Seorang Ahli Matematika Tentang Kreativitas, Seni, Logika dan Bahasa | Majalah Kuanta

Butuh waktu lama bagi Claire Voisin untuk jatuh cinta pada matematika.

Itu tidak berarti dia tidak menyukai topik itu. Tumbuh di Prancis - anak ke 10 dari 12 bersaudara - dia menikmati menghabiskan waktu berjam-jam memecahkan masalah matematika bersama ayahnya, seorang insinyur. Pada saat dia berusia 12 tahun, dia mulai membaca sendiri buku teks aljabar sekolah menengah, terpesona oleh definisi dan bukti yang diuraikan di halaman-halamannya. “Ada semua struktur ini,” katanya. “Aljabar sebenarnya adalah teori struktur.”

Namun dia tidak melihat matematika sebagai panggilan seumur hidup. Baru pada masa kuliahnya dia menyadari betapa dalam dan indahnya hal itu — dan dia mampu membuat penemuan baru. Hingga saat itu, ia serius menekuni beberapa minat selain matematika: filsafat, seni lukis, dan puisi. (“Ketika saya berusia 20 tahun, saya pikir saya hanya mengerjakan matematika dan melukis. Itu mungkin agak berlebihan,” dia tertawa.) Pada awal usia 20-an, matematika telah mencakup segalanya. Namun lukisan dan puisi terus mempengaruhinya. Dia melihat matematika sebagai sebuah seni - dan sebagai cara untuk mendorong dan bermain dengan batas-batas bahasa.

Beberapa dekade kemudian, setelah menjadi pemimpin di bidang geometri aljabar, Voisin kembali menyempatkan diri untuk melukis dan membuat patung tanah liat. Namun, matematika terus menyita sebagian besar perhatiannya; dia lebih suka menghabiskan waktunya menjelajahi “dunia berbeda” di mana “sepertinya kamu sedang bermimpi.”

Voisin adalah peneliti senior di Pusat Penelitian Ilmiah Nasional Perancis di Paris. Di sana, ia mempelajari variasi aljabar, yang dapat dianggap sebagai bentuk yang ditentukan oleh kumpulan persamaan polinomial, seperti halnya lingkaran ditentukan oleh polinomial. x² + y² = 1. Dia adalah salah satu pakar terkemuka di dunia dalam teori Hodge, sebuah perangkat yang digunakan para ahli matematika untuk mempelajari sifat-sifat utama varietas aljabar.

Voisin telah memenangkan sejumlah penghargaan atas karyanya, termasuk Clay Research Award pada tahun 2008, Heinz Hopf Prize pada tahun 2015, dan Shaw Prize untuk matematika pada tahun 2017. Pada bulan Januari, ia menjadi wanita pertama yang dianugerahi Crafoord Prize pada tahun XNUMX. Matematika.

Quanta berbicara dengan Voisin tentang sifat kreatif matematika. Wawancara telah diringkas dan diedit untuk kejelasan.

Anda menyukai matematika semasa kecil, tetapi tidak melihat diri Anda menekuninya. Mengapa tidak?

Ada keajaiban sebuah bukti - emosi yang Anda rasakan ketika Anda memahaminya, ketika Anda menyadari betapa kuatnya dan betapa kuatnya hal itu memengaruhi Anda. Sebagai seorang anak, saya sudah bisa melihat ini. Dan saya menikmati konsentrasi yang dibutuhkan matematika. Ini adalah sesuatu yang, seiring bertambahnya usia, saya merasa semakin penting dalam praktik matematika. Seluruh dunia lenyap. Seluruh otak Anda ada untuk mempelajari suatu masalah. Ini adalah pengalaman yang luar biasa, yang sangat penting bagi saya - membuat diri Anda meninggalkan dunia praktis, untuk menghuni dunia yang berbeda. Mungkin itu sebabnya anak saya sangat suka bermain video game.

Tapi apa yang membuat saya terlambat dalam matematika, dalam beberapa hal, adalah saya sama sekali tidak tertarik pada permainan. Ini bukan untukku. Dan di sekolah menengah, matematika terasa seperti sebuah permainan. Sulit bagi saya untuk menganggapnya serius. Saya tidak melihat kedalaman matematika pada awalnya. Bahkan ketika saya mulai menemukan bukti dan teorema yang sangat menarik setelah lulus SMA, saya sama sekali tidak berpikir bahwa saya dapat menciptakan sesuatu sendiri, bahwa saya dapat menjadikannya milik saya.

Aku membutuhkan sesuatu yang lebih dalam, lebih serius, sesuatu yang bisa kujadikan milikku.

Sebelum Anda menemukannya dalam matematika, di mana Anda mencarinya?

Saya menikmati filsafat dan desakannya pada gagasan sebuah konsep. Selain itu, hingga saya berusia sekitar 22 tahun, saya menghabiskan banyak waktu untuk melukis, terutama karya figuratif yang terinspirasi oleh geometri. Dan saya sangat menyukai puisi - karya Mallarmé, Baudelaire, René Char. Saya sudah hidup di dunia yang berbeda. Tapi itu normal, menurut saya, ketika Anda masih muda.

Namun matematika menjadi semakin penting. Ini benar-benar menghabiskan seluruh otak Anda. Saat Anda tidak berada di meja kerja mengerjakan masalah tertentu, pikiran Anda masih sibuk. Jadi semakin banyak saya mengerjakan matematika, semakin sedikit saya melukis. Saya baru saja mulai melukis lagi, karena sekarang anak-anak saya sudah meninggalkan rumah dan saya punya lebih banyak waktu.

Apa yang akhirnya membuat Anda memutuskan untuk mencurahkan sebagian besar energi kreatif Anda pada matematika?

Matematika menjadi semakin menarik bagi saya. Sebagai master dan Ph.D. mahasiswa, saya menemukan bahwa matematika abad ke-20 adalah sesuatu yang sangat mendalam dan luar biasa. Itu adalah dunia ide dan konsep. Dalam geometri aljabar, terjadi revolusi terkenal yang dipimpin oleh Alexander Grothendieck. Bahkan sebelum Grothendieck, terdapat hasil yang luar biasa. Jadi ini adalah bidang yang baru, dengan ide-ide yang indah namun juga sangat kuat. Teori Hodge yang saya pelajari adalah bagian dari teori tersebut.

Menjadi semakin jelas bahwa hidupku ada di sana. Tentu saja, saya memiliki kehidupan berkeluarga - seorang suami dan lima anak - serta tugas dan aktivitas lainnya. Tapi saya menyadari bahwa dengan matematika, saya bisa menciptakan sesuatu. Saya bisa mengabdikan hidup saya untuk itu, karena itu sangat indah, sangat spektakuler, sangat menarik.

Anda telah menulis sebelumnya tentang bagaimana matematika adalah upaya kreatif.

Saya seorang ahli matematika profesional, jadi hari kerja saya secara resmi diatur seputar matematika. Saya duduk di meja; Saya bekerja di komputer. Namun sebagian besar aktivitas matematika saya tidak terjadi pada waktu tersebut. Anda memerlukan ide baru, definisi yang baik, pernyataan yang menurut Anda dapat Anda manfaatkan. Hanya dengan begitu pekerjaan Anda dapat dimulai. Dan itu tidak terjadi ketika saya berada di meja saya. Saya perlu mengikuti pikiran saya, untuk menjaga diri saya tetap berpikir.

Sepertinya matematika sangat pribadi bagi Anda. Pernahkah Anda menemukan sesuatu tentang diri Anda dalam prosesnya?

Saat mengerjakan matematika, sering kali saya harus berjuang melawan diri saya sendiri, karena saya sangat tidak teratur, saya tidak terlalu disiplin, dan saya juga cenderung mengalami depresi. Menurutku itu tidak mudah. Namun yang saya temukan adalah pada saat-saat tertentu - seperti di pagi hari saat sarapan, atau saat saya berjalan-jalan di Paris atau melakukan sesuatu yang tidak ada gunanya seperti bersih-bersih - otak saya mulai bekerja dengan sendirinya. Saya menyadari bahwa saya sedang memikirkan matematika, tanpa bermaksud demikian. Sepertinya Anda sedang bermimpi. Saya berusia 62 tahun, dan saya tidak memiliki metode nyata untuk mengerjakan matematika dengan baik: Saya masih menunggu saat ketika saya mendapatkan inspirasi.

Anda bekerja dengan objek yang sangat abstrak - dengan ruang berdimensi tinggi, dengan struktur yang memenuhi persamaan rumit. Bagaimana pendapat Anda tentang dunia abstrak seperti itu?

Sebenarnya tidak terlalu sulit. Definisi yang paling abstrak, setelah Anda memahaminya, sudah tidak abstrak lagi. Ibarat gunung indah yang Anda lihat dengan sangat baik, karena udaranya sangat jernih dan ada cahaya yang memungkinkan Anda melihat semua detailnya. Bagi kami, objek matematika yang kami pelajari terlihat konkret, karena kami mengetahuinya jauh lebih baik dibandingkan apa pun.

Tentu saja, ada banyak hal yang perlu dibuktikan, dan ketika Anda mulai mempelajari sesuatu, Anda mungkin menderita karena abstraksinya. Namun ketika Anda menggunakan sebuah teori - karena Anda memahami teoremanya - Anda sebenarnya merasa sangat dekat dengan objek yang dipermasalahkan, meskipun objek tersebut abstrak. Dengan mempelajari objek, memanipulasinya, dan menggunakannya dalam argumen matematika, mereka pada akhirnya menjadi teman Anda.

Dan ini juga memerlukan melihat mereka dari sudut pandang yang berbeda?

Saya awalnya tidak mempelajari geometri aljabar. Saya bekerja di geometri analitik dan diferensial yang kompleks. Dalam geometri analitik, Anda mempelajari kelas fungsi yang jauh lebih besar dan bentuk yang ditentukan secara lokal oleh fungsi tersebut. Mereka biasanya tidak memiliki persamaan global, tidak seperti geometri aljabar.

Saya tidak terlalu memperhatikan sudut pandang aljabar pada awalnya. Namun semakin tua saya dan semakin banyak saya bekerja di bidang ini, semakin saya melihat perlunya memiliki dua bahasa yang berbeda ini.

Ada sebuah teorema luar biasa, yang disebut GAGA, yang merupakan sebuah lelucon; itu berarti "pikun" dalam bahasa Prancis, tetapi juga berarti geometri aljabar dan analisis geometri. Dikatakan bahwa Anda dapat berpindah dari satu bahasa ke bahasa lainnya. Anda dapat melakukan komputasi dalam geometri analitik kompleks jika lebih mudah, lalu kembali ke geometri aljabar.

Di lain waktu, geometri aljabar memberi Anda kemungkinan mempelajari versi berbeda dari suatu soal yang dapat memberikan hasil luar biasa. Saya telah berupaya untuk memahami geometri aljabar secara keseluruhan, bukan hanya berfokus pada sisi geometri kompleksnya.

Sangat menarik bahwa Anda menganggap ini sebagai bahasa matematika yang berbeda.

Bahasa itu penting. Sebelum matematika, ada bahasa. Banyak logika sudah ada di dalam bahasa. Kita mempunyai semua aturan logis dalam matematika: bilangan, negasi, tanda kurung untuk menunjukkan urutan operasi yang benar. Namun penting untuk disadari bahwa semua aturan yang penting bagi ahli matematika ini sudah ada dalam bahasa kita sehari-hari.

Anda dapat membandingkan teorema matematika dengan puisi. Itu ditulis dengan kata-kata. Itu adalah produk bahasa. Kita hanya mempunyai objek matematika karena kita menggunakan bahasa, karena kita menggunakan kata-kata sehari-hari dan memberinya arti tertentu. Jadi Anda bisa membandingkan puisi dan matematika, karena keduanya sepenuhnya mengandalkan bahasa namun tetap menciptakan sesuatu yang baru.

Anda tertarik pada matematika karena revolusi Grothendieck dalam geometri aljabar. Dia pada dasarnya menciptakan bahasa baru untuk melakukan matematika semacam ini.

Kanan.

Apakah ada cara di mana bahasa matematika yang Anda gunakan sekarang mungkin masih perlu diubah?

Matematikawan terus-menerus mengerjakan ulang bahasa mereka. Sangat disayangkan, karena membuat makalah lama menjadi sulit dibaca. Namun kami mengerjakan ulang matematika masa lalu karena kami memahaminya dengan lebih baik. Ini memberi kita cara yang lebih baik dalam menulis dan membuktikan teorema. Hal ini terjadi pada Grothendieck, dengan penerapan kohomologi berkas pada geometri. Sungguh spektakuler.

Penting untuk mengenal objek yang dipelajari, sampai-sampai bagi Anda itu seperti bahasa ibu. Ketika sebuah teori mulai terbentuk, dibutuhkan waktu untuk menemukan definisi yang tepat, dan menyederhanakan segalanya. Atau mungkin masih sangat rumit, namun kita menjadi lebih paham dengan definisi dan objeknya; menjadi lebih alami untuk menggunakannya.

Ini adalah evolusi yang berkelanjutan. Kita terus-menerus harus menulis ulang dan menyederhanakan, berteori tentang apa yang penting, tentang alat apa yang harus disediakan.

Pernahkah Anda memperkenalkan definisi baru dalam karya Anda?

Kadang-kadang. Di dalam pekerjaan yang saya lakukan dengan János Kollár, terjadilah titik balik di mana kami akhirnya dapat menemukan pandangan yang tepat mengenai masalah tersebut — melalui definisi tertentu. Ini adalah masalah yang sangat klasik, dan kami bekerja dengan alat klasik, namun pembuktian kami benar-benar didasarkan pada definisi yang kami buat.

Dalam kasus lain, Olivier Debarre, Daniel Huybrechts, Emanuele Macri dan saya terbukti bagus hasil klasifikasi tentang objek yang disebut manifold hiper-Kähler. Dan titik awal pembuktian tersebut adalah pengenalan sebuah invarian, yang awalnya kami sebut “a.”[Tertawa.]

Anda mungkin meremehkan pentingnya definisi dalam matematika, tetapi Anda tidak boleh meremehkannya.

Definisi dan bahasa bukanlah satu-satunya kekuatan penuntun dalam matematika. Begitu pula dengan dugaan, yang mungkin benar atau mungkin tidak benar. Misalnya, Anda telah melakukan banyak penelitian mengenai dugaan Hodge, sebuah permasalahan milenium Clay yang penyelesaiannya disertai dengan Hadiah $ 1 juta.

Katakanlah Anda memiliki variasi aljabar yang ingin Anda pahami. Jadi, Anda beralih ke sisi geometri analitik kompleks dan menganggapnya sebagai manifold kompleks. Anda dapat membayangkan manifold yang kompleks berdasarkan bentuk globalnya, atau topologinya. Ada sebuah objek, yang disebut homologi, yang memberi Anda banyak informasi topologi tentang manifold. Namun tidak mudah untuk mendefinisikannya.

Sekarang pertimbangkan subvarietas aljabar di dalam variasi asli Anda. Masing-masing akan memiliki invarian topologi, informasi topologi tertentu yang terkait dengannya. Bagian homologi manifold kompleks manakah yang dapat diperoleh dengan melihat invarian topologi ini?

Dugaan Hodge memberikan jawaban yang spesifik. Dan jawabannya sangat halus.

Jadi para ahli matematika tidak yakin apakah dugaan Hodge akan benar atau salah?

Anda ingin mempercayai dugaan Hodge, karena dugaan tersebut merupakan panduan teori-teori utama dalam geometri aljabar.

Anda benar-benar ingin memahami sifat-sifat utama suatu ragam aljabar. Dan jika dugaan Hodge benar, itu akan memberi Anda kendali luar biasa terhadap geometri varietas Anda. Anda akan mendapatkan informasi yang sangat penting tentang struktur varietas.

Ada beberapa alasan kuat untuk mempercayainya. Kasus-kasus tertentu dari dugaan Hodge telah diketahui. Dan ada banyak pernyataan mendalam tentang variasi aljabar yang mengisyaratkan bahwa dugaan Hodge benar.

Namun hampir tidak ada kemajuan dalam membuktikan hal tersebut. Saya juga membuktikan bahwa tidak ada cara untuk memperluas dugaan Hodge ke situasi lain yang terlihat alami. Jadi itu sedikit mengejutkan.

Setelah berpuluh-puluh tahun bekerja sebagai ahli matematika, apakah sekarang Anda merasa semakin mendalami matematika?

Sekarang, karena saya lebih tua, saya mempunyai lebih banyak waktu untuk menghabiskan energi saya pada matematika, untuk benar-benar hadir di dalamnya. Saya juga memiliki kemampuan yang lebih baik untuk pergi kesana-kemari. Di masa lalu, mungkin karena waktuku lebih sedikit, mobilitasku berkurang — meskipun terlalu mobile, hanya menyentuh masalah tanpa terus memikirkannya, juga tidak baik. Sekarang saya lebih berpengalaman, dan saya bisa membangun gambaran saya sendiri.

Anda memiliki gambaran yang jauh lebih baik tentang apa yang tidak Anda ketahui, tentang masalah yang terbuka. Anda memiliki gambaran rinci tentang bidang Anda dan batas-batasnya. Pasti ada beberapa aspek baik dari bertambahnya usia. Dan masih banyak yang harus dilakukan.