Pengantar
Selama berabad-abad, matematikawan telah berusaha memahami dan memodelkan gerakan fluida. Persamaan yang menggambarkan bagaimana riak-riak permukaan kolam juga telah membantu para peneliti memprediksi cuaca, merancang pesawat terbang yang lebih baik, dan mencirikan bagaimana darah mengalir melalui sistem peredaran darah. Persamaan ini tampak sederhana ketika ditulis dalam bahasa matematika yang benar. Namun, solusi mereka sangat rumit sehingga membuat pertanyaan dasar tentang mereka bisa menjadi sangat sulit.
Mungkin yang tertua dan paling menonjol dari persamaan ini, dirumuskan oleh Leonhard Euler lebih dari 250 tahun yang lalu, menggambarkan aliran fluida ideal yang tidak dapat dimampatkan: fluida tanpa viskositas, atau gesekan internal, yang tidak dapat dipaksa menjadi volume yang lebih kecil. “Hampir semua persamaan fluida nonlinear berasal dari persamaan Euler,” kata Tarek Elgindi, seorang matematikawan di Duke University. "Mereka yang pertama, bisa dibilang."
Namun masih banyak yang tidak diketahui tentang persamaan Euler — termasuk apakah persamaan tersebut selalu merupakan model aliran fluida ideal yang akurat. Salah satu masalah utama dalam dinamika fluida adalah mencari tahu apakah persamaan tersebut pernah gagal, menghasilkan nilai yang tidak masuk akal yang membuatnya tidak dapat memprediksi keadaan fluida di masa depan.
Matematikawan telah lama menduga bahwa terdapat kondisi awal yang menyebabkan persamaan rusak. Tapi mereka belum bisa membuktikannya.
In pracetak diposting online bulan lalu, sepasang matematikawan telah menunjukkan bahwa versi tertentu dari persamaan Euler terkadang gagal. Pembuktiannya menandai terobosan besar — dan meskipun tidak sepenuhnya menyelesaikan masalah untuk versi persamaan yang lebih umum, ia menawarkan harapan bahwa solusi semacam itu pada akhirnya dapat dijangkau. “Ini hasil yang luar biasa,” kata Tristan Buckmaster, seorang ahli matematika di University of Maryland yang tidak terlibat dalam pekerjaan tersebut. "Tidak ada hasil dari jenisnya dalam literatur."
Hanya ada satu tangkapan.
Bukti setebal 177 halaman — hasil dari program penelitian selama satu dekade — memanfaatkan komputer secara signifikan. Ini bisa dibilang menyulitkan matematikawan lain untuk memverifikasinya. (Faktanya, mereka masih dalam proses melakukannya, meskipun banyak ahli percaya bahwa karya baru itu akan menjadi benar.) Ini juga memaksa mereka untuk memperhitungkan pertanyaan filosofis tentang apa itu "bukti", dan apa yang akan terjadi. berarti jika satu-satunya cara yang layak untuk memecahkan pertanyaan penting seperti itu adalah dengan bantuan komputer.
Melihat Binatang itu
Pada prinsipnya, jika Anda mengetahui lokasi dan kecepatan setiap partikel dalam suatu fluida, persamaan Euler seharusnya dapat memprediksi bagaimana fluida akan berevolusi sepanjang waktu. Tetapi ahli matematika ingin tahu apakah itu yang sebenarnya terjadi. Mungkin dalam beberapa situasi, persamaan akan berjalan seperti yang diharapkan, menghasilkan nilai yang tepat untuk keadaan fluida pada saat tertentu, hanya untuk salah satu dari nilai tersebut tiba-tiba meroket hingga tak terhingga. Pada saat itu, persamaan Euler dikatakan memunculkan "singularitas" - atau, lebih dramatis, "meledak".
Begitu mereka mencapai singularitas itu, persamaan tidak lagi dapat menghitung aliran fluida. Tetapi “sejak beberapa tahun yang lalu, apa yang dapat dilakukan orang-orang sangat, sangat jauh dari [membuktikan ledakan],” kata Charlie Fefferman, seorang matematikawan di Princeton University.
Ini menjadi lebih rumit jika Anda mencoba memodelkan cairan yang memiliki viskositas (seperti yang dilakukan hampir semua cairan di dunia nyata). Hadiah Milenium jutaan dolar dari Institut Matematika Tanah Liat menunggu siapa pun yang dapat membuktikan apakah kegagalan serupa terjadi dalam persamaan Navier-Stokes, generalisasi persamaan Euler yang memperhitungkan viskositas.
Dalam 2013, Thomas Hou, seorang matematikawan di California Institute of Technology, dan Guo Luo, sekarang di Universitas Hang Seng Hong Kong, mengusulkan sebuah skenario di mana persamaan Euler akan menghasilkan singularitas. Mereka mengembangkan simulasi komputer dari cairan dalam silinder yang bagian atasnya berputar searah jarum jam sementara bagian bawahnya berputar berlawanan arah jarum jam. Saat mereka menjalankan simulasi, arus yang lebih rumit mulai bergerak naik dan turun. Itu, pada gilirannya, menyebabkan perilaku aneh di sepanjang batas silinder tempat aliran yang berlawanan bertemu. Pusaran fluida - ukuran rotasi - tumbuh begitu cepat sehingga tampak siap untuk meledak.
Pekerjaan Hou dan Luo adalah sugestif, tapi bukan bukti yang sebenarnya. Itu karena komputer tidak mungkin menghitung nilai tak terhingga. Itu bisa sangat dekat untuk melihat singularitas, tetapi sebenarnya tidak dapat mencapainya - artinya solusinya mungkin sangat akurat, tetapi masih merupakan perkiraan. Tanpa dukungan bukti matematis, nilai vortisitas mungkin tampak meningkat hingga tak terhingga karena beberapa artefak simulasi. Solusinya mungkin malah tumbuh menjadi jumlah yang sangat besar sebelum mereda lagi.
Pembalikan seperti itu telah terjadi sebelumnya: Sebuah simulasi akan menunjukkan bahwa nilai dalam persamaan meledak, hanya untuk metode komputasi yang lebih canggih untuk menunjukkan sebaliknya. “Masalah-masalah ini sangat rumit sehingga jalan dipenuhi puing-puing simulasi sebelumnya,” kata Fefferman. Faktanya, begitulah cara Hou memulai di bidang ini: Beberapa hasil awalnya menyangkal pembentukan singularitas hipotetis.
Namun, ketika dia dan Luo menerbitkan solusi mereka, sebagian besar matematikawan mengira itu kemungkinan besar adalah singularitas sejati. “Itu sangat teliti, sangat tepat,” kata Vladimir Sverak, seorang matematikawan di University of Minnesota. “Mereka benar-benar berusaha keras untuk memastikan bahwa ini adalah skenario nyata.” Pekerjaan selanjutnya oleh Elgindi, Sverak dan lainnya hanya memperkuat keyakinan itu.
Tapi buktinya sulit dipahami. "Anda telah melihat binatang itu," kata Fefferman. "Lalu kamu mencoba untuk menangkapnya." Itu berarti menunjukkan bahwa solusi perkiraan yang disimulasikan dengan hati-hati oleh Hou dan Luo, dalam arti matematika tertentu, sangat, sangat dekat dengan solusi eksak dari persamaan.
Sekarang, sembilan tahun setelah penampakan pertama itu, Hou dan mantan mahasiswa pascasarjananya Jijie Chen akhirnya berhasil membuktikan keberadaan singularitas terdekat itu.
Pindah ke Tanah Serupa Diri
Hou, yang kemudian bergabung dengan Chen, memanfaatkan fakta bahwa, setelah dianalisis lebih dekat, perkiraan solusi dari tahun 2013 tampaknya memiliki struktur khusus. Saat persamaan berevolusi dari waktu ke waktu, solusinya menampilkan apa yang disebut pola serupa diri: Bentuknya kemudian sangat mirip dengan bentuk sebelumnya, hanya diskalakan ulang dengan cara tertentu.
Akibatnya, para matematikawan tidak perlu mencoba melihat singularitas itu sendiri. Sebaliknya, mereka dapat mempelajarinya secara tidak langsung dengan berfokus pada titik waktu sebelumnya. Dengan memperbesar bagian solusi tersebut pada kecepatan yang tepat — ditentukan berdasarkan struktur solusi yang serupa — mereka dapat memodelkan apa yang akan terjadi di kemudian hari, termasuk pada singularitas itu sendiri.
Butuh beberapa tahun bagi mereka untuk menemukan analog yang mirip dengan skenario ledakan tahun 2013. (Awal tahun ini, tim matematikawan lain, termasuk Buckmaster, menggunakan metode berbeda untuk menemukan solusi perkiraan yang serupa. Mereka saat ini menggunakan solusi itu untuk mengembangkan bukti independen dari pembentukan singularitas.)
Dengan perkiraan solusi serupa diri di tangan, Hou dan Chen perlu menunjukkan bahwa solusi yang tepat ada di dekatnya. Secara matematis, ini sama dengan membuktikan bahwa perkiraan solusi mirip diri mereka stabil — bahkan jika Anda sedikit mengganggunya dan kemudian mengembangkan persamaan mulai dari nilai yang terganggu tersebut, tidak akan ada cara untuk melarikan diri dari lingkungan kecil di sekitar solusi perkiraan. "Ini seperti lubang hitam," kata Hou. “Jika Anda memulai dengan profil yang dekat, Anda akan tersedot.”
Tetapi memiliki strategi umum hanyalah satu langkah menuju solusi. "Detail yang cerewet itu penting," kata Fefferman. Saat Hou dan Chen menghabiskan beberapa tahun berikutnya untuk mengerjakan perincian itu, mereka menemukan bahwa mereka harus bergantung pada komputer sekali lagi — tetapi kali ini dengan cara yang sama sekali baru.
Pendekatan Hibrid
Di antara tantangan pertama mereka adalah menemukan pernyataan persis yang harus mereka buktikan. Mereka ingin menunjukkan bahwa jika mereka mengambil kumpulan nilai apa pun yang mendekati solusi perkiraan mereka dan memasukkannya ke dalam persamaan, hasilnya tidak akan bisa menyimpang jauh. Tapi apa artinya input menjadi "dekat" dengan solusi perkiraan? Mereka harus menentukan ini dalam pernyataan matematis — tetapi ada banyak cara untuk mendefinisikan pengertian jarak dalam konteks ini. Agar pembuktian mereka berhasil, mereka harus memilih yang benar.
“Itu harus mengukur efek fisik yang berbeda,” kata Rafael de la Llave, seorang matematikawan di Georgia Institute of Technology. “Jadi perlu dipilih menggunakan pemahaman yang mendalam tentang masalah.”
Begitu mereka memiliki cara yang tepat untuk mendeskripsikan "kedekatan", Hou dan Chen harus membuktikan pernyataan tersebut, yang bermuara pada ketidaksetaraan rumit yang melibatkan suku-suku dari persamaan yang diskalakan ulang dan solusi perkiraan. Para matematikawan harus memastikan bahwa nilai dari semua suku tersebut seimbang dengan sesuatu yang sangat kecil: Jika satu nilai akhirnya menjadi besar, nilai lainnya harus negatif atau tetap terkendali.
"Jika Anda membuat sesuatu yang terlalu besar atau terlalu kecil, semuanya akan rusak," kata Javier Gomez-Serrano, seorang matematikawan di Brown University. "Jadi ini pekerjaan yang sangat, sangat hati-hati, dan rumit."
“Ini pertarungan yang sangat sengit,” tambah Elgindi.
Untuk mendapatkan batasan ketat yang mereka butuhkan dalam semua istilah yang berbeda ini, Hou dan Chen memecah ketidaksetaraan menjadi dua bagian utama. Mereka dapat menangani bagian pertama dengan tangan, dengan teknik termasuk yang berasal dari abad ke-18, ketika ahli matematika Prancis Gaspard Monge mencari cara optimal untuk mengangkut tanah guna membangun benteng bagi pasukan Napoleon. "Hal-hal seperti ini telah dilakukan sebelumnya, tetapi saya menemukan bahwa [Hou dan Chen] menggunakannya untuk ini," kata Fefferman.
Itu meninggalkan bagian kedua dari ketidaksetaraan. Mengatasinya akan membutuhkan bantuan komputer. Sebagai permulaan, ada begitu banyak perhitungan yang perlu dilakukan, dan begitu banyak ketelitian yang dibutuhkan, sehingga “jumlah pekerjaan yang harus Anda lakukan dengan pensil dan kertas akan sangat mengejutkan,” kata de la Llave. Untuk menyeimbangkan berbagai istilah, matematikawan harus melakukan serangkaian masalah pengoptimalan yang relatif mudah untuk komputer tetapi sangat memakan waktu bagi manusia. Beberapa nilai juga bergantung pada kuantitas dari solusi perkiraan; karena dihitung menggunakan komputer, lebih mudah juga menggunakan komputer untuk melakukan perhitungan tambahan ini.
“Jika Anda mencoba melakukan beberapa perkiraan ini secara manual, Anda mungkin akan melebih-lebihkan di beberapa titik, dan kemudian Anda kalah,” kata Gómez-Serrano. “Jumlahnya sangat kecil dan rapat… dan marginnya sangat tipis.”
Tetapi karena komputer tidak dapat memanipulasi jumlah digit yang tidak terbatas, kesalahan kecil pasti terjadi. Hou dan Chen harus hati-hati melacak kesalahan itu, untuk memastikan mereka tidak mengganggu tindakan penyeimbangan lainnya.
Pada akhirnya, mereka dapat menemukan batasan untuk semua suku, melengkapi pembuktian: Persamaan memang menghasilkan singularitas.
Bukti oleh Komputer
Masih terbuka apakah persamaan yang lebih rumit — persamaan Euler tanpa adanya batas silinder dan persamaan Navier-Stokes — dapat mengembangkan singularitas. “Tapi [pekerjaan ini] setidaknya memberi saya harapan,” kata Hou. "Saya melihat jalan ke depan, cara untuk mungkin bahkan pada akhirnya menyelesaikan masalah Milenium sepenuhnya."
Sementara itu, Buckmaster dan Gómez-Serrano sedang mengerjakan bukti bantuan komputer mereka sendiri — yang mereka harap akan lebih umum, dan karena itu mampu mengatasi tidak hanya masalah yang dipecahkan Hou dan Chen, tetapi juga banyak masalah lainnya.
Upaya ini menandai tren yang berkembang di bidang dinamika fluida: penggunaan komputer untuk memecahkan masalah penting.
“Di sejumlah bidang matematika yang berbeda, hal itu semakin sering terjadi,” kata Susan Friedlander, seorang matematikawan di University of Southern California.
Namun dalam mekanika fluida, pembuktian dengan bantuan komputer masih merupakan teknik yang relatif baru. Bahkan, ketika sampai pada pernyataan tentang pembentukan singularitas, bukti Hou dan Chen adalah yang pertama dari jenisnya: Bukti bantuan komputer sebelumnya hanya mampu mengatasi masalah mainan di area tersebut.
Bukti seperti itu tidak terlalu kontroversial seperti yang dikatakan "masalah selera". Petrus Konstantin dari Universitas Princeton. Matematikawan umumnya setuju bahwa bukti harus meyakinkan matematikawan lain bahwa beberapa garis penalaran itu benar. Tapi, banyak yang berpendapat, itu juga harus meningkatkan pemahaman mereka tentang mengapa pernyataan tertentu itu benar, daripada sekadar memberikan validasi bahwa itu benar. "Apakah kita mempelajari sesuatu yang baru secara fundamental, atau apakah kita hanya tahu jawaban atas pertanyaan itu?" ujar Elgindi. "Jika Anda memandang matematika sebagai seni, maka ini tidak begitu menyenangkan secara estetika."
“Komputer dapat membantu. Ini luar biasa. Itu memberi saya wawasan. Tapi itu tidak memberi saya pemahaman penuh,” tambah Constantin. “Pengertian datang dari kami.”
Sementara itu, Elgindi masih berharap untuk menemukan bukti ledakan alternatif sepenuhnya dengan tangan. "Secara keseluruhan saya senang ini ada," katanya tentang karya Hou dan Chen. “Tapi saya menganggapnya lebih sebagai motivasi untuk mencoba melakukannya dengan cara yang tidak terlalu bergantung pada komputer.”
Matematikawan lain memandang komputer sebagai alat vital baru yang memungkinkan untuk menyerang masalah yang sebelumnya sulit diselesaikan. “Kini pekerjaan tidak lagi hanya kertas dan pensil,” kata Chen. "Kamu memiliki pilihan untuk menggunakan sesuatu yang lebih kuat."
Menurut dia dan orang lain (termasuk Elgindi, terlepas dari preferensi pribadinya untuk menulis bukti dengan tangan), ada kemungkinan bagus bahwa satu-satunya cara untuk menyelesaikan masalah besar dalam dinamika fluida — yaitu, masalah yang melibatkan persamaan yang semakin rumit — mungkin mengandalkan sangat bergantung pada bantuan komputer. “Bagi saya, mencoba melakukan ini tanpa banyak menggunakan bukti bantuan komputer seperti mengikat satu atau mungkin dua tangan di belakang punggung Anda,” kata Fefferman.
Jika itu benar-benar terjadi dan “Anda tidak punya pilihan,” kata Elgindi, “maka orang-orang … seperti saya, yang akan mengatakan bahwa ini kurang optimal, harus diam.” Itu juga berarti bahwa lebih banyak ahli matematika perlu mulai mempelajari keterampilan yang diperlukan untuk menulis bukti dengan bantuan komputer - sesuatu yang diharapkan akan menginspirasi karya Hou dan Chen. “Saya pikir ada banyak orang yang hanya menunggu seseorang untuk menyelesaikan masalah seperti itu sebelum menginvestasikan waktu mereka untuk pendekatan ini,” kata Buckmaster.
Yang mengatakan, ketika datang ke perdebatan tentang sejauh mana ahli matematika harus bergantung pada komputer, "Anda tidak perlu memihak," kata Gómez-Serrano. “Bukti [Hou dan Chen] tidak akan bekerja tanpa analisis, dan bukti tidak akan bekerja tanpa bantuan komputer. … Saya pikir nilainya adalah orang dapat berbicara dalam dua bahasa.”
Dengan itu, de la Llave berkata, "ada permainan baru di kota."
