A meglepően egyszerű matematika rejtélyes összecsapások mögött | Quanta Magazin

Ez az Imaginary Math League bajnoki mérkőzése, ahol az Atlanta Algebras a Carolina Cross Products-szal mérkőzik meg. A két csapat ebben a szezonban még nem játszott egymással, de az év elején az Atlanta legyőzte a Brooklyn Bisectorst 10-5-re, a Brooklyn pedig a Carolinát 7-3-ra. Ez ad nekünk betekintést abba, hogy átveszi a címet?

Nos, itt van egy gondolatmenet. Ha Atlanta legyőzi Brooklynt, akkor Atlanta jobb, mint Brooklyn, és ha Brooklyn legyőzi Carolinát, akkor Brooklyn jobb, mint Carolina. Tehát, ha Atlanta jobb Brooklynnál és Brooklyn jobb Carolinánál, akkor Atlantának jobbnak kell lennie Carolinánál, és meg kell nyernie a bajnokságot.

Ha versenyszerűen játszik vagy sportol, tudja, hogy a mérkőzés kimenetelének előrejelzése soha nem ilyen egyszerű. De pusztán matematikai szempontból ennek az érvnek van némi vonzereje. A matematikában a tranzitivitás néven ismert fontos gondolatot használ, egy jól ismert tulajdonságot, amely lehetővé teszi számunkra, hogy összehasonlítási láncokat hozzunk létre a kapcsolatok között. A tranzitivitás egyike azoknak a matematikai tulajdonságoknak, amelyek annyira alapvetőek, hogy észre sem veszik.

Például a számok egyenlősége tranzitív. Ez azt jelenti, hogy ha ezt tudjuk a = b és a b = c, arra következtethetünk a = c. A „nagyobb, mint” összefüggés is tranzitív: Valós számok esetén, ha a > b és a b > c, Akkor a > c. Ha a kapcsolatok tranzitívak, összehasonlíthatjuk és kombinálhatjuk őket, így létrehozva az objektumok sorrendjét. Ha Anna magasabb Benjinél és Benji magasabb Carlnál, akkor a hármat a magasságuk szerint rendezhetjük: A, B, C. A tranzitivitás is meghúzódik azon naiv érvelésünk mögött, hogy ha A jobb mint B és a B jobb mint C, Akkor A jobb mint C.

A tranzitivitás jelen van az egyenlőségben, egybevágóságban, hasonlóságban, sőt párhuzamosságban is. Része az összes alapvető matematikai tevékenységünknek, ami matematikailag különösen érdekessé teszi, ha nincs. Amikor az elemzők csoportokat rangsorolnak, a közgazdászok a fogyasztói preferenciákat tanulmányozzák, vagy a polgárok az általuk preferált jelöltekre szavaznak, a tranzitivitás hiánya meglepő eredményekhez vezethet. Az ilyen típusú rendszerek jobb megértése érdekében a matematikusok több mint 50 éve tanulmányozzák az „intranzitív kockákat”. friss papír a Polymath projekt néven ismert online matematikai együttműködés továbbfejlesztette ezt a megértést. Ahhoz, hogy megértsük, hogyan néz ki és milyen érzés az intransitivitás, hozzunk létre egy saját ligát, és játsszunk.

Új matematikai bajnokságunkban a játékosok egyéni érmék feldobásával és az eredmények összehasonlításával versenyeznek. Mondjuk játékos A van egy érme, amelynek egyik oldalán a 10-es, a másikon a 6-os szám található, és a játékos BAz érmén a 8-as és a 3-as szám szerepel. Feltételezzük, hogy az érmék tisztességesek – ami azt jelenti, hogy mindkét oldal egyforma valószínűséggel jelenik meg az érmék feldobásakor –, és így ábrázoljuk a számokat az érméken.

Egy játékban a játékosok feldobják az érméket, és akinél az érme nagyobb számot mutat, az nyer. Ki mikor fog nyerni A játszik B?

Persze attól függ. Néha A néha nyerni fog B nyerni fog. De ezt nem nehéz belátni A ellen előnyben részesítik a győzelmet B. A játék négyféleképpen bontakozhat ki, és A közülük háromban nyer.

Tehát a játékban A ellen B, A 75% esélye van a győzelemre.

Most C jön és kihívások B egy játékra. CAz érme egyik oldalán 5-ös, másik oldalán 4-es van. Ismét négy lehetőség van.

Itt B és a C mindegyik megnyer kettőt a négy meccsből, így mindegyik megnyeri a játékok 50%-át. B és a C egyenletesen illeszkednek.

Most mit vársz, hogy mikor fog megtörténni A és a C játék? Jól, A általában veri Bés B egyenletesen illeszkedik C, ezért ésszerűnek tűnik ezt elvárni A valószínűleg előnyben részesítik majd C.

De A több mint kedvenc. A uralja C, az esetek 100%-ában nyer.

Ez meglepőnek tűnhet, de matematikailag nem nehéz megérteni, miért történik ez. Cszámai között vannak B's, szóval C bármikor nyer B megfordítja az alacsonyabb számukat. De Cmindkét száma lent található A's, szóval C soha nem fogja megnyerni azt a meccset. Ez a példa nem sérti a tranzitivitás gondolatát, de azt mutatja, hogy a dolgok bonyolultabbak lehetnek, mint egyszerűen A > B > C. Egy kis változtatás a játékunkon megmutatja, mennyivel bonyolultabb is lehet.

Versenyzőink hamar elfáradnak a kétoldalas érmefeldobós játékban, hiszen matematikailag is könnyen teljesen érthető (bővebben lásd a rovat végén található gyakorlatokat), így a liga úgy dönt, hogy háromoldalas érmékre frissítik. (A képzeletbeli matematikai bajnokságban való játék egyik előnye, hogy bármi lehetséges.)

Itt vannak A és a Bérméi:

Akit előnyben részesítenek egy közötti játékban A és a B? Nos, ennek három eredménye van A's érme feldobása és három érte B, ami kilenc lehetséges kimenetelhez vezet, amelyeket könnyen felvázolhatunk.

Feltéve, hogy minden eredmény egyformán valószínű, A ütés B a kilenc eredményből ötben. Ez azt jelenti, hogy A $latex frac-ot{5}{9} kell nyernie az esetek kb. 55%-ában, tehát A ellen favorizálják B.

Kicsit lehangolt a kilátásaikkal kapcsolatban, B kihívások C egy játékra. Ca számok alább láthatók. Szereted-e Besélyei?

Ismét kilenc lehetséges kimenetel van egy játékban B ellen C, így csak felsorolhatjuk őket.

Ezt láthatjuk B ellen elég jól néz ki C. A kilenc lehetséges kimenetel közül ötben B nyer. Így B ellen favorizálják C.

szegény C most játszani kell A. A A ellen favorizált B és a B ellen favorizált C, mit tesz az esély C nyerni kell? Nagyon jó, mint kiderült.

A kilenc lehetséges kimenetel közül ötben C ütés A. Ez azt jelenti C ellen favorizálják A, annak ellenére Aellen favorizálják B és a B ellen favorizálják C.

Ez egy példa az intranzitív rendszerre. Technikailag fogalmazva, a játékunkban az „előnyben részesített” reláció nem tranzitív: A ellen favorizálják Bés B ellen favorizálják C, de A nem feltétlenül előnyben részesítik C.

A matematikában nem gyakran találkozunk vele, de ez a fajta viselkedés nem lepné meg a sportrajongókat. Ha a Giants legyőzi az Eagles-t, az Eagles pedig a Cowboys-t, a Cowboys még mindig nagyon meg tudná győzni a Giants-t. Számos tényező befolyásolja az egyéni játék kimenetelét. A csapatok gyakorlással javulhatnak, vagy stagnálhatnak, ha nem újítanak. A játékosok csapatot válthatnak. Az olyan részletek, mint a játék helyszíne – otthon vagy idegenben – vagy a csapatok legutóbbi játéka, befolyásolhatják, hogy ki nyer és ki veszít.

De ez az egyszerű példa azt mutatja, hogy az effajta intransitivitás mögött is pusztán matematikai okok állnak. És ebben a tisztán matematikai megfontolásban van valami közös a verseny valós korlátaival: a párosításokkal.

Itt vannak a számok A, B és a C.

Ha egymás mellett nézzük őket, könnyebb megérteni, hogy ebben a helyzetben miért fordul elő intransitivitás. Habár B ellen előnyben részesítik a győzelmet C, Ckét közepesen magas szám – a 7 és a 6 – előnyt jelent számukra A hogy B nincs. Annak ellenére A ellen favorizálják B és a B ellen favorizálják C, C ellen meccsel A jobb, mint a B csinál. Ez hasonló ahhoz, ahogy egy esélytelenebb sportcsapat jól megmérkőzhet egy felsőbbrendű ellenféllel, mert az ő játékstílusát nehezen tudja kezelni az adott csapat számára, vagy mert egy játékos vagy edző előnyhöz juttatja őket az adott ellenféllel szemben.

Az a tény, hogy a sportok intransitívak, része annak, ami szórakoztatóvá és vonzóvá teszi őket. Hiszen ha A ütés B és a B ütés C, C nem fog csak úgy elveszíteni a tranzitivitás miatt, amikor szembesülnek A. Versenyben bármi megtörténhet. Ahogy sok kommentátor mondta egy feldúltság után: „Ezért játsszák a játékot.”

És ezért játszunk a matematikával. Megtalálni, ami szórakoztató, lenyűgöző és meglepő. Bármi megtörténhet.

Ünnepély

1. Tegyük fel, hogy két játékos játszik a kétoldalas érmével, és a két érméből származó négy szám különbözik. Lényegében csak hat lehetséges forgatókönyv létezik arra vonatkozóan, hogy ki nyer és milyen gyakran. Kik ők?

2. A fent leírt háromoldalú játék forgatókönyvében keress egy másik háromoldalas érmét C azért, hogy B továbbra is előnyben részesítik C és a C továbbra is előnyben részesítik A.

3. Bizonyítsuk be, hogy egy kétoldalas érmejátékban lehetetlen, hogy három játékos legyen A, B, C oly módon, hogy A ellen favorizálják B, B ellen favorizálják Cés C ellen favorizálják A.