Misteri Numerik Dari Abad ke-19 Akhirnya Terpecahkan

Pada awal 1950-an, sekelompok peneliti di Institute for Advanced Study memulai proyek teknologi tinggi. Pada perintah dari John von Neumann dan Herman Goldstine, fisikawan Hedvig Selberg memprogram komputer 1,700 tabung vakum IAS untuk menghitung jumlah matematika yang aneh yang asal-usulnya berasal dari abad ke-18.

Jumlah tersebut terkait dengan jumlah Gauss kuadrat, dinamai untuk matematikawan terkenal Carl Friedrich Gauss. Gauss akan memilih beberapa bilangan prima p, lalu jumlahkan bilangan dalam bentuk $lateks e^{frac{2iπn^2}{p}}$. Sejak awal, jumlah Gauss kuadrat telah terbukti sangat berharga untuk tugas-tugas seperti menghitung solusi untuk jenis persamaan tertentu. "Ternyata jumlah Gauss ajaib, mereka hanya melakukan hal-hal indah karena Tuhan tahu apa alasannya," kata Jeffrey Hoffstein, seorang matematikawan di Brown University.

Pada pertengahan abad ke-19, matematikawan Jerman Ernst Eduard Kummer mempermainkan kerabat dekat jumlah Gauss kuadrat ini, di mana n² dalam eksponen diganti dengan n³. Kummer memperhatikan bahwa mereka cenderung mengumpulkan nilai-nilai yang mendekati tertentu ke tingkat yang mengejutkan — pengamatan tajam yang akan mengarah pada penyelidikan selama berabad-abad dalam teori bilangan.

Jika jumlah kubik Gauss tidak dikerjakan ulang menjadi rumus yang lebih sederhana, nilainya sulit untuk disimpulkan. Karena kekurangan rumus seperti itu, Kummer mulai menghitung jumlah kubik Gauss — dan menghitung, dan menghitung. “Itu sangat umum bagi mereka untuk melakukan perhitungan heroik semacam ini dengan tangan saat itu,” kata Matius Young, seorang matematikawan di Texas A&M University. Setelah membajak melalui 45 jumlah, sesuai dengan 45 bilangan prima non-sepele pertama, Kummer akhirnya menyerah.

Mensurvei hasilnya, Kummer melihat sesuatu yang menarik. Secara teori, jumlahnya bisa apa saja antara 1 dan 1 (setelah "dinormalisasi" — dibagi dengan konstanta yang sesuai). Tetapi ketika dia melakukan perhitungan, dia menemukan bahwa mereka didistribusikan dengan cara yang aneh. Setengah dari hasilnya antara dan 1, dan hanya seperenam dari mereka yang berada di antara 1 dan . Mereka tampak berkerumun di sekitar 1.

Kummer memaparkan pengamatannya, bersama dengan dugaan: Jika Anda entah bagaimana berhasil memplot semua jumlah Gauss kubik yang tak terhingga, Anda akan melihat sebagian besar dari mereka antara dan 1; lebih sedikit antara dan ; dan masih lebih sedikit antara 1 dan .

Selberg, von Neumann dan Goldstine mulai menguji ini di komputer awal mereka. Selberg memprogramnya untuk menghitung jumlah kubik Gauss untuk semua bilangan prima non-trivial yang kurang dari 10,000 — semuanya berjumlah sekitar 600. (Goldstine dan von Neumann akan melanjutkan ke penulis makalah; kontribusinya akan berakhir diturunkan ke garis pengakuan di akhir.) Mereka menemukan bahwa ketika bilangan prima semakin besar, jumlah yang dinormalisasi menjadi kurang cenderung untuk mengelompok di dekat 1. Dengan bukti meyakinkan bahwa dugaan Kummer salah, matematikawan mulai mencoba memahami jumlah kubik Gauss dengan cara yang lebih dalam yang melampaui perhitungan belaka.

Proses itu sekarang selesai. Pada tahun 1978, matematikawan Samuel Patterson memberanikan diri solusi untuk misteri matematika Kummer, tapi tidak bisa membuktikannya. Kemudian musim gugur yang lalu, dua matematikawan dari California Institute of Technology membuktikan dugaan Patterson, akhirnya menutup renungan Kummer dari tahun 1846.

Patterson pertama kali terpikat pada masalah ini sebagai mahasiswa pascasarjana di Universitas Cambridge pada 1970-an. Dugaannya dimotivasi oleh apa yang terjadi ketika angka ditempatkan secara acak di mana saja antara 1 dan 1. Jika Anda menjumlahkan N dari angka-angka acak ini, ukuran tipikal jumlahnya adalah $latexsqrt{N}$ (bisa positif atau negatif). Demikian juga, jika jumlah kubik Gauss tersebar merata dari 1 hingga 1, Anda akan mengharapkan N dari mereka untuk menambahkan hingga kira-kira $latexsqrt{N}$.

Dengan pemikiran ini, Patterson menambahkan N jumlah kubik Gauss, mengabaikan (untuk saat ini) persyaratan untuk tetap menggunakan bilangan prima. Dia menemukan bahwa jumlahnya sekitar N^5/6 — lebih besar dari $latexsqrt{N}$ (yang dapat ditulis sebagai N^1/2), tetapi kurang dari N. Nilai ini menyiratkan bahwa jumlah berperilaku seperti angka acak tetapi dengan gaya lemah yang menekannya ke arah nilai positif, yang disebut bias. Sebagai N menjadi lebih besar dan lebih besar, keacakan akan mulai membanjiri bias, dan jadi jika Anda entah bagaimana melihat semua jumlah Gauss kubik yang tak terhingga sekaligus, mereka akan tampak terdistribusi secara merata.

Ini tampaknya menjelaskan segalanya: perhitungan Kummer menunjukkan bias, serta perhitungan IAS menyangkalnya.

Tetapi Patterson tidak dapat melakukan perhitungan yang sama untuk bilangan prima, jadi pada tahun 1978, dia secara resmi menuliskannya sebagai dugaan: Jika Anda menjumlahkan jumlah kubik Gauss untuk bilangan prima, Anda akan mendapatkan yang sama N^5/6 tingkah laku.

Segera setelah memberikan ceramah tentang pekerjaannya pada masalah Kummer, Patterson dihubungi oleh seorang mahasiswa pascasarjana bernama Roger Heath-Brown, yang menyarankan untuk menggabungkan teknik dari teori bilangan prima. Keduanya bekerja sama dan segera diterbitkan kemajuan pada masalah, tetapi mereka masih tidak dapat menunjukkan prediksi Patterson N^5/6 bias akurat untuk bilangan prima.

Selama beberapa dekade berikutnya, hanya ada sedikit kemajuan. Akhirnya, pada pergantian milenium, Heath-Brown membuat yang lain terobosan, di mana alat yang dia kembangkan yang disebut saringan besar kubik memainkan peran penting.

Untuk menggunakan saringan kubik besar, Heath-Brown menggunakan serangkaian perhitungan untuk menghubungkan jumlah jumlah kubik Gauss dengan jumlah yang berbeda. Dengan alat ini, Heath-Brown dapat menunjukkan bahwa jika Anda menjumlahkan jumlah kubik Gauss untuk bilangan prima kurang dari N, hasilnya tidak bisa jauh lebih besar dari N^5/6. Tetapi dia berpikir bahwa dia dapat melakukan yang lebih baik — bahwa saringan itu sendiri dapat ditingkatkan. Jika bisa, itu akan menurunkan batas ke N^5/6 tepatnya, sehingga membuktikan dugaan Patterson. Dalam satu baris teks pendek, dia membuat sketsa apa yang dia pikir akan menjadi formula terbaik untuk saringan itu.

Bahkan dengan alat baru ini, matematikawan tidak dapat maju lebih jauh. Kemudian dua dekade kemudian, pertemuan yang beruntung antara postdoc Caltech Alexander Dunn dan supervisornya Maksym Radziwi menandai awal dari akhir. Sebelum Dunn memulai posisinya pada September 2020, Radziwiłł mengusulkan agar mereka mengerjakan dugaan Patterson bersama. Tetapi dengan pandemi Covid-19 yang masih berkecamuk, penelitian dan pengajaran tetap dilakukan dari jarak jauh. Akhirnya, pada Januari 2021, kebetulan — atau takdir — campur tangan ketika kedua matematikawan itu secara tak terduga bertemu satu sama lain di tempat parkir Pasadena. “Kami mengobrol dengan ramah, dan kami sepakat bahwa kami harus mulai bertemu dan berbicara matematika,” tulis Dunn dalam email. Pada bulan Maret, mereka bekerja dengan rajin untuk membuktikan dugaan Patterson.

“Menyenangkan untuk dikerjakan, tetapi risikonya sangat tinggi,” kata Dunn. "Maksud saya, saya ingat datang ke kantor saya pada, seperti, jam 5 pagi setiap pagi selama empat atau lima bulan."

Dunn dan Radziwiłł, seperti Heath-Brown sebelumnya, menemukan bahwa saringan kubik besar sangat diperlukan untuk pembuktian mereka. Tetapi ketika mereka menggunakan rumus yang telah ditulis oleh Heath-Brown dalam makalahnya tahun 2000 — makalah yang dia yakini sebagai saringan terbaik, dugaan yang diyakini oleh komunitas teori bilangan adalah benar — mereka menyadari ada sesuatu yang tidak benar. . “Kami dapat membuktikan bahwa 1 = 2, setelah pekerjaan yang sangat, sangat rumit,” kata Radziwiłł.

Pada saat itu, Radziwiłł yakin kesalahannya ada pada mereka. "Saya agak yakin bahwa pada dasarnya kami memiliki kesalahan dalam pembuktian kami." Dunn meyakinkannya sebaliknya. Saringan besar kubik, bertentangan dengan harapan, tidak dapat diperbaiki.

Berbekal kebenaran saringan besar kubik, Dunn dan Radziwiłł mengkalibrasi ulang pendekatan mereka terhadap dugaan Patterson. Kali ini, mereka berhasil.

“Saya pikir itulah alasan utama mengapa tidak ada yang melakukan ini, karena dugaan [Heath-Brown] ini menyesatkan semua orang,” kata Radziwiłł. "Saya pikir jika saya memberi tahu Heath-Brown bahwa dugaannya salah, maka dia mungkin akan mencari cara untuk melakukannya."

Dunn dan Radziwiłł memposting makalah mereka pada 15 September 2021. Pada akhirnya, bukti mereka bergantung pada hipotesis Riemann yang digeneralisasi, dugaan yang terkenal tidak terbukti dalam matematika. Tapi matematikawan lain melihat ini hanya sebagai kelemahan kecil. “Kami ingin menyingkirkan hipotesis. Tapi kami senang mendapatkan hasil yang bersyarat, ”kata Heath-Brown, yang sekarang menjadi profesor emeritus di Universitas Oxford.

Bagi Heath-Brown, karya Dunn dan Radziwiłł lebih dari sekadar bukti dugaan Patterson. Dengan wawasan tak terduga ke dalam saringan kubik besar, makalah mereka membawa kejutan yang mengakhiri cerita yang telah dia ikuti selama beberapa dekade. “Saya senang bahwa saya tidak benar-benar menulis di makalah saya, 'Saya yakin seseorang dapat menyingkirkan ini,'” katanya, mengacu pada sedikit saringan yang ditemukan Dunn dan Radziwiłł sangat penting. “Saya hanya berkata, 'Alangkah baiknya jika seseorang dapat menyingkirkan ini. Tampaknya mungkin Anda harus bisa.' Dan saya salah – bukan untuk pertama kalinya.”