Sejarah Singkat Ubin Matematika yang Rumit | Majalah Kuanta

Setiap hari kita melihat contoh motif yang berulang. Simetri dan keteraturan ini mungkin terlihat biasa saja dan hampir tidak terlihat, misalnya pada tembok bangunan atau pola heksagonal pada sarang lebah. Atau jika kita cukup beruntung menemukan sesuatu seperti karya ubin elegan di Alhambra Spanyol atau gambar kreatif MC Escher, polanya dapat menginspirasi dan membuat kita takjub.

Selama berabad-abad, para ahli matematika telah bermain-main dengan bentuk-bentuk yang berulang ini, mengambil wawasan menarik dan kemungkinan-kemungkinan baru dari bentuk-bentuk tersebut. Keindahan matematika menyaingi keindahan desain itu sendiri.

Ubin paling sederhana terbuat dari poligon identik dengan sisi-sisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang berukuran sama yang disatukan dari tepi penuh ke tepi penuh. Namun meskipun poligon “ beraturan” ini jumlahnya tak terhingga – satu untuk setiap jumlah sisi – hanya ada tiga ubin beraturan, yang dibentuk dari bentuk dengan tiga, empat atau enam sisi – yaitu segitiga, persegi, dan segi enam.

Bentuk lainnya tidak dibuat untuk itu. Sebuah segi lima beraturan (dengan lima sisi) memiliki sudut dalam 108 derajat. Ini tidak terbagi rata menjadi 360 derajat, jadi segala upaya untuk menyusun segi lima biasa menjadi sebuah ubin pasti akan menghasilkan celah yang tidak dapat diisi; kita mengatakan bahwa segi lima beraturan tidak dapat menyusun bidangnya. Dan poligon beraturan dengan lebih dari enam sisi memiliki sudut dalam yang terlalu besar untuk tiga sudut yang tidak dapat bertemu pada satu titik, sehingga keduanya tidak dapat bertemu pada satu titik.

Pandangan lain tentang pemasangan ubin dengan poligon beraturan datang dari Johannes Kepler, yang saat ini terkenal karena penemuannya tentang gerakan planet. Pada tahun 1619, ia menunjukkan bahwa meskipun Anda menggunakan lebih dari satu poligon beraturan, Anda hanya dapat membuat delapan pola ubin baru dengan konfigurasi di sekitar setiap titik sudutnya identik. (Jika kita dibiarkan menyimpang dari pembatasan ini, ada lebih banyak kemungkinan.)

Jika kita mengizinkan poligon tidak beraturan, segalanya menjadi lebih menarik. Anehnya, setiap segitiga bisa membentuk bidang, dan yang lebih mengejutkan lagi, setiap segi empat juga bisa.

Di sisi lain, tidak mungkin menyusun bidang dengan poligon cembung yang memiliki lebih dari enam sisi; jumlah sudut dalam terlalu besar. Sehingga hanya menyisakan segi lima dan segi enam sebagai kemungkinan yang tersisa.

Dalam tesis doktoralnya pada tahun 1918, Karl Reinhardt membuktikan bahwa adalah mungkin untuk menyusun bidang dengan segi enam cembung yang jumlahnya tak terhingga - segi enam tanpa lekukan - yang ia kelompokkan menjadi tiga kelompok.

Segi lima cembung yang menyusun bidang lebih sulit untuk diklasifikasikan. Reinhardt menemukan lima keluarga segi lima seperti itu; 50 tahun kemudian, Richard Kershner menemukan tiga lagi. Kemudian pada tahun 1975, Martin Gardner menulis tentang masalah tersebut Scientific American, membawanya ke perhatian ahli matematika profesional dan amatir. Salah satu amatir tersebut, seorang programmer komputer bernama Richard James III, mengirimi Gardner contoh keluarga kesembilan, dan bertanya, “Apakah Anda setuju bahwa Kershner melewatkan yang ini?” Dia punya.

Marjorie Rice, seorang ibu rumah tangga, juga membaca kolom Gardner dan mulai memikirkan masalah di meja dapurnya. Dia bermain-main selama lebih dari dua tahun dan menemukan empat keluarga lagi dari ubin segi lima.

Para peneliti menemukan keluarga ubin segi lima ke-14 pada tahun 1985, dan tiga dekade kemudian, tim lain menemukan keluarga ke-15 menggunakan pencarian komputer. Tidak ada yang tahu apakah penemuan ini melengkapi daftarnya, atau apakah masih ada keluarga lain yang bersembunyi. Pertanyaan itu terjawab pada tahun 2017 ketika Michaël Rao terbukti bahwa semua segilima ubin cembung — dan bersamanya, semua poligon ubin cembung — telah ditemukan.

Semua ubin ini berulang. Artinya, mereka memiliki simetri periodik, yang pada dasarnya berarti bahwa jika kita menjiplak ubin pada selembar kertas dan menggeser kertas itu ke arah tertentu, maka kertas tersebut akan sejajar lagi dengan ubin tersebut.

Jenis simetri lainnya juga dimungkinkan. Misalnya, simetri cermin menyiratkan bahwa pola kita akan sejajar jika kita membalik kertas kalkir pada garis tetap. Simetri rotasi berarti keduanya akan sejajar jika kita memutar kertas. Dan kita dapat menggabungkan tindakan untuk mendapatkan simetri refleksi luncuran, yaitu seperti menggeser kertas lalu membaliknya.

Pada tahun 1891, ahli kristalografi Rusia Evgraf Fedorov membuktikan bahwa hanya ada 17 cara untuk menggabungkan kesimetrian ini. Karena pembatasan ini berlaku untuk semua dekorasi periodik pesawat, maka dekorasi ini secara luas disebut sebagai 17 “grup wallpaper”.

Begitu seseorang terbiasa dengan klasifikasi pola simetri ini, hampir mustahil untuk melihat desain periodik, betapapun rumitnya, dan tidak melihatnya sebagai teka-teki yang harus dipecahkan: Di mana dan bagaimana, tepatnya, pola tersebut berulang? Dimana letak simetrinya?

Tentu saja, tidak semua desain ubin bersifat periodik. Dimungkinkan, dan seringkali mudah, untuk menempatkan ubin di bidang sehingga desain yang dihasilkan tidak akan terulang kembali. Dalam contoh kita mengenai segi enam, persegi, dan segitiga, Anda dapat melakukannya hanya dengan memutar satu segi enam dan poligon yang mengelilinginya sebanyak 30 derajat. Ubin yang dihasilkan tidak lagi memiliki simetri translasi.

Pada tahun 1961, ahli logika Hao Wang menduga bahwa jika sekumpulan bentuk membentuk bidang, maka bentuk tersebut harus mampu menyusun bidang secara berkala. Hanya beberapa tahun kemudian, mahasiswa pascasarjananya Robert Berger membuktikan bahwa dia salah dengan menemukan kumpulan besar lebih dari 20,000 ubin yang menyusun bidang tersebut, tetapi hanya secara non-periodik. Kumpulan ubin seperti itu disebut aperiodik.

Meskipun Berger dan yang lainnya mampu memperkecil ukuran himpunan aperiodik ini secara signifikan, pada pertengahan tahun 1970-an Roger Penrose menarik perhatian dunia dengan menemukan himpunan ubin aperiodik yang sangat kecil miliknya. Set terkecil hanya membutuhkan dua ubin.

Bentuk dan pola ini memikat para ahli matematika, ilmuwan, dan masyarakat umum. Namun mereka mengajukan pertanyaan jelas berikutnya: Apakah ada satu ubin aperiodik? Pencarian akhir teori ubin kini adalah menemukan ubin “einstein” — yang namanya bukan diambil dari nama fisikawannya, melainkan berdasarkan frasa Jerman “satu batu”.

Pada tahun 2010, Joshua Socolar dan Joan Taylor hampir saja menemukan Einstein. Masalah dengan pendekatan mereka adalah itu ubin mereka harus diputuskan; ini seperti menata bidang dengan bentuk-bentuk seperti negara bagian Hawai'i, sebuah kesatuan yang terdiri dari wilayah-wilayah terpisah, bukan dengan bentuk-bentuk yang terhubung seperti California. Semakin banyak ahli matematika yang menduga bahwa jika Einstein memang ada, ia pasti merupakan sesuatu yang sangat rumit secara geometris.

Pada Maret 2023, seorang amatir kembali mengejutkan dunia. Seorang pensiunan teknisi percetakan dan penghobi matematika bernama David Smith telah menemukan tidak hanya satu monotil aperiodik, tetapi keluarga yang tak terbatas dari Einstein yang sulit dipahami ini. Dia membahas Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss, dan Joseph Samuel Myers - pakar ilmu komputer, matematika, dan teori ubin - dan bersama-sama mereka menyajikan einstein sederhana secara geometris yang disebut ubin topi (yang menurut internet tampak seperti T-shirt ).

Reaksinya cepat dan positif. Para penemunya berbicara di konferensi dan memberikan ceramah online. Seniman matematika memanfaatkan kesempatan untuk menemukan cara kreatif untuk menghasilkan desain mirip Escher berdasarkan ubin geometris baru yang menarik ini. Ubin topi bahkan muncul dalam monolog salah satu acara televisi larut malam.

Namun masih ada ruang untuk perbaikan. Untuk menyusun bidang dengan topi, Anda harus membalik kira-kira sepertujuh ubin secara terbalik. Pemilik rumah yang ingin memasang ubin di kamar mandinya dengan ubin topi harus membeli dua jenis ubin: ubin standar dan gambar cermin. Apakah ini benar-benar diperlukan?

Bahkan sebelum kegembiraan ubin topi mereda, tim membuat pengumuman lain. Smith telah menemukan, dalam keluarga monotil aperiodik yang tak terbatas itu, salah satu yang disebutnya sebagai “hantu” yang dapat menyusun bidang tanpa memerlukan salinan pantulan. Einstein sejati akhirnya muncul.

Kita sekarang berada di tengah kebangkitan eksplorasi matematis tentang tiling dan tessellation. Ia mengandalkan kontribusi penting dari para amatir, mengilhami kreativitas seniman matematika, dan memanfaatkan kekuatan komputer untuk mendorong batas-batas pengetahuan ke depan. Dan dari situ, kami memperoleh wawasan baru tentang sifat simetri, geometri, dan desain.

Koreksi: Oktober 30, 2023
Versi asli artikel ini menyatakan bahwa tidak mungkin menyusun bidang dengan poligon yang lebih dari enam sisi. Hal ini berlaku hanya jika poligonnya cembung.

Quanta sedang melakukan serangkaian survei untuk melayani audiens kami dengan lebih baik. Ambil milik kami survei pembaca matematika dan anda akan diikut sertakan untuk menang secara gratis Quanta barang dagangan