Dugaan Lama Jatuh, Membuat Bola Menjadi Lebih Rumit | Majalah Quanta

Pada awal Juni, kehebohan dibangun saat ahli matematika mendarat di Bandara Heathrow London. Tujuan mereka adalah Universitas Oxford dan a konferensi untuk memperingati ulang tahun ke 65 Michael Hopkins, seorang ahli matematika di Universitas Harvard yang menjadi mentor bagi banyak peserta.

Hopkins membuat namanya terkenal pada akhir tahun 1980-an karena karyanya pada tujuh dugaan itu Doug Ravenel dari University of Rochester telah merumuskan satu dekade sebelumnya. Mereka berkaitan dengan teknik untuk menentukan kapan dua bentuk, atau ruang, yang mungkin terlihat berbeda benar-benar sama. Hopkins dan kolaboratornya membuktikan semua dugaan Ravenel kecuali satu, masalah dengan nama sugestif namun misterius yang disebut dugaan teleskop.

Pada saat itu, Hopkins meletakkan karyanya pada dugaan Ravenel untuk beristirahat. Selama beberapa dekade setelahnya, dugaan teleskop tampaknya mustahil untuk dipecahkan.

"Anda tidak bisa menyentuh teorema seperti itu," kata Hopkins.

Tetapi ketika ahli matematika mendarat di London, ada desas-desus bahwa hal itu telah dilakukan - oleh sekelompok empat ahli matematika yang memiliki hubungan dengan Massachusetts Institute of Technology, tiga di antaranya telah dibimbing oleh Hopkins di sekolah pascasarjana. Bungsu dari empat, seorang mahasiswa pascasarjana bernama Retribusi Ishan, dijadwalkan untuk memberikan ceramah pada hari Selasa, hari kedua konferensi, yang sepertinya merupakan saat pembuktian akan diumumkan.

“Saya telah mendengar desas-desus bahwa hal ini akan terjadi, dan saya tidak tahu persis apa yang diharapkan,” kata Vesna Stojanoska, seorang ahli matematika di Universitas Illinois, Urbana-Champaign yang menghadiri konferensi tersebut.

Segera menjadi jelas bahwa rumor itu benar. Dimulai pada hari Selasa, dan selama tiga hari berikutnya, Levy dan rekan penulisnya — Robert Burklund, Jeremy Hahn dan Tomer Schlank — menjelaskan kepada sekitar 200 ahli matematika bagaimana mereka membuktikan bahwa dugaan teleskop itu salah, menjadikannya satu-satunya dugaan asli Ravenel yang tidak benar.

Penolakan dugaan teleskop memiliki implikasi yang luas, tetapi salah satu yang paling sederhana dan paling mendalam adalah ini: Ini berarti bahwa dalam dimensi yang sangat tinggi (pikirkan bola 100 dimensi), alam semesta dengan berbagai bentuk jauh lebih rumit daripada para ahli matematika mengantisipasinya.

Memetakan Peta

Untuk mengklasifikasikan bentuk, atau ruang topologi, ahli matematika membedakan perbedaan yang penting dan yang tidak penting. Teori homotopi adalah perspektif yang digunakan untuk membuat perbedaan tersebut. Ini menganggap bola dan telur pada dasarnya adalah ruang topologi yang sama, karena Anda dapat membengkokkan dan meregangkan satu sama lain tanpa merobek keduanya. Dengan cara yang sama, teori homotopi menganggap bola dan ban dalam berbeda secara mendasar karena Anda harus merobek lubang di bola untuk mengubahnya menjadi ban dalam.

Homotopi berguna untuk mengklasifikasikan ruang topologi — membuat bagan dari semua jenis bentuk yang mungkin. Penting juga untuk memahami hal lain yang menjadi perhatian matematikawan: peta antar ruang. Jika Anda memiliki dua ruang topologi, salah satu cara untuk menyelidiki propertinya adalah dengan mencari fungsi yang mengubah, atau memetakan, titik pada satu titik ke titik lainnya — masukkan titik pada ruang A, dapatkan titik pada ruang B sebagai keluaran Anda, dan lakukan itu untuk semua titik di A.

Untuk melihat cara kerja peta-peta ini, dan mengapa peta-peta tersebut menerangi properti ruang yang terlibat, mulailah dengan sebuah lingkaran. Sekarang petakan ke dalam bola dua dimensi, yang merupakan permukaan bola. Ada banyak sekali cara untuk melakukan hal ini. Misalnya, jika Anda membayangkan bola sebagai permukaan bumi, Anda dapat meletakkan lingkaran di garis lintang mana pun. Dari sudut pandang teori homotopi, semuanya ekuivalen, atau homotopik, karena semuanya dapat menyusut ke satu titik di kutub utara atau selatan.

Selanjutnya, petakan lingkaran ke permukaan dua dimensi ban dalam (torus satu lubang). Sekali lagi, ada banyak sekali cara untuk melakukan hal ini, dan sebagian besar bersifat homotopik. Tapi tidak semua dari mereka. Anda dapat menempatkan lingkaran secara horizontal atau vertikal di sekitar torus, dan tidak ada yang dapat dideformasi secara mulus ke yang lain. Ini adalah dua (dari banyak) cara memetakan lingkaran ke torus, sementara hanya ada satu cara untuk memetakannya ke bola, yang mencerminkan perbedaan mendasar antara dua ruang: Torus memiliki satu lubang sedangkan bola tidak memiliki lubang.

Sangat mudah menghitung cara kita dapat memetakan dari lingkaran ke bola dua dimensi atau torus. Itu adalah ruang yang akrab yang mudah divisualisasikan. Tetapi menghitung peta jauh lebih sulit ketika melibatkan ruang berdimensi lebih tinggi.

Perbedaan Dimensi

Jika dua bola mempunyai dimensi yang sama, selalu ada banyak peta di antara keduanya. Dan jika ruang yang Anda petakan berdimensi lebih rendah daripada ruang yang Anda petakan (seperti dalam contoh lingkaran satu dimensi yang dipetakan ke bola dua dimensi), maka selalu hanya ada satu peta.

Sebagian karena alasan itu, menghitung peta paling menarik saat ruang tempat Anda memetakan memiliki dimensi yang lebih tinggi daripada ruang tujuan pemetaan, seperti saat Anda memetakan bola tujuh dimensi ke bola tiga dimensi. Dalam kasus seperti itu, jumlah peta selalu terbatas.

“Peta antar bola secara umum cenderung lebih menarik bila sumbernya memiliki dimensi yang lebih besar,” kata Hahn.

Selain itu, jumlah peta hanya bergantung pada perbedaan jumlah dimensi (setelah dimensi menjadi cukup besar dibandingkan perbedaannya). Artinya, jumlah peta dari bola 73 dimensi ke bola 53 dimensi sama dengan jumlah peta dari bola 225 dimensi ke bola 205 dimensi, karena dalam kedua kasus perbedaan dimensi adalah 20.

Matematikawan ingin mengetahui jumlah peta antar ruang dengan perbedaan dimensi apa pun. Mereka telah berhasil menghitung jumlah peta untuk hampir semua perbedaan dimensi hingga 100: Ada 24 peta antar bidang jika perbedaannya 20, dan 3,144,960 jika perbedaannya 23.

Namun menghitung jumlah peta untuk perbedaan apa pun yang lebih besar dari 100 akan menghabiskan daya komputasi modern. Dan pada saat yang sama, para ahli matematika belum mendeteksi pola yang cukup dalam jumlah peta untuk melakukan ekstrapolasi lebih lanjut. Tujuan mereka adalah mengisi tabel yang menentukan jumlah peta untuk setiap perbedaan dimensi, namun tujuan tersebut terasa sangat jauh.

"Ini bukan pertanyaan yang saya harapkan solusi lengkapnya dalam masa hidup cucu saya," kata Ravenel, yang berusia 76 tahun.

Dugaan teleskop membuat prediksi tentang bagaimana jumlah peta bertambah seiring bertambahnya perbedaan dimensi. Akibatnya, jumlah tersebut diperkirakan akan tumbuh secara perlahan. Jika memang benar, maka masalah pengisian tabel itu akan menjadi sedikit lebih mudah.

Keraguan Menjadi Ketidakpercayaan

Dugaan teleskop mendapatkan namanya dengan cara yang mustahil.

Ini berawal dari fakta bahwa dalam dimensi yang sangat tinggi, intuisi geometris yang terbentuk di dimensi yang lebih rendah sering rusak, dan sulit untuk menghitung peta antar bidang. Namun dalam merumuskan dugaannya, Ravenel memahami bahwa Anda tidak perlu melakukannya. Daripada menghitung peta antar bola, Anda dapat membuat penghitungan proxy yang lebih mudah untuk peta antara bola dan objek yang disebut teleskop.

Teleskop melibatkan serangkaian salinan kurva tertutup berdimensi lebih tinggi, masing-masing merupakan versi yang diperkecil dari kurva sebelumnya. Rangkaian kurva tersebut menyerupai tabung yang saling bertautan pada teleskop yang dapat dilipat. “Meskipun teleskop ini terdengar aneh saat Anda mendeskripsikannya, sebenarnya ini adalah objek yang lebih mudah untuk ditangani dibandingkan bola itu sendiri,” kata Ravenel.

Namun tetap saja, bola dapat dipetakan ke teleskop dengan berbagai cara, dan tantangannya adalah mengetahui kapan peta tersebut benar-benar berbeda.

Untuk menentukan apakah dua ruang adalah homotopik membutuhkan tes matematika yang dikenal sebagai invarian, yaitu perhitungan berdasarkan sifat-sifat ruang. Jika kalkulasi menghasilkan nilai yang berbeda untuk setiap ruang, Anda tahu bahwa ruang tersebut unik dari perspektif homotopi.

Ada banyak jenis invarian, dan beberapa dapat merasakan perbedaan yang tidak diketahui oleh invarian lainnya. Dugaan teleskop memperkirakan adanya invarian yang disebut Morava E-teori (dan kesimetriannya) dapat dengan sempurna membedakan semua peta antara bola dan teleskop hingga homotopi — yaitu, jika Morava E-teori mengatakan peta-peta itu berbeda, berbeda, dan jika dikatakan sama, berarti sama.

Tetapi pada tahun 1989 Ravenel mulai meragukan kebenarannya. Skeptisismenya muncul dari perhitungan yang dia lakukan yang tampaknya tidak sesuai dengan dugaannya. Namun baru pada bulan Oktober tahun itu, ketika gempa besar melanda Bay Area saat dia berada di Berkeley, keraguan itu menjadi tidak percaya sepenuhnya.

"Saya sampai pada kesimpulan ini dalam satu atau dua hari setelah gempa, jadi saya suka berpikir sesuatu terjadi yang membuat saya berpikir itu tidak benar," kata Ravenel.

Menyangkal dugaan teleskop memerlukan penemuan invarian yang lebih kuat yang dapat melihat benda-benda Morava E-teori tidak bisa. Selama beberapa dekade tampaknya tidak ada invarian seperti itu yang tersedia, sehingga membuat dugaan tersebut sulit dijangkau. Namun kemajuan dalam beberapa tahun terakhir mengubah hal tersebut – dan Burklund, Hahn, Levy, dan Schlank memanfaatkannya.

Eksotis yang Meledak

Bukti mereka bergantung pada seperangkat alat yang disebut aljabar K-teori, yang didirikan pada tahun 1950-an oleh Alexander Grothendieck dan telah berkembang pesat selama dekade terakhir. Ia memiliki penerapan dalam bidang matematika, termasuk geometri, yang memiliki kemampuan untuk meningkatkan invarian.

Keempat penulis menggunakan aljabar K-teori sebagai gadget: Mereka memasukkan Morava E-teori, dan keluarannya adalah invarian baru yang mereka sebut sebagai aljabar K-teori titik tetap Morava E-teori. Mereka kemudian menerapkan invarian baru ini pada peta dari bola hingga teleskop dan membuktikan bahwa Morava dapat melihat peta E-teori tidak bisa.

Dan bukan hanya invarian baru ini yang melihat beberapa peta lagi. Ia melihat lebih banyak lagi, bahkan lebih banyak lagi. Masih banyak lagi sehingga adil untuk mengatakan Morava E-Teori hampir tidak menggores permukaan ketika datang untuk mengidentifikasi peta dari bola ke teleskop.

Semakin banyak peta dari bola ke teleskop berarti semakin banyak peta antar bola itu sendiri. Jumlah peta tersebut terbatas untuk setiap perbedaan dimensi, namun bukti baru menunjukkan bahwa jumlahnya bertambah dengan cepat dan tak terhindarkan.

Adanya begitu banyak peta menunjukkan kenyataan geometris yang meresahkan: Ada begitu banyak bola.

Pada tahun 1956 John Milnor mengidentifikasi contoh pertama dari apa yang disebut bola “eksotis”. Ini adalah ruang yang dapat dideformasi menjadi bola sebenarnya dari perspektif homotopi tetapi berbeda dari bola dalam arti tertentu. Bola eksotik sama sekali tidak ada di dimensi satu, dua, atau tiga, dan belum ada seorang pun yang menemukan contohnya di bawah dimensi tujuh — dimensi tempat Milnor pertama kali menemukannya. Namun seiring bertambahnya dimensi, jumlah bola eksotik pun meledak. Ada 16,256 di dimensi 15, dan 523,264 di dimensi 19.

Namun, meskipun jumlahnya sangat besar, namun jika dugaan teleskop tidak terbukti, maka masih banyak lagi yang lainnya. Disproof berarti ada lebih banyak peta di antara bola daripada yang diantisipasi saat Ravenel menyatakan dugaannya, dan satu-satunya cara Anda mendapatkan lebih banyak peta adalah dengan memiliki variasi bola yang lebih banyak untuk dipetakan.

Ada berbagai jenis kemajuan dalam matematika dan sains. Satu jenis menertibkan kekacauan. Tapi yang lain mengintensifkan kekacauan dengan menghilangkan asumsi penuh harapan yang tidak benar. Penolakan dugaan teleskop seperti itu. Ini memperdalam kompleksitas geometri dan meningkatkan kemungkinan bahwa banyak generasi cucu akan datang dan pergi sebelum ada yang benar-benar memahami peta antar bidang.

“Setiap kemajuan besar dalam bidang ini tampaknya memberi tahu kita bahwa jawabannya jauh lebih rumit daripada yang kita duga sebelumnya,” kata Ravenel.