Satu Abad Kemudian, Matematika Baru Memperlancar Relativitas Umum | Majalah Kuanta

Teori relativitas umum Albert Einstein sangat berhasil menggambarkan cara kerja gravitasi dan bagaimana gravitasi membentuk struktur skala besar alam semesta. Hal ini diringkas dalam pepatah fisikawan John Wheeler: “Ruang-waktu memberi tahu materi cara bergerak; materi memberi tahu ruang-waktu cara melengkung.” Namun matematika relativitas umum juga sangat berlawanan dengan intuisi.

Karena persamaan dasarnya sangat rumit, pernyataan yang terdengar paling sederhana pun sulit dibuktikan. Misalnya, baru pada sekitar tahun 1980 para ahli matematika membuktikan, sebagai bagian dari teorema utama relativitas umum, bahwa sistem fisik, atau ruang, yang terisolasi, tanpa massa apa pun di dalamnya pastilah datar.

Hal ini menyisakan pertanyaan yang belum terselesaikan tentang seperti apa sebuah ruang jika ia hampir vakum, dan hanya memiliki massa yang sangat kecil. Apakah itu hampir rata?

Meskipun tampak jelas bahwa massa yang lebih kecil akan menyebabkan kelengkungan yang lebih kecil, hal-hal tidak begitu sederhana jika menyangkut relativitas umum. Menurut teori tersebut, konsentrasi materi yang padat dapat “melengkungkan” sebagian ruang, menjadikannya sangat melengkung. Dalam beberapa kasus, kelengkungan ini bisa menjadi ekstrem, yang mungkin mengarah pada pembentukan lubang hitam. Hal ini dapat terjadi bahkan di ruang dengan jumlah materi yang sedikit, jika konsentrasinya cukup kuat.

Dalam terakhir kertas, Conghan Dong, seorang mahasiswa pascasarjana di Stony Brook University, dan Lagu Antoine, asisten profesor di California Institute of Technology, membuktikan bahwa barisan ruang melengkung yang massanya semakin kecil pada akhirnya akan menyatu menjadi ruang datar yang kelengkungannya nol.

Hasil ini merupakan kemajuan penting dalam eksplorasi matematis relativitas umum – sebuah upaya yang terus membuahkan hasil lebih dari satu abad setelah Einstein merancang teorinya. Dan Lee, seorang ahli matematika di Queens College yang mempelajari matematika relativitas umum tetapi tidak terlibat dalam penelitian ini, mengatakan bahwa bukti Dong dan Song mencerminkan pemahaman mendalam tentang bagaimana kelengkungan dan massa berinteraksi.

Apa yang Mereka Buktikan

Pembuktian yang dilakukan oleh Dong dan Song berkaitan dengan ruang tiga dimensi, namun pertama-tama pertimbangkan contoh dua dimensi demi ilustrasi. Bayangkan sebuah ruang datar tanpa massa sebagai selembar kertas biasa yang halus. Ruang bermassa kecil, dalam hal ini, mungkin terlihat serupa dari kejauhan — artinya, sebagian besar datar. Namun, pengamatan lebih dekat mungkin akan menunjukkan adanya lonjakan atau gelembung tajam yang muncul di sana-sini – akibat dari pengelompokan materi. Tonjolan acak ini akan membuat kertas menyerupai halaman rumput yang terawat baik dengan jamur atau tangkai sesekali mencuat dari permukaan.

Dong dan Song membuktikan a dugaan yang dirumuskan pada tahun 2001 oleh para ahli matematika Gerhard Huisken dan Tom Ilmanen. Dugaannya menyatakan bahwa ketika massa suatu ruang mendekati nol, kelengkungannya juga harus sama. Namun Huisken dan Ilmanen menyadari bahwa skenario ini diperumit dengan adanya gelembung dan paku (yang secara matematis berbeda satu sama lain). Mereka berhipotesis bahwa gelembung dan paku dapat dipotong sedemikian rupa sehingga luas batas yang tertinggal di permukaan ruang akibat setiap pemotongan menjadi kecil. Mereka berpendapat, namun tidak dapat membuktikan, bahwa ruang yang tersisa setelah pelengkap yang mengganggu ini dihilangkan akan hampir rata. Mereka juga tidak yakin bagaimana pemotongan tersebut harus dilakukan.

“Pertanyaan-pertanyaan ini sulit, dan saya tidak menyangka akan melihat solusi terhadap dugaan Huisken-Ilmanen,” kata Lee.

Inti dugaannya adalah pengukuran kelengkungan. Ruang dapat melengkung dengan cara yang berbeda, jumlah yang berbeda, dan arah yang berbeda - seperti pelana (dalam dua dimensi) yang melengkung ke atas ke depan dan ke belakang, tetapi ke bawah ke kiri dan ke kanan. Dong dan Song mengabaikan detail itu. Mereka menggunakan konsep yang disebut kelengkungan skalar, yang merepresentasikan kelengkungan sebagai satu bilangan yang merangkum seluruh kelengkungan ke segala arah.

Karya baru Dong dan Song, kata Daniel Stern dari Cornell University, adalah “salah satu hasil terkuat yang kami miliki sejauh ini yang menunjukkan kepada kita bagaimana kelengkungan skalar mengontrol geometri” ruang secara keseluruhan. Makalah mereka mengilustrasikan bahwa “jika kita memiliki kelengkungan skalar non-negatif dan massa kecil, kita memahami struktur ruang dengan sangat baik.”

Bukti ini

Dugaan Huisken-Ilmanen menyangkut geometri ruang dengan massa yang terus berkurang. Ini menentukan metode khusus untuk menyatakan seberapa dekat ruang bermassa kecil dengan ruang datar. Ukuran tersebut disebut jarak Gromov-Hausdorff, yang diambil dari nama para ahli matematika Michael Gromov dan Felix Hausdorff. Menghitung jarak Gromov-Hausdorff adalah proses dua langkah.

Langkah pertama adalah mencari jarak Hausdorff. Misalkan Anda mempunyai dua lingkaran, A dan B. Mulailah dari titik mana pun di A dan cari tahu seberapa jauh jaraknya ke titik terdekat di B.

Ulangi langkah ini untuk setiap titik di A. Jarak terjauh yang Anda temukan adalah jarak Hausdorff antar lingkaran.

Setelah Anda mendapatkan jarak Hausdorff, Anda dapat menghitung jarak Gromov-Hausdorff. Untuk melakukan itu, letakkan objek Anda di ruang yang lebih besar untuk meminimalkan jarak Hausdorff di antara objek tersebut. Dalam kasus dua lingkaran identik, karena Anda dapat menempatkannya di atas satu sama lain, jarak Gromov-Hausdorff di antara keduanya adalah nol. Benda-benda yang identik secara geometris seperti ini disebut “isometrik.”

Mengukur jarak tentu saja lebih sulit jika benda atau ruang yang dibandingkan serupa tetapi tidak sama. Jarak Gromov-Hausdorff memberikan ukuran yang tepat atas persamaan (atau perbedaan) antara bentuk dua benda yang awalnya terletak pada ruang berbeda. “Jarak Gromov-Hausdorff adalah salah satu cara terbaik yang kita miliki untuk mengatakan bahwa dua ruang hampir isometrik, dan memberikan angka 'hampir',” kata Stern.

Sebelum Dong dan Song dapat membuat perbandingan antara ruang bermassa kecil dan ruang yang datar sempurna, mereka harus menghilangkan tonjolan-tonjolan yang mengganggu tersebut – yaitu tonjolan-tonjolan sempit tempat materi padat dan bahkan gelembung-gelembung lebih padat yang mungkin menampung lubang hitam kecil. “Kami memotongnya sehingga luas batas [tempat potongan dibuat] menjadi kecil,” kata Song, “dan kami menunjukkan bahwa luas tersebut semakin mengecil seiring dengan berkurangnya massa.”

Meskipun taktik tersebut mungkin terdengar curang, Stern mengatakan bahwa dalam membuktikan dugaan tersebut diperbolehkan melakukan semacam pra-pemrosesan dengan memotong gelembung dan paku yang luasnya menyusut menjadi nol seiring dengan berkurangnya massa.

Sebagai representasi ruang bermassa kecil, sarannya, kita bisa membayangkan selembar kertas kusut yang setelah dihaluskan kembali masih memiliki lipatan dan lipatan tajam. Anda dapat menggunakan pelubang kertas untuk menghilangkan ketidakteraturan yang paling menonjol, sehingga menyisakan selembar kertas yang agak tidak rata dengan beberapa lubang di dalamnya. Ketika ukuran lubang-lubang tersebut mengecil, permukaan kertas yang tidak rata juga akan semakin kecil. Pada batasnya, Anda mungkin berkata, lubang-lubang tersebut akan mengecil hingga nol, gundukan-gundukan dan punggung bukit akan hilang, dan Anda hanya akan mendapatkan selembar kertas yang rata dan rata - sebuah pengganti asli untuk ruang datar.

Hal itulah yang ingin dibuktikan oleh Dong dan Song. Langkah selanjutnya adalah melihat bagaimana ruang-ruang gundul ini – tanpa fitur kasarnya – memenuhi standar kerataan total. Strategi yang mereka lakukan memanfaatkan jenis peta khusus, yaitu cara membandingkan dua ruang dengan mengasosiasikan titik-titik di satu ruang dengan titik-titik di ruang lain. Peta yang mereka gunakan dikembangkan di a kertas ditulis oleh Stern dan tiga rekannya — Hubert Bray, Demetre Kazaras dan Marcus Khuri. Prosedur ini dapat menjelaskan dengan tepat seberapa dekat jarak dua spasi.

Untuk menyederhanakan tugas mereka, Dong dan Song mengadopsi trik matematika lain dari Stern dan rekan penulisnya, yang menunjukkan bahwa ruang tiga dimensi dapat dibagi menjadi banyak irisan dua dimensi yang disebut himpunan level, seperti halnya telur rebus. disegmentasi menjadi lembaran-lembaran sempit dengan kabel kencang dari alat pengiris telur.

Kumpulan level mewarisi kelengkungan ruang tiga dimensi yang dikandungnya. Dengan memfokuskan perhatian mereka pada kumpulan level dibandingkan pada ruang tiga dimensi yang lebih besar, Dong dan Song mampu mengurangi dimensi masalah dari tiga menjadi dua. Hal ini sangat bermanfaat, kata Song, karena “kita mengetahui banyak tentang objek dua dimensi… dan kita memiliki banyak alat untuk mempelajarinya.”

Jika mereka berhasil menunjukkan bahwa setiap tingkatan adalah “datar,” kata Song, ini akan memungkinkan mereka mencapai tujuan keseluruhan untuk menunjukkan bahwa ruang tiga dimensi dengan massa kecil mendekati datar. Untungnya, strategi ini berhasil.

Langkah Selanjutnya

Ke depan, Song mengatakan salah satu tantangan berikutnya di bidang ini adalah membuat bukti lebih eksplisit dengan menetapkan prosedur yang tepat untuk menghilangkan gelembung dan lonjakan serta mendeskripsikan dengan lebih baik wilayah yang telah dipotong. Namun untuk saat ini, ia mengakui, “kami belum memiliki strategi yang jelas untuk mencapai hal tersebut.”

 Jalan lain yang menjanjikan, kata Song, adalah dengan mengeksplorasi a dugaan terpisah yang dirumuskan pada tahun 2011 oleh Lee dan Christina Sormani, seorang ahli matematika di City University of New York. Dugaan Lee-Sormani mengajukan pertanyaan serupa dengan yang diajukan oleh Huisken dan Ilmanen, tetapi dugaan ini bergantung pada cara berbeda dalam mengukur perbedaan antar bentuk. Daripada mempertimbangkan jarak maksimum antara dua bentuk, seperti jarak Gromov-Hausdorff, pendekatan Lee-Sormani menanyakan tentang volume ruang diantara mereka. Semakin kecil volumenya, semakin dekat jaraknya.

Song, sementara itu, berharap dapat menjawab pertanyaan dasar tentang kelengkungan skalar yang tidak dimotivasi oleh fisika. “Dalam relativitas umum,” katanya, “kita berurusan dengan ruang-ruang yang sangat khusus yang hampir datar pada jarak tak terhingga, namun dalam geometri kita memperhatikan semua jenis ruang.”

“Ada harapan bahwa teknik ini dapat bermanfaat di lingkungan lain” yang tidak terkait dengan relativitas umum, kata Stern. “Ada banyak masalah terkait,” katanya, yang menunggu untuk dieksplorasi.

Quanta sedang melakukan serangkaian survei untuk melayani audiens kami dengan lebih baik. Ambil milik kami survei pembaca matematika dan anda akan diikut sertakan untuk menang secara gratis Quanta barang dagangan