Menara Dugaan Yang Bertumpu Pada Jarum | Majalah Kuanta

Dalam matematika, permasalahan sederhana seringkali tidak seperti yang terlihat. Awal musim panas ini, Quanta melaporkan salah satu masalah tersebut: Berapa luas terkecil yang dapat kamu sapu dengan memutar jarum yang sangat tipis ke segala arah? Putar di sekeliling bagian tengahnya seperti putaran, dan Anda akan mendapatkan sebuah lingkaran. Namun memutarnya dengan lebih cerdik, dan Anda dapat menutupi sebagian kecil ruang. Jika Anda tidak memerlukan jarum untuk bergerak dalam satu gerakan terus-menerus, dan sebaliknya hanya meletakkan jarum ke segala arah, Anda dapat membuat susunan jarum yang tidak mencakup area sama sekali.

Para matematikawan menyebut susunan ini sebagai himpunan Kakeya. Meskipun mereka tahu bahwa himpunan tersebut bisa berukuran kecil dalam hal luas (atau volume, jika Anda menyusun jarum dalam tiga dimensi atau lebih), mereka yakin himpunan tersebut harus selalu besar jika ukurannya diukur dengan metrik yang disebut Hausdorff. dimensi.

Matematikawan belum membuktikan pernyataan ini, yang dikenal sebagai dugaan Kakeya. Meski pertanyaannya sederhana tentang jarum, “geometri himpunan Kakeya ini mendasari banyak pertanyaan dalam persamaan diferensial parsial, analisis harmonik, dan bidang lainnya,” kata jonathan hickman dari Universitas Edinburgh.

Dugaan Kakeya terletak pada dasar hierarki tiga masalah utama dalam analisis harmonik - cabang matematika yang mempelajari bagaimana fungsi dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari fungsi periodik seperti gelombang sinus yang berosilasi secara teratur.

Langkah selanjutnya dalam hierarki tersebut adalah dugaan “pembatasan”. Jika benar, dugaan Kakeya juga demikian. (Ini juga berarti bahwa jika dugaan Kakeya ternyata salah, maka dugaan pembatasan tersebut tidak mungkin benar.) Dugaan pembatasan tersebut, pada gilirannya, tersirat dalam apa yang disebut dugaan Bochner-Riesz. Dan di bagian paling atas terdapat dugaan pemulusan lokal.

Dua dugaan pertama berkaitan dengan perilaku transformasi Fourier, suatu teknik analisis harmonik untuk menghitung cara mengekspresikan hampir semua fungsi sebagai jumlah gelombang sinus. Ini adalah salah satu alat matematika paling kuat yang tersedia bagi fisikawan dan insinyur. Transformasi Fourier telah memainkan peran mendasar dalam memecahkan persamaan diferensial, mengekspresikan ide-ide mekanika kuantum seperti prinsip ketidakpastian Heisenberg, dan menganalisis serta memproses sinyal – sehingga memungkinkan hal-hal seperti telepon seluler modern.

Karena setiap pernyataan dalam hierarki menyiratkan pernyataan di bawahnya, jika dugaan Kakeya salah, maka tidak ada dugaan lain yang benar. Seluruh menara akan runtuh. “Anda dapat membuat contoh tandingan monster super yang akan mematahkan banyak dugaan,” kata Hickman.

Di sisi lain, membuktikan dugaan Kakeya benar tidak secara otomatis menyiratkan kebenaran dugaan lain tersebut — namun hal ini akan memberikan wawasan penting bagi para ahli matematika tentang cara melanjutkannya.

Jadi, “hampir setengah dari komunitas analisis harmonik yang saya tahu sedang mengerjakan masalah ini dan masalah terkait, atau pernah mengerjakannya pada suatu saat,” kata Shaoming Guo dari Universitas Wisconsin, Madison.

Baru-baru ini, secara mengejutkan, para ahli matematika telah menemukan bahwa teknik yang mereka kembangkan untuk mengatasi masalah ini juga dapat digunakan untuk membuktikan hasil besar dalam bidang teori bilangan yang tampaknya tidak berhubungan. “Ini adalah fenomena yang lebih umum dari yang diperkirakan orang,” kata Guo.

Lapisan Kue

Ceritanya dimulai dengan transformasi Fourier. “Anda ingin menguraikan [fungsi] menjadi bagian-bagian kecil, menganalisis interaksinya, dan menggabungkannya kembali,” katanya Yumeng Ou dari Universitas Pennsylvania. Untuk fungsi satu dimensi - kurva yang dapat Anda gambarkan pada selembar kertas - ahli matematika memiliki pemahaman yang baik tentang cara melakukan hal ini, bahkan ketika mereka perlu membalikkan transformasi Fourier hanya dengan menggunakan beberapa bagian saja.

Namun dalam dua dimensi atau lebih, segalanya bisa menjadi berantakan.

Dalam 1971, Charlie Fefferman, seorang ahli matematika di Universitas Princeton, menemukan cara menggunakan himpunan Kakeya untuk menunjukkan bahwa membalikkan transformasi Fourier dapat menghasilkan hasil yang aneh dan mengejutkan dalam berbagai dimensi.

Matematikawan menemukan perbaikan dalam bentuk dugaan Bochner-Riesz, yang pada dasarnya menyatakan bahwa ada cara yang lebih canggih untuk memulihkan fungsi asli yang tidak rusak seperti contoh Fefferman. Namun perbaikan itu bergantung pada kebenaran dugaan Kakeya.

Jika benar, “memotong frekuensi hanya akan menyebabkan kesalahan kecil,” katanya Betsy Stovall dari Universitas Wisconsin, Madison. “Artinya kesalahan kecil tidak akan membesar-besarkan.”

Maka dimulailah hierarki. Belakangan, para ahli matematika menemukan hubungan penting lainnya: Jika benar, dugaan Bochner-Riesz juga menyiratkan pernyataan yang disebut dugaan pembatasan. Dugaan ini menyatakan bahwa jika Anda memulai dengan versi terbatas dari transformasi Fourier - "membatasi" nilai-nilai yang Anda lihat hanya pada nilai-nilai yang ada pada permukaan tertentu - ini masih dapat memberi Anda informasi penting tentang fungsi aslinya. Dan ternyata jika dugaan pembatasan itu benar, maka dugaan Kakeya juga benar. (Ini menempatkan dugaan pembatasan antara Kakeya dan Bochner-Riesz di menara.)

Masalah utama dalam hierarki, yang disebut dugaan pemulusan lokal, tidak berhubungan dengan transformasi Fourier secara langsung, melainkan membatasi ukuran solusi terhadap persamaan yang menggambarkan perilaku gelombang.

Anda juga dapat memikirkan hal ini dalam kaitannya dengan geometri garis dalam himpunan Kakeya. Anda dapat memecah solusi umum persamaan gelombang menjadi beberapa bagian yang bergerak ke arah berbeda dan berinteraksi satu sama lain dengan cara berbeda seiring waktu. Masing-masing potongan tersebut secara matematis menyerupai jarum dalam set Kakeya. Dugaan Kakeya menegaskan bahwa konfigurasi seperti itu tidak boleh terlalu banyak tumpang tindih. Dalam konteks fisik ini, tumpang tindih akan berhubungan dengan masih adanya perilaku yang tidak teratur dan tidak terduga dalam solusi. Misalnya, gelombang suara dapat menguat di banyak wilayah pada waktu yang berbeda.

Dugaan perataan lokal menyatakan bahwa penyimpangan tersebut harus dirata-ratakan. “Ini seperti mengambil rata-rata pasar keuangan,” katanya Demeter Ciprian dari Universitas Indiana Bloomington. “Mungkin ada kehancuran di sana-sini, namun jika Anda menginvestasikan uang Anda dan pensiun dalam 40 tahun, ada kemungkinan besar Anda akan mendapatkan investasi yang bagus.”

Namun seperti semua dugaan dalam hierarki, hal itu bergantung pada kebenaran dugaan Kakeya. “Idenya adalah jika Anda mengesampingkan banyak persimpangan dalam kumpulan Kakeya, itu berarti Anda dapat mengesampingkan situasi di mana bagian-bagian dari solusi Anda berkonspirasi untuk menciptakan semacam ledakan,” kata Stovall.

Dugaan ini merupakan dugaan yang paling sulit: Meskipun kasus dua dimensi dari masalah Kakeya, restriksi, dan Bochner-Riesz telah diselesaikan beberapa dekade yang lalu, dugaan pemulusan lokal dua dimensi baru terbukti beberapa tahun yang lalu. (Dalam dimensi yang lebih tinggi, semua masalah ini tetap terbuka.)

Namun meskipun kemajuan yang lambat dalam membuktikan dugaan perataan lokal, penelitian terhadap hal ini telah menghasilkan kemajuan yang luar biasa di tempat lain. Pada tahun 1999, ketika mencoba mengatasi dugaan tersebut, ahli matematika Thomas Wolff memperkenalkan metode yang dikenal sebagai decoupling. Sejak saat itu, teknik tersebut mulai berkembang: Teknik ini telah digunakan untuk membuat terobosan besar tidak hanya dalam analisis harmonik, namun juga dalam teori bilangan, geometri, dan bidang lainnya. “Dengan menggunakan hasil decoupling, Anda sekarang memiliki rekor dunia dalam permasalahan yang sangat terkenal dan penting,” katanya Christopher Sogge dari Universitas Johns Hopkins, yang pertama kali merumuskan dugaan perataan lokal pada tahun 1990an. Misalnya, decoupling telah digunakan untuk membantu menghitung berapa banyak cara bilangan bulat dapat direpresentasikan sebagai jumlah kuadrat, kubus, atau pangkat lainnya.

Seperti yang dikatakan Demeter, hasil ini mungkin terjadi karena “kita dapat melihat angka sebagai gelombang.” Bahwa semua masalah ini terkait dengan rangkaian jarum suntik Kakeya “sangat menarik,” tambahnya. “Anda tidak berpikir bahwa begitu banyak keindahan, kesulitan, dan kepentingan dapat disembunyikan dalam sesuatu yang dapat dirumuskan menggunakan segmen garis.”