Algoritma Klasik yang Efisien Untuk Mensimulasikan Sistem Kuantum Simetris

Diterbitkan Ulang Oleh Plato

Followers: 0

Eric R. Anschuetz¹, Andreas Bauer², Bobak T.Kiani³, dan Seth Lloyd^4,5

¹Pusat Fisika Teoritis MIT, 77 Massachusetts Avenue, Cambridge, MA 02139, AS
²Pusat Sistem Kuantum Kompleks Dahlem, Freie Universität Berlin, Arnimallee 14, 14195 Berlin, Jerman
³Departemen Teknik Elektro dan Ilmu Komputer MIT, 77 Massachusetts Avenue, Cambridge, MA 02139, AS
⁴Departemen Teknik Mesin MIT, 77 Massachusetts Avenue, Cambridge, MA 02139, AS
⁵Turing Inc., Cambridge, MA 02139, AS

Apakah makalah ini menarik atau ingin dibahas? Scite atau tinggalkan komentar di SciRate.

Abstrak

Mengingat algoritma kuantum yang diusulkan baru-baru ini yang menggabungkan simetri dengan harapan mendapatkan keuntungan kuantum, kami menunjukkan bahwa dengan simetri yang cukup membatasi, algoritma klasik dapat secara efisien meniru rekan-rekan kuantumnya dengan memberikan deskripsi klasik tertentu tentang masukannya. Secara khusus, kami memberikan algoritme klasik yang menghitung keadaan dasar dan nilai ekspektasi yang berevolusi terhadap waktu untuk Hamiltonian invarian permutasi yang ditentukan dalam basis Pauli yang disimetriskan dengan polinomial runtime dalam ukuran sistem. Kami menggunakan metode jaringan tensor untuk mengubah operator ekuivalen simetri ke basis Schur blok-diagonal yang berukuran polinomial, dan kemudian melakukan perkalian atau diagonalisasi matriks yang tepat dalam basis ini. Metode-metode ini dapat disesuaikan dengan berbagai status masukan dan keluaran termasuk yang ditentukan dalam basis Schur, sebagai status produk matriks, atau sebagai status kuantum sembarang ketika diberi kemampuan untuk menerapkan rangkaian kedalaman rendah dan pengukuran qubit tunggal.

Algoritma klasik yang efisien untuk mensimulasikan sistem kuantum simetris PlatoBlockchain Data Intelligence. Pencarian Vertikal. Ai.

Gambar unggulan: Kelompok simetri kecil menyisakan dimensi efektif yang terlalu besar sehingga masalahnya tidak dapat diselesaikan melalui komputasi kuantum. Sebaliknya, kesimetrian yang sangat membatasi menjadikan suatu masalah dapat diselesaikan secara klasik. Di antara kedua wilayah ini terdapat peluang di mana komputer kuantum dapat menawarkan keuntungan.

Ringkasan populer

Kami menyelidiki apakah kehadiran simetri dalam sistem kuantum dapat membuatnya lebih mudah dianalisis dengan algoritma klasik. Kami menunjukkan bahwa algoritma klasik dapat secara efisien menghitung berbagai sifat statis dan dinamis model kuantum dengan kelompok simetri besar; kami fokus pada grup permutasi sebagai contoh spesifik dari grup simetri tersebut. Algoritme kami, yang berjalan dalam polinomial waktu dalam ukuran sistem dan dapat beradaptasi dengan berbagai masukan keadaan kuantum, menantang persepsi perlunya menggunakan komputasi kuantum untuk mempelajari model-model ini dan membuka jalan baru untuk menggunakan komputasi klasik untuk mempelajari sistem kuantum.

► data BibTeX

@article{Anschuetz2023efisienklasik, doi = {10.22331/q-2023-11-28-1189}, url = {https://doi.org/10.22331/q-2023-11-28-1189}, title = {Klasik yang efisien algoritma untuk simulasi sistem kuantum simetris}, penulis = {Anschuetz, Eric R. dan Bauer, Andreas dan Kiani, Bobak T. dan Lloyd, Seth}, jurnal = {{Quantum}}, issn = {2521-327X}, penerbit = {{Verein zur F{“{o}}rderung des Open Access Publizierens in den Quantenwissenschaften}}, volume = {7}, halaman = {1189}, bulan = nov, tahun = {2023} }

► Referensi

[1] Hans Bethe. “Zur theorie der metalle”. Z.Fisika. 71, 205–226 (1931).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF01341708

[2] M.A.Levin dan X.-G. Wen. “Kondensasi string-net: Mekanisme fisik untuk fase topologi”. Fis. Pdt. B 71, 045110 (2005).
https:///doi.org/10.1103/PhysRevB.71.045110

[3] A A. Belavin, A.M. Polyakov, dan A.B. Zamolodchikov. “Simetri konformal tak terbatas dalam teori medan kuantum dua dimensi”. inti. Fis. B 241, 333–380 (1984).
https://doi.org/10.1016/0550-3213(84)90052-X

[4] Louis Schatzki, Martin Larocca, Quynh T. Nguyen, Frederic Sauvage, dan M. Cerezo. “Jaminan teoretis untuk jaringan saraf kuantum ekivalen permutasi” (2022). arXiv:2210.09974.
arXiv: 2210.09974

[5] Shouzhen Gu, Rolando D. Somma, dan Burak Şahinoğlu. “Evolusi kuantum yang maju cepat”. Kuantum 5, 577 (2021).
https://doi.org/10.22331/q-2021-11-15-577

[6] Roeland Wiersema, Cunlu Zhou, Yvette de Sereville, Juan Felipe Carrasquilla, Yong Baek Kim, dan Henry Yuen. “Menjelajahi keterjeratan dan optimalisasi dalam ansatz variasional Hamiltonian”. PRX Kuantum 1, 020319 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.1.020319

[7] Eric Ricardo Anschuetz. “Titik kritis dalam model generatif kuantum”. Dalam Konferensi Internasional tentang Representasi Pembelajaran. (2022). url: https:///openreview.net/forum?id=2f1z55GVQN.
https:///openreview.net/forum?id=2f1z55GVQN

[8] Rolando Somma, Howard Barnum, Gerardo Ortiz, dan Emanuel Knill. “Solvabilitas yang efisien bagi warga Hamilton dan batasan kekuatan beberapa model komputasi kuantum”. Fis. Pendeta Lett. 97, 190501 (2006).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.97.190501

[9] Robert Zeier dan Thomas Schulte-Herbrüggen. “Prinsip simetri dalam teori sistem kuantum”. J.Matematika. Fis. 52, 113510 (2011).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.3657939

[10] Xuchen You, Shouvanik Chakrabarti, dan Xiaodi Wu. “Teori konvergensi untuk pemecah eigen kuantum variasional dengan parameter berlebihan” (2022). arXiv:2205.12481.
arXiv: 2205.12481

[11] Eric R. Anschuetz dan Bobak T. Kiani. “Algoritme variasi kuantum dibanjiri dengan jebakan”. Nat. Komunitas. 13, 7760 (2022).
https://doi.org/10.1038/s41467-022-35364-5

[12] Grecia Castelazo, Quynh T. Nguyen, Giacomo De Palma, Dirk Englund, Seth Lloyd, dan Bobak T. Kiani. “Algoritme kuantum untuk konvolusi grup, korelasi silang, dan transformasi ekuivalen”. Fis. Pdt.A 106, 032402 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.106.032402

[13] Johannes Jakob Meyer, Marian Mularski, Elies Gil-Fuster, Antonio Anna Mele, Francesco Arzani, Alissa Wilms, dan Jens Eisert. “Memanfaatkan simetri dalam pembelajaran mesin kuantum variasional” (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.4.010328

[14] Martín Larocca, Frédéric Sauvage, Faris M. Sbahi, Guillaume Verdon, Patrick J. Coles, dan M. Cerezo. “Pembelajaran mesin kuantum invarian kelompok”. PRX Kuantum 3, 030341 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.3.030341

[15] Michael Ragone, Paolo Braccia, Quynh T Nguyen, Louis Schatzki, Patrick J Coles, Frederic Sauvage, Martin Larocca, dan M Cerezo. “Teori representasi untuk pembelajaran mesin kuantum geometris” (2022). arXiv:2210.07980.
arXiv: 2210.07980

[16] Michael M. Bronstein, Joan Bruna, Yann LeCun, Arthur Szlam, dan Pierre Vandergheynst. “Pembelajaran mendalam geometris: Melampaui data Euclidean”. Proses Sinyal IEEE. Mag. 34, 18–42 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1109 / MSP.2017.2693418

[17] Zonghan Wu, Shirui Pan, Fengwen Chen, Guodong Long, Chengqi Zhang, dan Philip S. Yu. “Survei komprehensif tentang jaringan saraf grafik”. IEEE Trans. Jaringan Syaraf. Mempelajari. sistem. 32, 4–24 (2021).
https:///doi.org/10.1109/TNNLS.2020.2978386

[18] Taco Cohen dan Max Welling. “Grup jaringan konvolusional ekivalen”. Dalam Maria Florina Balcan dan Kilian Q. Weinberger, editor, Prosiding Konferensi Internasional ke-33 tentang Pembelajaran Mesin. Volume 48 Prosiding Penelitian Pembelajaran Mesin, halaman 2990–2999. New York, New York, AS (2016). PMLR. url: https:///proceedings.mlr.press/v48/cohenc16.html.
https:///proceedings.mlr.press/v48/cohenc16.html

[19] Peter J. Olver. “Teori invarian klasik”. Teks Mahasiswa Masyarakat Matematika London. Pers Universitas Cambridge. Cambridge, Inggris (1999).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511623660

[20] Bernd Sturmfels. “Algoritma dalam teori invarian”. Teks & Monograf dalam Perhitungan Simbolik. Springer Wina. Wina, Austria (2008).
https://doi.org/10.1007/978-3-211-77417-5

[21] Ran Duan, Hongxun Wu, dan Renfei Zhou. “Perkalian matriks lebih cepat melalui hashing asimetris” (2022). arXiv:2210.10173.
arXiv: 2210.10173

[22] James Demmel, Ioana Dumitriu, dan Olga Holtz. “Aljabar linier cepat itu stabil”. Angka. Matematika. 108, 59–91 (2007).
https: / / doi.org/ 10.1007 / s00211-007-0114-x

[23] Barbara M. Terhal dan David P. DiVincenzo. "Simulasi klasik rangkaian kuantum fermion noninteraksi". Fis. Pdt.A 65, 032325 (2002).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.65.032325

[24] Nathan Shammah, Shahnawaz Ahmed, Neill Lambert, Simone De Liberato, dan Franco Nori. “Sistem kuantum terbuka dengan proses inkoheren lokal dan kolektif: Simulasi numerik yang efisien menggunakan invarian permutasional”. Fis. Pdt.A 98, 063815 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.98.063815

[25] Guang Hao Rendah. “Bayangan klasik fermion dengan simetri nomor partikel” (2022). arXiv:2208.08964.
arXiv: 2208.08964

[26] Dave Bacon, Isaac L. Chuang, dan Aram W. Harrow. “Sirkuit kuantum yang efisien untuk transformasi Schur dan Clebsch-Gordan”. Fis. Pendeta Lett. 97, 170502 (2006).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.97.170502

[27] Dave Bacon, Isaac L. Chuang, dan Aram W. Harrow. “Transformasi Schur kuantum: I. sirkuit qudit yang efisien” (2006). arXiv:quant-ph/0601001.
arXiv: quant-ph / 0601001

[28] William M. Kirby dan Frederick W. Strauch. “Algoritma kuantum praktis untuk transformasi Schur”. Info Kuantum. Hitung. 18, 721–742 (2018). url: https:///dl.acm.org/doi/10.5555/3370214.3370215.
https: / / dl.acm.org/ doi / 10.5555 / 3370214.3370215

[29] Michael Gegg dan Marten Richter. “Pendekatan numerik yang efisien dan tepat untuk banyak sistem multi-level dalam sistem terbuka CQED”. J.Fisika baru. 18, 043037 (2016).
https://doi.org/10.1088/1367-2630/18/4/043037

[30] Hsin-Yuan Huang, Richard Kueng, and John Preskill. "Memprediksi banyak properti sistem kuantum dari pengukuran yang sangat sedikit". Nat. Fisika. 16, 1050–1057 (2020).
https://doi.org/10.1038/s41567-020-0932-7

[31] Yunchao Liu, Srinivasan Arunachalam, dan Kristan Temme. “Percepatan kuantum yang ketat dan kuat dalam pembelajaran mesin yang diawasi”. Nat. Fis. 17, 1013–1017 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1038 / s41567-021-01287-z

[32] Jarrod R McClean, Sergio Boixo, Vadim N Smelyanskiy, Ryan Babbush, dan Hartmut Neven. “Dataran tinggi tandus dalam lanskap pelatihan jaringan saraf kuantum”. Nat. Komunitas. 9, 4812 (2018).
https://doi.org/10.1038/s41467-018-07090-4

[33] Marco Cerezo, Akira Sone, Tyler Volkoff, Lukasz Cincio, dan Patrick J Coles. “Dataran tinggi tandus yang bergantung pada fungsi biaya di sirkuit kuantum berparametri dangkal”. Nat. Komunitas. 12 Agustus 1791–1802 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1038 / s41467-021-21728-w

[34] Carlos Ortiz Marrero, Mária Kieferová, dan Nathan Wiebe. "Dataran tinggi tandus yang diinduksi keterikatan". PRX Quantum 2, 040316 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040316

[35] John Napp. “Mengukur fenomena dataran tinggi tandus untuk model variasional tidak terstruktur” (2022). arXiv:2203.06174.
arXiv: 2203.06174

[36] Martin Larocca, Piotr Czarnik, Kunal Sharma, Gopikrishnan Muraleedharan, Patrick J. Coles, dan M. Cerezo. “Mendiagnosis dataran tinggi tandus dengan alat dari kontrol optimal kuantum”. Kuantum 6, 824 (2022).
https://doi.org/10.22331/q-2022-09-29-824

[37] Martin Larocca, Nathan Ju, Diego García-Martín, Patrick J. Coles, dan M. Cerezo. “Teori overparametrisasi dalam jaringan saraf kuantum” (2021).
https://doi.org/10.1038/s43588-023-00467-6

[38] Bradley A. Chase dan JM Geremia. “Proses kolektif dari kumpulan partikel spin-$1/2$”. Fis. Pdt.A 78, 052101 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.78.052101

[39] Peter Kirton dan Jonathan Keeling. “Keadaan superradian dan penguat dalam model Dicke yang didorong-disipatif”. J.Fisika baru. 20, 015009 (2018).
https:///doi.org/10.1088/1367-2630/aaa11d

[40] Athreya Shankar, John Cooper, Justin G. Bohnet, John J. Bollinger, dan Murray Holland. “Sinkronisasi putaran keadaan tunak melalui gerakan kolektif ion-ion yang terperangkap”. Fis. Pdt.A 95, 033423 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.95.033423

[41] Ryszard Horodecki, Paweł Horodecki, Michał Horodecki, dan Karol Horodecki. "Keterikatan kuantum". Pendeta Mod. Fisika. 81, 865–942 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.81.865

[42] Zheshen Zhang dan Quntao Zhuang. “Penginderaan kuantum terdistribusi”. Ilmu Pengetahuan Kuantum. Teknologi. 6, 043001 (2021).
https://doi.org/10.1088/2058-9565/abd4c3

[43] Robert Alicki, Sławomir Rudnicki, dan Sławomir Sadowski. “Sifat simetri keadaan produk untuk sistem atom tingkat N n”. J.Matematika. Fis. 29, 1158–1162 (1988).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.527958

[44] Ryan O'Donnell dan John Wright. “Mempelajari dan menguji keadaan kuantum melalui kombinatorik probabilistik dan teori representasi”. Saat ini. Dev. Matematika. 2021, 43–94 (2021).
https://doi.org/10.4310/CDM.2021.v2021.n1.a2

[45] Andrew M. Childs, Aram W. Harrow, dan Paweł Wocjan. “Pengambilan sampel Fourier-Schur yang lemah, masalah subgrup tersembunyi, dan masalah tumbukan kuantum”. Dalam Wolfgang Thomas dan Pascal Weil, editor, STACS 2007. Halaman 598–609. Berlin (2007). Pegas Berlin Heidelberg.
https://doi.org/10.1007/978-3-540-70918-3_51

[46] Dorit Aharonov dan Sandy Irani. “Kompleksitas Hamilton dalam batas termodinamika”. Dalam Stefano Leonardi dan Anupam Gupta, editor, Prosiding Simposium ACM SIGACT Tahunan ke-54 tentang Teori Komputasi. Halaman 750–763. STOC 2022New York (2022). Asosiasi Mesin Komputasi.
https: / / doi.org/ 10.1145 / 3519935.3520067

[47] James D. Watson dan Toby S. Cubitt. “Kompleksitas komputasi masalah kepadatan energi keadaan dasar”. Dalam Stefano Leonardi dan Anupam Gupta, editor, Prosiding Simposium ACM SIGACT Tahunan ke-54 tentang Teori Komputasi. Halaman 764–775. STOC 2022New York (2022). Asosiasi Mesin Komputasi.
https: / / doi.org/ 10.1145 / 3519935.3520052

[48] Eric R. Anschuetz, Hong-Ye Hu, Jin-Long Huang, dan Xun Gao. “Keuntungan kuantum yang dapat ditafsirkan dalam pembelajaran urutan saraf”. PRX Kuantum 4, 020338 (2023).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.4.020338

[49] Jin-Quan Chen, Jialun Ping, dan Fan Wang. “Teori representasi kelompok untuk fisikawan”. Penerbitan Ilmiah Dunia. Singapura (2002). edisi ke-2.
https: / / doi.org/ 10.1142 / 5019

[50] OEIS Foundation Inc. “Ensiklopedia On-Line Barisan Integer” (2022). Diterbitkan secara elektronik di http:///oeis.org, Urutan A000292.
http:///oeis.org

[51] William Fulton. "Tableaux muda: Dengan aplikasi pada teori representasi dan geometri". Teks Mahasiswa Masyarakat Matematika London. Pers Universitas Cambridge. Cambridge, Inggris (1996).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511626241

[52] Kenneth R Davidson. “C*-aljabar dengan contoh”. Jilid 6 Monograf Fields Institute. Masyarakat Matematika Amerika. Ann Arbor, AS (1996). url: https:///bookstore.ams.org/fim-6.
https:///bookstore.ams.org/fim-6

[53] Giulio Racah. “Teori spektrum kompleks. II”. Fis. Wahyu 62, 438–462 (1942).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRev.62.438

[54] Vojtěch Havlíček dan Sergii Strelchuk. “Sirkuit pengambilan sampel Quantum Schur dapat disimulasikan dengan kuat”. Fis. Pendeta Lett. 121, 060505 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.121.060505

[55] RH Dicky. "Koherensi dalam proses radiasi spontan". fisik Wahyu 93, 99–110 (1954).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRev.93.99

[56] Andreas Bärtschi dan Stephan Eidenbenz. “Persiapan deterministik negara bagian Dicke”. Dalam Leszek Antoni Gąsieniec, Jesper Jansson, dan Christos Levcopoulos, editor, Fundamentals of Computation Theory. Halaman 126–139. Cham (2019). Penerbitan Internasional Springer.
https://doi.org/10.1007/978-3-030-25027-0_9

[57] N.J. Vilenkin dan A.U. Klimyk. “Representasi kelompok Kebohongan dan fungsi khusus”. Jilid 3. Pegas Dordrecht. Dordrecht, Belanda (1992).
https://doi.org/10.1007/978-94-017-2885-0

Dikutip oleh

[1] Matthew L. Goh, Martin Larocca, Lukasz Cincio, M. Cerezo, dan Frédéric Sauvage, “Simulasi klasik aljabar Lie untuk komputasi kuantum variasional”, arXiv: 2308.01432, (2023).

[2] Caleb Rotello, Eric B. Jones, Peter Graf, dan Eliot Kapit, “Deteksi otomatis subruang yang dilindungi simetri dalam simulasi kuantum”, Penelitian Tinjauan Fisik 5 3, 033082 (2023).

[3] Tobias Haug dan M. S. Kim, “Generalisasi dengan geometri kuantum untuk kesatuan pembelajaran”, arXiv: 2303.13462, (2023).

[4] Jamie Heredge, Charles Hill, Lloyd Hollenberg, dan Martin Sevior, “Pengkodean Invarian Permutasi untuk Pembelajaran Mesin Kuantum dengan Data Point Cloud”, arXiv: 2304.03601, (2023).

[5] Léo Monbroussou, Jonas Landman, Alex B. Grilo, Romain Kukla, dan Elham Kashefi, “Kemampuan Pelatihan dan Ekspresivitas Sirkuit Kuantum Pelestarian Berat Hamming untuk Pembelajaran Mesin”, arXiv: 2309.15547, (2023).

Kutipan di atas berasal dari SAO / NASA ADS (terakhir berhasil diperbarui, 2023-11-28 11:44:12). Daftar ini mungkin tidak lengkap karena tidak semua penerbit menyediakan data kutipan yang cocok dan lengkap.

Tidak dapat mengambil Crossref dikutip oleh data selama upaya terakhir 2023-11-28 11:44:01: Tidak dapat mengambil data yang dikutip oleh untuk 10.22331 / q-2023-11-28-1189 dari Crossref. Ini normal jika DOI terdaftar baru-baru ini.

Makalah ini diterbitkan dalam Quantum di bawah Creative Commons Attribution 4.0 Internasional (CC BY 4.0) lisensi. Hak cipta tetap berada pada pemegang hak cipta asli seperti penulis atau lembaganya.

Konten Bertenaga SEO & Distribusi PR. Dapatkan Amplifikasi Hari Ini.
PlatoData.Jaringan Vertikal Generatif Ai. Berdayakan Diri Anda. Akses Di Sini.
PlatoAiStream. Intelijen Web3. Pengetahuan Diperkuat. Akses Di Sini.
PlatoESG. Karbon, teknologi bersih, energi, Lingkungan Hidup, Tenaga surya, Penanganan limbah. Akses Di Sini.
PlatoHealth. Kecerdasan Uji Coba Biotek dan Klinis. Akses Di Sini.
Sumber: https://quantum-journal.org/papers/q-2023-11-28-1189/

Stempel Waktu: November 28, 2023

Stempel Waktu: Oktober 9, 2023

Algoritma klasik yang efisien untuk mensimulasikan sistem kuantum simetris

Diterbitkan Ulang Oleh Plato

Abstrak

Ringkasan populer

► data BibTeX

► Referensi

Dikutip oleh

Lebih dari Jurnal Kuantum

Simulasi klasik saluran komunikasi

Pembelajaran mesin kuantum yang hemat pulsa

Model termalisasi dalam yang dapat dipecahkan dengan waktu desain yang berbeda

Klasifikasi kawat kuantum berbasis pengukuran dalam PEPS stabilizer

Tomografi Bayangan Klasik yang Dapat Diskalakan dan Fleksibel dengan Tensor Networks

Sirkuit kuantum untuk kode torik dan model frakton X-kubus

Penemuan Digital dari 100 Eksperimen Kuantum yang beragam dengan PyTheus

Reqomp: Uncomputation dengan Batasan Ruang untuk Sirkuit Kuantum

Ruang Hilbert Sintetik dari Elektron Bebas yang Digerakkan Laser

Membandingkan Kode Sarang Lebah Planar

Pendekatan kuasiprobabilitas Kirkwood-Dirac terhadap statistik observasi yang tidak kompatibel

Tentang Kami

Pencarian Vertikal & Ai

Platform

Tetap Berhubung

Akun