Bevezetés
Gina, a geometriahallgató túl későn maradt fenn tegnap este, és közben nézte a házi feladatát A nagy brit sütni, így amikor végre lefeküdt, álmos elméje még mindig tele volt süteményekkel és iránytűkkel. Ez egy nagyon szokatlan álomhoz vezetett.
Gina a Great Brownie Bake Off bírájának találta magát az Imaginary University-n, egy olyan iskolában, ahol a diákok sok geometriát tanulnak, de nagyon keveset aritmetikát. Az Imaginary U diákjaiból álló csapatok a tőlük telhető legnagyobb brownie elkészítését kapták, és Ginára volt bízva a győztes meghatározása.
Az Alpha csapat végzett elsőként, és büszkén mutatta be négyszögletes brownie-jukat a zsűrizésnek. Gina előhúzott egy vonalzót, és megmérte a brownie-t: 16 hüvelyk hosszú és 9 hüvelyk széles volt. A Team Beta gyorsan követte négyzet alakú brownie-ját, amely mindkét oldalon 12 hüvelykes volt. Ekkor kezdődtek a bajok.
– A mi brownie-nk sokkal hosszabb, mint a tiéd – mondta az Alpha csapat kapitánya. "A miénk egyértelműen nagyobb, tehát mi vagyunk a nyertesek!"
„De a téglalap rövidebb oldala sokkal rövidebb, mint a mi négyzetünk oldala” – mondta a Team Beta képviselője. „A mi terünk egyértelműen nagyobb. Nyertünk!”
Gina furcsának találta, hogy ezen vitatkozik. „A téglalap alakú brownie területe 9-szer 16, ami 144 négyzethüvelyk” – mondta. „A négyzet alakú brownie területe 12-szer 12, ami szintén 144 négyzethüvelyk. A brownie egyforma méretű: nyakkendő.
Mindkét csapat zavarodottnak tűnt. „Nem értem, mit értesz „idő” alatt” – mondta egy diák, akit soha nem tanítottak szorzásra. – Én sem – mondta egy másik. Egy harmadik azt mondta: „Hallottam a Complex College hallgatóiról, hogy egyszer számokkal mérik a területet, de mit jelent ez?” Az Imaginary University valóban furcsa hely volt, még az álmok szerint is.
Mit csinált Gina? Hogyan tudta meggyőzni a csapatokat arról, hogy a brownie-juk egyforma méretű, ha nem értik, hogyan kell területet mérni és számokat szorozni? Szerencsére Ginának zseniális ötlete támadt. – Adj egy kést – mondta.
Gina 12 hüvelyket mért le a téglalap alakú brownie hosszú oldalán, és párhuzamosan vágott a rövid oldalával. Ez a nagy téglalapot két kisebbre változtatta: az egyik 9 x 12, a másik 9 x 4 méretű. Három gyors vágással a 9-szeres darabból három kisebb, 4-3-es darabot alakított. Egy kis átrendezés eredményeként hallható jaj és áá a tömegből: Gina a téglalapot a négyzet pontos másolatává változtatta.
Mindkét csapatnak most meg kellett egyeznie, hogy a brownie-ja azonos méretű. Az egyik feldarabolásával és a másik átrendezésével Gina megmutatta, hogy a két brownie ugyanazt a teljes területet foglalja el. Az ehhez hasonló boncolásokat évezredek óta használják a geometriában annak bizonyítására, hogy az ábrák azonos méretűek, és sok figyelemre méltó eredmény született a boncolással és az ekvivalenciával kapcsolatban. A matematikusok még ma is használják a boncolást és az átrendezést, hogy teljes mértékben megértsék, mikor ekvivalensek bizonyos alakzatok, ami néhány meglepő újabb eredményhez vezet.
Valószínűleg látott már geometriai boncolást matematika órán, amikor az alapvető alakzatok területképleteit fejleszti. Emlékezhet például arra, hogy egy paralelogramma területe egyenlő az alapja hosszának és a magasságának szorzatával: Ez azért van, mert a paralelogramma szétszedhető és átrendezhető téglalappá.
Ez a boncolgatás megmutatja, hogy a paralelogramma területe megegyezik egy azonos bázisú és magasságú téglalap területével, ami, mint aki nem járt a Képzelt Egyetemre, tudja, ennek a két számnak a szorzata.
Ha már az Imaginary U-ról beszélünk, a Great Brownie Bake Off éppen melegedett. A Gamma csapat egy nagy, háromszög alakú brownie-val közeledett. „Itt a nyertes” – jelentették ki merészen. "Mindkét oldalunk sokkal hosszabb, mint a többi."
Gina végigmérte az oldalakat. "Ennek is ugyanaz a területe!" – kiáltott fel a lány. – Ez egy derékszögű háromszög, és a lábak 18 és 16 méretűek, tehát a terület… Gina egy pillanatra megállt, és észrevette, hogy mindenki arcán zavarodottan néznek. "Semmi baj. Csak add ide a kést."
Gina ügyesen szeletelt a hipotenusz felezőpontjától a hosszabb láb felezőpontjáig, majd elforgatta az újonnan kialakított háromszöget, hogy tökéletes téglalap legyen, amikor belefészkelődött a nagyobb darabba.
– Pontosan ez a mi brownie-nk! – kiáltott fel az Alfa csapata. Az biztos, hogy a kapott téglalap 9x16 volt: pontosan akkora, mint az övék.
A Bétának voltak kétségei. – De hogyan viszonyul ez a háromszög a mi négyzetünkhöz? – kérdezte a csapatvezetőjük.
Gina készen állt erre. "Már tudjuk, hogy a téglalap és a négyzet egyforma méretű, tehát tranzitivitás alapján a háromszög és a négyzet azonos méretű." A tranzitivitás az egyenlőség egyik legfontosabb tulajdonsága: Azt mondja, hogy ha a = b és a b = c, Akkor a = c. Gina így folytatta: „Ha az első brownie területe egyenlő a másodikéval, és a második brownie területe egyenlő a harmadikéval, akkor az első és a harmadik brownie-nak is egyenlőnek kell lennie.”
De Gina túl jól szórakozott a boncolásokon ahhoz, hogy itt megálljon. – Vagy vághatunk még néhányat.
Először Gina elforgatta a téglalapot, amely korábban háromszög volt. Aztán pontosan ugyanazzal a mintával vágta ki, mint az Alfa csapat téglalapján.
Aztán megmutatta, hogyan lehet a Gamma-csapat háromszögének ezt az új metszetét a Béta-csapat négyzetévé alakítani, pontosan úgy, ahogyan azt az Alfa-csapat téglalapjával tette.
Ebben a helyzetben azt mondjuk, hogy a háromszög és a négyzet „olló egybevágó”: Elképzelheti, hogy ollóval vágja fel az egyik figurát véges sok darabra, amelyeket aztán átrendezhet a másikra. A háromszög és a négyzet esetében a brownie-k pontosan megmutatják, hogyan működik ez az ollókongruencia.
Figyeljük meg, hogy a minta mindkét irányban működik: Használható a háromszögből négyzetté, vagy a négyzetből háromszöggé alakítható. Más szavakkal, az ollókongruencia szimmetrikus: Ha az A alakzat a B formával egybevágó olló, akkor a B alakzat egyben az A formával egybevágó olló is.
Valójában a háromszögre, a téglalapra és a négyzetre vonatkozó fenti érv azt mutatja, hogy az ollókongruencia is tranzitív. Mivel a háromszög a téglalappal egybevágó olló, a téglalap pedig a négyzettel egybevágó olló, a háromszög a négyzettel egybevágó olló. A bizonyíték a mintákban van: Csak fedje rá őket a köztes alakzatra, ahogy a fenti téglalap esetében is tette.
Ha a háromszöget darabokra vágja, amelyekből téglalap, majd a téglalapot négyzetre vágja, akkor a kapott darabokból a három forma bármelyike elkészíthető.
Az a tény, hogy az ollókongruencia tranzitív, egy csodálatos eredmény középpontjában áll: Ha két sokszög területe azonos, akkor azok ollókongruensek. Ez azt jelenti, hogy adott két azonos területű sokszögből az egyiket mindig véges számú darabra vághatja, és átrendezheti őket, hogy létrehozza a másikat.
Ennek a figyelemre méltó tételnek a bizonyítása is rendkívül egyszerű. Először szeleteljen fel minden sokszöget háromszögekre.
Másodszor, alakítsd át minden háromszöget téglalappá, hasonlóan ahhoz, ahogy Gina átrendezte a háromszög alakú brownie-t.
Most jön a bonyolult technikai rész: alakítson át minden téglalapot egy új, egy egység széles téglalappá.
Ehhez kezdje el levágni a téglalapból az egységnyi széles darabokat.
Ha a téglalapot 1 darab szélességű darabokra tudja felvágni, akkor készen is van: csak rakja egymásra. Ellenkező esetben hagyja abba a darabolást, amikor az utolsó darab 1-2 egység széles, a többit pedig rakja egymásra.
Ne aggódjon, ha maga a téglalap 1 egységnél kisebb: csak vágja ketté, és a két darabból készítsen egy új téglalapot, amely kétszer olyan hosszú és fele olyan vastag. Szükség szerint ismételje meg, amíg egy 1 és 2 egység széles téglalapot nem kap.
Most képzelje el, hogy ennek az utolsó téglalapnak van magassága h és szélessége w, 1-gyel w < 2. Ezt a téglalapot feldaraboljuk, és átrendezzük egy 1 szélességű és magasságú téglalappá h × w. Ehhez fedje le a h × w téglalap a kívántkal hw × 1 ilyen téglalap.
Ezután vágjon saroktól sarokig a szaggatott vonal mentén, és vágja le a kis háromszöget a jobb alsó sarokban, követve a jobb szélét. hw × 1 téglalap.
Ez levágja a h × w téglalap három darabra, amelyek átrendezhetők egy hw × 1 téglalap. (A végső boncolgatás igazolása néhány okos érvelést igényel, amelyek hasonló háromszögeket tartalmaznak. A részletekért lásd az alábbi gyakorlatokat.)
Végül tedd ezt az utolsó téglalapot a verem tetejére, és sikeresen ezt a sokszöget – valójában bármilyen sokszöget – 1 szélességű téglalappá alakítod.
Ha az eredeti sokszög területe az volt A, akkor ennek a téglalapnak a magasságának kell lennie A, tehát minden területtel rendelkező sokszög A az olló egybevágó egy 1 szélességű és magasságú téglalappal A. Ez azt jelenti, hogy ha két sokszögnek van területe A, akkor mindkettő ugyanahhoz a téglalaphoz egybevágó olló, tehát tranzitivitás szerint egymással egybevágó olló. Ez azt mutatja, hogy minden sokszög területtel A az olló egybevágó minden más területtel rendelkező sokszöggel A.
De még ez az erőteljes eredmény sem volt elég ahhoz, hogy sikeresen befejezze az Imaginary University Brownie Bake Off zsűrizését. Még egy nevezés maradt hátra, és senki sem lepődött meg azon, hogy mit jelentett a Team Pi.
Abban a pillanatban, amikor Gina meglátta ezt a kört, hideg verejtékben ébredt fel álmából. Tudta, hogy lehetetlen egy kört véges sok darabra felvágni, és átrendezni őket négyzetté, téglalappá vagy bármilyen sokszöggé. 1964-ben Lester Dubins, Morris Hirsch és Jack Karush matematikusok bebizonyították, hogy a kör nem olyan olló, amely egybevágó sokszöggel. Gina álma geometrikus rémálommá változott.
De mint mindig, a matematikusok ezt az akadályt új matematikává változtatták. 1990-ben Laczkovich Miklós bebizonyította, hogy lehet egy kört felvágni és négyzetté átrendezni, ha lehet végtelenül kicsi, végtelenül szétválasztott, végtelenül szaggatott darabokat használni, amelyeket ollóval nem lehet előállítani.
Bármilyen meglepő és izgalmas is volt Laczkovich eredménye, csak azt igazolta, hogy elméletileg lehetséges egy ilyen bontás. Nem magyarázta el, hogyan kell megépíteni a darabokat, csak azt, hogy létezhetnek. Itt jött be Máthé András, Oleg Pikhurko és Jonathan Noel: 2022 elején közzétett egy újságot amelyben Laczkovich teljesítményéhez illesztettek, de olyan darabokkal, amelyeket elképzelni lehet.
Sajnos az eredményüket nem fogja tudni felhasználni a brownie-sütési problémák rendezésére. Az olló önmagában nem képes a 10-et elkészíteni200 a lebontásukhoz szükséges darabokat. De ez egy újabb lépés előre a kérdések hosszú sorának megválaszolásában, amelyek akkor kezdődtek, amikor Arkhimédész először feltalálta vagy felfedezte a $latex pi$-t. És ez arra késztet bennünket, hogy olyan új matematikát találjunk ki vagy fedezzünk fel, amiről az előző generációk álmodni sem tudtak.
Ünnepély
1. Magyarázza meg, honnan tudjuk, hogy a paralelogramma területképletének levezetésénél az általunk levágott háromszög tökéletesen illeszkedik a paralelogramma másik oldalán lévő térbe!
2. Magyarázza meg, miért lehet bármely háromszöget téglalappá feldarabolni!
A 3. és 4. gyakorlatnál vegyük figyelembe azt a diagramot, amely bemutatja, hogy an h × w téglalap egy olló, amely egybevágó an-val hw × 1 téglalap, felcímkézett pontokkal.
3. Magyarázza meg, miért $latex háromszög$! XYQ hasonló a $latextrangle$-hoz ABX. Mitől lesz ez a hossz QY?
4. Magyarázza meg, miért $latex háromszög$! PCX egybevágó a $latex háromszöggel$ AZQ.
Kattintson az 1-es válaszért:
Sokféleképpen lehet kimutatni, hogy a két háromszög egybevágó. Az egyik módja annak, hogy megjegyezzük, hogy a párhuzamos egyenesek távolsága állandó, tehát a két derékszögű háromszögnek van egy pár egybevágó lába.
Egy paralelogrammában pedig a szemközti oldalak egybevágóak, ami a két háromszöget egybevágóvá teszi a hipotenusz-láb háromszög kongruencia tétele alapján. A szög-oldal-szög háromszög kongruencia tételével is érvelhet.
Kattintson az 2-es válaszért:
A háromszöggeometria egyik nagyszerű elemi eredménye a háromszög középszakasz-tétel: Ha a háromszög két oldalának felezőpontját összekötjük, az eredményül kapott szakasz párhuzamos a harmadik oldallal, és fele akkora.
Mivel a szakasz párhuzamos a harmadik oldallal, az 1 és 3 szögek egybevágó szögek. Az 1-es és 2-es szögek pedig egyoldali belső szögek, tehát kiegészítő jellegűek, ami azt jelenti, hogy mértékük összege 180 fok. Mivel a $latexangle$ 1 egybevágó a $latexangle$ 3 értékkel, ez azt jelenti, hogy a 3 és 2 szögek is kiegészítők.
Így, ha a felső háromszöget körbe- és jobbra fordítja, az egybevágó oldalak tökéletesen illeszkednek, és a 2-es és 3-as szögek egyenes vonalat alkotnak.
Ezáltal a háromszög paralelogrammává alakul, amely, mint már tudjuk, téglalappá alakítható.
Kattintson az 3-es válaszért:
Óta BXYZ egy téglalap, mindkettő $latexangle$ ZBC és $latexangle$ ZYX derékszögűek. És mivel a téglalap szemközti oldalai párhuzamosak, ez $latexangle$-t tesz ki YQX egybevágó a $latexangle$-szal AXB, mivel ezek alternatív belső szögek. Így $latextrangle$ XYQ hasonló a $latextrangle$-hoz ABX szög-szög hasonlóság szerint. Hasonló háromszögekben az oldalak arányosak, tehát $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Így $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, és így tovább QY = 1. Figyeljük meg, hogy mivel $latexangle$ ADC derékszög és $latexszög$ DAP és $latexszög$ YQX egybevágó megfelelő szögek, így $latex háromszög $ DAP egybevágó a $latextriangle$-szal YQX. Ez bizonyítja, hogy el lehet csúszni $latextrangle$ YQX abba a helyre, amelyet jelenleg $latex háromszög $ foglal el DAP, ahogyan az olló kongruencia argumentumában szükséges.
Kattintson az 4-es válaszért:
Figyeljük meg, hogy $latexszög$ AZQ és $latexangle$ PCX mindkettő derékszög, tehát egybevágó. A párhuzamos egyenesek tulajdonságait felhasználva, mint a 3. gyakorlatban, azt is láthatjuk, hogy a $latexszög$ AQZ és $latexszög$ PX kiterjesztés egybevágó megfelelő szögek. A 3. gyakorlatban is ezt mutattuk meg QY = 1. Ez azt jelenti QZ = w − 1, ami pontosan az CX egyenlő. Így $latex háromszög$ PCX egybevágó a $latex háromszöggel$ AZQ szög-oldal-szög háromszög kongruenciával. Ez igazolja az érvelés másik részét, miszerint an h × w téglalap egy olló, amely egybevágó an-val hw × 1 téglalap.
