másodikba.) Nincs nyilvánvaló oka annak, hogy a maradék Az -1 prímeknek és a maradék-3 prímeknek alapvetően eltérő módon kell viselkedniük. De igen.

Az egyik legfontosabb különbség a másodfokú kölcsönösségnek nevezett tulajdonságból fakad, amelyet először Carl Gauss, a 19. század vitathatatlanul legbefolyásosabb matematikusa bizonyított be. „Ez egy meglehetősen egyszerű állítás, amely mindenhol alkalmazható, mindenféle matematikában, nem csak a számelméletben” – mondta. James Rickards, matematikus a Colorado Egyetemen, Boulderben. "De ez nem is elég nyilvánvaló ahhoz, hogy igazán érdekes legyen."

A számelmélet a matematikának egy olyan ága, amely egész számokkal foglalkozik (szemben mondjuk alakzatokkal vagy folytonos mennyiségekkel). A prímszámok – amelyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók – a magját képezik, akárcsak a DNS a biológia magja. A kvadratikus reciprocitás megváltoztatta a matematikusok elképzelését arról, hogy mennyi mindent lehet bizonyítani róluk. Ha a prímszámokra hegyláncként gondolunk, a kölcsönösség olyan, mint egy keskeny ösvény, amely lehetővé teszi a matematikusok számára, hogy felmásszanak a korábban elérhetetlen csúcsokra, és ezekről a csúcsokról meglássák a rejtett igazságokat.

Bár ez egy régi tétel, továbbra is vannak új alkalmazásai. Ezen a nyáron Rickards és kollégája Katherine Stange, két diákkal együtt, megcáfolt egy széles körben elfogadott sejtést arról, hogyan lehet kis köröket becsomagolni egy nagyobbba. Az eredmény sokkolta a matematikusokat. Sarnak Péter, az Institute for Advanced Study és a Princeton Egyetem számelmélete beszélt Stange-gel egy konferencián, nem sokkal a csapata után. kiküldött a papírjukat. „Azt mondta, van egy ellenpéldája” – emlékezett vissza Sarnak. Azonnal megkérdeztem tőle: Használja valahol a kölcsönösséget? És valóban ezt használta.”

Minták prímpárokban

A kölcsönösség megértéséhez először meg kell értenie a moduláris aritmetikát. A moduláris műveletek a maradékok kiszámításán alapulnak, amikor egy modulusnak nevezett számmal osztunk. Például a 9 modulo 7 az 2, mert ha 9-et elosztunk 7-tel, akkor marad a 2 maradéka. A modulo 7 számrendszerben 7 szám van: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Ezeket a számokat összeadhatja, kivonhatja, szorozhatja és oszthatja.

Csakúgy, mint az egész számoknál, ezekben a számrendszerekben is lehetnek tökéletes négyzetek – olyan számok, amelyek egy másik szám és önmaga szorzata. Például 0, 1, 2 és 4 a tökéletes négyzetek modulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 és 3 × 3 = 2 mod 7). Minden közönséges négyzet egyenlő lesz 0, 1, 2 vagy 4 modulo 7 értékkel. (Például 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Mivel a moduláris számrendszerek végesek, a tökéletes négyzetek gyakoribbak.

A másodfokú reciprocitás egy viszonylag egyszerű kérdésből fakad. Adott két prímszám p és a q, ha ezt tudod p tökéletes négyzet alakú modulo q, meg tudod mondani, hogy vagy sem q tökéletes négyzet alakú modulo p?

Kiderül, hogy amíg bármelyik p or q 1-gyel osztva 4 maradékot hagy, ha p tökéletes négyzet alakú modulo q, Akkor q tökéletes négyzet alakú modulo is p. A két prím állítólag kölcsönös.

Másrészt, ha mindketten 3-as maradékot hagynak (például 7-et és 11-et), akkor nem viszonozzák: Ha p egy négyzet alakú modulo q, ez azt jelenti q nem négyzet alakú modulo lesz p. Ebben a példában a 11 egy négyzet modulo 7, mivel 11 = 4 mod 7, és már tudjuk, hogy a 4 az egyik tökéletes modulo 7 négyzet. Ebből következik, hogy a 7 nem egy négyzet modulo 11. Ha figyelembe vesszük a közönségesek listáját négyzetek (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …), és nézd meg a maradékukat modulo 11, akkor a 7 soha nem fog megjelenni.

Ez, szakkifejezéssel élve, nagyon furcsa!

Az általánosítás ereje

Sok matematikai elképzeléshez hasonlóan a kölcsönösség is azért volt hatással, mert általánosítható.

Nem sokkal azután, hogy Gauss 1801-ben közzétette a másodfokú reciprocitás első bizonyítékát, a matematikusok megpróbálták kiterjeszteni az elképzelést a négyzeteken túlra. „Miért nem harmadik vagy negyedik hatalom? Azt képzelték, hogy van egy köbös kölcsönösségi törvény vagy a kvartikus kölcsönösségi törvény” – mondta Keith Conrad, a Connecticuti Egyetem számelmélete.

De elakadtak – mondta Conrad –, „mert nincs egyszerű minta”. Ez megváltozott, miután Gauss behozta a kölcsönösséget a komplex számok birodalmába, amelyek hozzáadják a mínusz 1 négyzetgyökét, amelyet i, közönséges számokhoz. Bevezette azt az elképzelést, hogy a számelméletek nemcsak közönséges egészeket, hanem más egész számszerű matematikai rendszereket is elemezhetnek, például az úgynevezett Gauss-egészeket, amelyek olyan komplex számok, amelyeknek valós és képzetes része is egész szám.

A Gauss-egész számokkal az egész fogalma megváltozott arról, hogy mi számít prímszámnak. Például az 5 már nem prím, mert 5 = (2 + i) × (2 − i). „Újra újra kell kezdened, mintha általános iskolás lennél” – mondta Conrad. 1832-ben Gauss bebizonyította a kvartikus reciprocitás törvényét a nevét viselő összetett egész számokra.

A matematikusok hirtelen megtanultak olyan eszközöket alkalmazni ezekre az új számrendszerekre, mint a moduláris aritmetika és a faktorizáció. Conrad szerint a kvadratikus kölcsönösség volt az inspiráció.

A komplex számok nélkül megfoghatatlan minták most kezdtek megjelenni. Az 1840-es évek közepére Gotthold Eisenstein és Carl Jacobi bebizonyították az első köbös kölcsönösségi törvényeket.

Aztán az 1920-as években Emil Artin, a modern algebra egyik alapítója felfedezte azt, amit Conrad a „végső kölcsönösség törvényének” nevez. Az összes többi kölcsönösségi törvény az Artin-féle kölcsönösségi törvény speciális eseteinek tekinthető.

Egy évszázaddal később a matematikusok még mindig új bizonyítékokat dolgoznak ki Gauss első másodfokú reciprocitási törvényére, és általánosítják azt új matematikai összefüggésekre. Hasznos lehet, ha sok különböző bizonyíték van. "Ha az eredményt egy új beállításra szeretné kiterjeszteni, akkor az egyik érv könnyen átvehető, míg a többi nem" - mondta Conrad.

Miért olyan hasznos a kölcsönösség?

A másodfokú reciprocitást olyan változatos kutatási területeken használják, mint a gráfelmélet, az algebrai topológia és a kriptográfia. Ez utóbbiban egy befolyásos nyilvános kulcsú titkosítási algoritmust fejlesztett ki 1982-ben Shafi Goldwasser és a Silvio micali két nagy prímszám szorzásától függ p és a q együtt és kiadja az eredményt, N, számmal együtt, x, ami nem négyzetes modulo N. Az algoritmus használ N és a x hogy a digitális üzeneteket nagyobb számsorokká titkosítsák. A karakterlánc visszafejtésének egyetlen módja annak eldöntése, hogy a titkosított karakterlánc minden egyes száma négyzet alakú-e vagy sem N — gyakorlatilag lehetetlen a prímszámok értékének ismerete nélkül p és a q.

És természetesen a másodfokú reciprocitás többször is felbukkan a számelméletben. Például felhasználható annak bizonyítására, hogy bármely 1 modulo 4-nek megfelelő prímszám felírható két négyzet összegeként (például 13 egyenlő 1 modulo 4-el, és 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Ezzel szemben a 3 modulo 4-nek megfelelő prímek soha nem írhatók fel két négyzet összegeként.

Sarnak megjegyezte, hogy a kölcsönösséget fel lehet használni nyitott kérdések megoldására, például annak kiderítésére, hogy mely számok írhatók fel három kocka összegeként. Köztudott, hogy a 4 vagy 5 modulo 9 számok nem egyenlők három kocka összegével, de mások rejtélyek maradnak. (2019-ben Andrew Booker generált címsorokat amikor felfedezte, hogy (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

A sokféle alkalmazás és a sokféle bizonyíték ellenére a kölcsönösségben van valami, ami rejtély marad, mondta Stange.

„A matematikai bizonyítással gyakran előfordul, hogy minden lépést követni tudsz; elhiheted, hogy ez igaz – mondta. "És még mindig kijöhetsz a másik végén úgy, hogy "de miért?"

A zsigeri szinten megérteni, hogy miben különbözik a 7 és a 11 az 5-től és a 13-tól, örökre elérhetetlen lehet. „Csak annyi absztrakciós szinttel tudunk zsonglőrködni” – mondta. „Mindenhol megjelenik a számelméletben… és mégis csak egy lépéssel túl van azon, amit igazán tudhatnál.”

Quanta felméréssorozatot végez közönségünk jobb kiszolgálása érdekében. Vidd a miénket matematika olvasói felmérés és ingyenesen nyerhetsz Quanta árut.