Mewarnai dengan Angka Mengungkapkan Pola Aritmatika dalam Pecahan

Setahun setelah dia memulai gelar Ph.D. dalam matematika di Universitas McGill, Matt Bowen memiliki masalah. “Saya mengikuti ujian kualifikasi saya dan melakukannya dengan sangat buruk,” katanya. Bowen yakin bahwa skornya tidak mencerminkan kemampuan matematikanya, dan dia memutuskan untuk membuktikannya. Musim gugur yang lalu dia melakukannya, ketika dia dan penasihatnya, Marcin Sabok, membukukan kemajuan besar dalam bidang yang dikenal dengan Teori ramsey.

Selama hampir seabad, ahli teori Ramsey telah mengumpulkan bukti bahwa struktur matematika bertahan dalam keadaan yang tidak bersahabat. Mereka mungkin memecah kumpulan angka besar seperti bilangan bulat atau pecahan, atau memotong koneksi antar titik pada jaringan. Mereka kemudian menemukan cara untuk membuktikan bahwa struktur tertentu tidak dapat dihindari, bahkan jika Anda mencoba menghindari pembuatannya dengan memecahkan atau memotong dengan cara yang cerdas.

Ketika ahli teori Ramsey berbicara tentang pemisahan satu set angka, mereka sering menggunakan bahasa pewarnaan. Pilih beberapa warna: merah, biru dan kuning, misalnya. Sekarang beri warna pada setiap nomor dalam koleksi. Bahkan jika Anda melakukan ini secara acak atau kacau, pola tertentu pasti akan muncul selama Anda hanya menggunakan warna berbeda dalam jumlah terbatas, meskipun jumlahnya sangat besar. Ahli teori Ramsey mencoba menemukan pola-pola ini, mencari kumpulan angka terstruktur yang "monokromatik", yang berarti semua elemennya diberi warna yang sama.

Hasil pewarnaan pertama kembali ke akhir abad ke-19. Pada tahun 1916, Issai Schur telah membuktikan bahwa bagaimanapun Anda mewarnai bilangan bulat positif (juga dikenal sebagai bilangan asli), akan selalu ada sepasang bilangan. x dan y seperti yang x, y, dan jumlahnya x+y semuanya berwarna sama. Sepanjang abad ke-20, ahli matematika terus mengerjakan soal pewarnaan. Pada tahun 1974, Neil Hindman diperpanjang hasil Schur untuk memasukkan subset tak terbatas dari bilangan bulat. Seperti teorema Schur, Teorema Hindman berlaku tidak peduli bagaimana bilangan asli diwarnai (dengan jumlah krayon yang terbatas). Tidak hanya bilangan bulat ini dalam himpunan Hindman semua warna yang sama, tetapi jika Anda menjumlahkan koleksinya, hasilnya juga akan menjadi warna itu. Himpunan seperti itu menyerupai bilangan genap dalam hal itu, sama seperti jumlah bilangan genap apa pun selalu genap, demikian juga jumlah bilangan apa pun di salah satu himpunan Hindman terkandung dalam himpunan itu.

“Teorema Hindman adalah bagian matematika yang luar biasa,” kata Sabok. "Ini adalah cerita yang bisa kita buat filmnya."

Tapi Hindman berpikir lebih mungkin. Dia yakin Anda dapat menemukan himpunan monokromatik besar (tetapi terbatas) yang sewenang-wenang yang tidak hanya berisi jumlah anggotanya, tetapi juga produknya. “Saya telah mempertahankan selama beberapa dekade bahwa itu adalah fakta,” katanya, menambahkan: “Saya tidak mempertahankan bahwa saya dapat membuktikannya.”

Dugaan Hindman

Jika Anda menyerah pada penjumlahan dan hanya ingin memastikan bahwa hasil kali memiliki warna yang sama, sangat mudah untuk mengadaptasi teorema Hindman dengan menggunakan eksponensial untuk mengubah jumlah menjadi hasil kali (seperti halnya aturan geser).

Bergulat dengan jumlah dan produk secara bersamaan, bagaimanapun, jauh lebih sulit. "Sangat sulit untuk membuat keduanya berbicara satu sama lain," kata Joel Moreira, seorang matematikawan di University of Warwick. "Memahami bagaimana penjumlahan dan perkalian berhubungan - ini, di satu sisi, hampir merupakan dasar dari semua teori bilangan."

Bahkan versi yang lebih sederhana yang pertama kali disarankan Hindman pada tahun 1970-an terbukti menantang. Dia menduga bahwa setiap pewarnaan bilangan asli harus mengandung satu set monokromatik bentuk {x, y, xy, x+y} — dua angka x dan y, serta jumlah dan produknya. “Orang-orang tidak benar-benar membuat kemajuan dalam masalah ini selama beberapa dekade,” kata Bowen. “Dan tiba-tiba, sekitar tahun 2010, orang-orang mulai membuktikan lebih banyak hal tentangnya.”

Bowen belajar tentang {x, y, xy, x+y} masalah pada tahun 2016, semester kedua kuliahnya, ketika salah satu profesornya di Universitas Carnegie Mellon menjelaskan masalah tersebut di kelas. Bowen terpesona oleh kesederhanaannya. “Ini adalah salah satu hal keren di mana rasanya, yah, saya tidak tahu banyak matematika, tapi saya bisa mengerti ini,” katanya.

Pada 2017, Moreira terbukti bahwa kamu bisa selalu temukan satu set monokromatik yang mengandung tiga dari empat elemen yang diinginkan: x, xy, dan x + y. Sementara itu, Bowen mulai mengutak-atik pertanyaan itu dengan santai selama tahun seniornya. "Saya sebenarnya tidak bisa menyelesaikan masalah," katanya. "Tapi aku akan kembali ke sana setiap enam bulan atau lebih." Setelah penampilannya yang buruk di gelar Ph.D. ujian kualifikasi pada tahun 2020, dia melipatgandakan usahanya. Beberapa hari kemudian, dia membuktikan {x, y, xy, x+y} dugaan kasus dua warna, hasil yang telah dibuktikan Ron Graham pada tahun 1970-an dengan bantuan komputer.

Dengan kesuksesan itu, Bowen bekerja sama dengan Sabok untuk memperluas hasilnya ke sejumlah warna. Tapi mereka dengan cepat terjerat dalam detail teknis. “Kompleksitas masalah semakin tidak terkendali ketika jumlah warna banyak,” kata Sabok. Selama 18 bulan, mereka berusaha melepaskan diri, dengan sedikit keberuntungan. “Selama satu setengah tahun ini, kami memiliki sekitar satu juta bukti yang salah,” kata Sabok.

Satu kesulitan khususnya membuat kedua ahli matematika itu tidak maju. Jika Anda memilih dua bilangan bulat secara acak, Anda mungkin tidak dapat membaginya. Pembagian hanya bekerja dalam kasus yang jarang terjadi di mana angka pertama adalah kelipatan dari yang kedua. Ini ternyata sangat membatasi. Dengan kesadaran itu, Bowen dan Sabok berputar untuk membuktikan {x, y, xy, x+y} dugaan dalam bilangan rasional (seperti yang disebut matematikawan sebagai pecahan). Di sana, angka dapat dibagi dengan mengabaikan.

Bukti Bowen dan Sabok paling elegan ketika semua warna yang terlibat sering muncul di seluruh bilangan rasional. Warna dapat muncul "sering" dalam beberapa cara berbeda. Mereka masing-masing mungkin mencakup potongan besar dari garis bilangan. Atau itu mungkin berarti Anda tidak dapat melakukan perjalanan terlalu jauh di sepanjang garis bilangan tanpa melihat setiap warna. Namun, biasanya warna tidak sesuai dengan aturan tersebut. Dalam kasus tersebut, Anda dapat fokus pada daerah kecil dalam bilangan rasional di mana warna lebih sering muncul, jelas Sabok. “Di sinilah sebagian besar pekerjaan datang,” katanya.

Pada bulan Oktober 2022, Bowen dan Sabok memposting bukti bahwa jika Anda mewarnai bilangan rasional dengan banyak warna, akan ada himpunan berbentuk {x, y, xy, x+y} yang semua elemennya memiliki warna yang sama. "Ini adalah bukti yang sangat pintar," kata Imre Pemimpin dari Universitas Cambridge. “Ini menggunakan hasil yang diketahui. Tapi itu menggabungkan mereka dengan cara yang sangat brilian, sangat orisinal, sangat inovatif.

Masih banyak pertanyaan. Bisa angka ketiga z ditambahkan ke koleksi, bersama dengan jumlah dan produk berikutnya? Memuaskan prediksi paling berani Hindman berarti menambahkan angka keempat, kelima, dan akhirnya banyak angka baru ke deret tersebut. Itu juga akan membutuhkan perpindahan dari rasional ke bilangan asli dan menemukan jalan keluar dari teka-teki pembagian yang menghambat upaya Bowen dan Sabok.

Pemimpin percaya bahwa dengan Moreira, Bowen dan Sabok semua bekerja pada masalah, bukti itu mungkin tidak jauh. “Orang-orang itu tampak sangat brilian dalam menemukan cara baru untuk melakukan sesuatu,” katanya. “Jadi saya agak optimis bahwa mereka atau beberapa rekan mereka dapat menemukannya.”

Sabok lebih berhati-hati dalam ramalannya. Tapi dia tidak mengesampingkan apa pun. “Salah satu pesona matematika adalah sebelum Anda mendapatkan bukti, semuanya mungkin terjadi,” katanya.