Seberapa Besarkah Infinity?

Di akhir blockbuster Marvel Pembalas: Endgame, hologram pra-rekaman Tony Stark mengucapkan selamat tinggal kepada putrinya yang masih kecil dengan mengatakan, "Aku mencintaimu 3,000." Momen menyentuh menggemakan adegan sebelumnya di mana keduanya terlibat dalam ritual sebelum tidur yang menyenangkan untuk mengukur cinta mereka satu sama lain. Menurut Robert Downey Jr., aktor yang memerankan Stark, dialog itu terinspirasi oleh percakapan serupa dengan anak-anaknya sendiri.

Gim ini bisa menjadi cara yang menyenangkan untuk menjelajahi sejumlah besar:

"Aku mencintaimu 10."

"Tapi aku mencintaimu 100."

"Yah, aku mencintaimu 101!"

Inilah tepatnya bagaimana "googolplex" menjadi kata yang populer di rumah saya. Tapi kita semua tahu ke mana argumen ini akhirnya mengarah:

"Aku mencintaimu tanpa batas!"

"Oh ya? Aku mencintaimu tanpa batas plus 1!”

Baik itu di taman bermain atau sebelum tidur, anak-anak menemukan konsep tak terhingga jauh sebelum kelas matematika, dan mereka dapat memahami mengembangkan ketertarikan dengan konsep misterius, rumit dan penting ini. Beberapa dari anak-anak itu tumbuh menjadi ahli matematika yang terpesona dengan ketidakterbatasan, dan beberapa dari ahli matematika itu menemukan hal-hal baru dan mengejutkan tentang ketidakterbatasan.

Anda mungkin tahu bahwa beberapa kumpulan angka sangat besar, tetapi tahukah Anda bahwa beberapa infinitas lebih besar dari yang lain? Dan kita tidak yakin apakah ada ketidakterbatasan lain yang terjepit di antara keduanya yang paling kita kenal? Matematikawan telah merenungkan pertanyaan kedua ini setidaknya selama satu abad, dan beberapa pekerjaan baru-baru ini telah mengubah cara orang berpikir tentang masalah ini.

Untuk menjawab pertanyaan tentang ukuran himpunan tak terbatas, mari kita mulai dengan himpunan yang lebih mudah dihitung. Himpunan adalah kumpulan objek, atau elemen, dan himpunan hingga hanyalah himpunan yang berisi banyak objek hingga berhingga.

Menentukan ukuran himpunan hingga itu mudah: Cukup hitung jumlah elemen yang dikandungnya. Karena himpunannya terbatas, Anda tahu bahwa pada akhirnya Anda akan berhenti menghitung, dan setelah selesai, Anda tahu ukuran himpunan Anda.

Strategi ini tidak bekerja dengan set tak terbatas. Berikut adalah himpunan bilangan asli, yang dilambangkan . (Beberapa orang mungkin berpendapat bahwa nol bukanlah bilangan asli, tetapi perdebatan itu tidak memengaruhi penyelidikan kita hingga tak terhingga.)

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$

Berapa ukuran set ini? Karena tidak ada bilangan asli terbesar, mencoba menghitung jumlah elemen tidak akan berhasil. Salah satu solusinya adalah dengan mendeklarasikan ukuran himpunan tak hingga ini menjadi "tak terhingga", yang tidak salah, tetapi ketika Anda mulai menjelajahi himpunan tak terbatas lainnya, Anda menyadari bahwa itu juga tidak benar.

Pertimbangkan himpunan bilangan real, yang merupakan semua bilangan yang dapat dinyatakan dalam pemuaian desimal, seperti 7, 3.2, 8.015, atau pemuaian tak hingga seperti $latexsqrt{2} = 1.414213…$. Karena setiap bilangan asli juga merupakan bilangan real, himpunan real setidaknya sebesar himpunan bilangan asli, dan karenanya juga harus tak terbatas.

Tapi ada sesuatu yang tidak memuaskan tentang menyatakan ukuran himpunan bilangan real menjadi "tak terhingga" yang sama yang digunakan untuk menggambarkan ukuran bilangan asli. Untuk mengetahui alasannya, pilih dua angka apa saja, seperti 3 dan 7. Di antara kedua angka itu akan selalu ada banyak bilangan asli berhingga: Ini adalah angka 4, 5 dan 6. Tapi akan selalu ada banyak bilangan real yang tak terhingga di antara mereka, angka seperti 3.001, 3.01, , 4.01023, 5.666… dan seterusnya.

Cukup luar biasa, tidak peduli seberapa dekat dua bilangan real yang berbeda satu sama lain, akan selalu ada banyak bilangan real yang tak terhingga di antaranya. Dengan sendirinya ini tidak berarti bahwa himpunan bilangan real dan bilangan asli memiliki ukuran yang berbeda, tetapi ini menunjukkan bahwa ada sesuatu yang berbeda secara mendasar tentang dua himpunan tak terbatas ini yang memerlukan penyelidikan lebih lanjut.

Ahli matematika Georg Cantor menyelidiki hal ini pada akhir abad ke-19. Dia menunjukkan bahwa dua himpunan tak hingga ini benar-benar memiliki ukuran yang berbeda. Untuk memahami dan menghargai bagaimana dia melakukan itu, pertama-tama kita harus memahami bagaimana membandingkan himpunan tak terhingga. Rahasianya adalah pokok dari kelas matematika di mana-mana: fungsi.

Ada banyak cara berbeda untuk memikirkan fungsi — notasi fungsi seperti $lateks f(x) = x^2 +1$, grafik parabola pada bidang Cartesian, aturan seperti “ambil inputnya dan tambahkan 3 ke dalamnya” — tapi di sini kita akan memikirkan fungsi sebagai cara untuk mencocokkan elemen dari satu himpunan dengan elemen lain.

Misalkan salah satu himpunan tersebut adalah , himpunan bilangan asli. Untuk set lainnya, yang akan kita sebut S, kita akan mengambil semua bilangan asli genap. Berikut adalah dua set kami:

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $lateks S= {0,2,4,6,8,…}$

Ada fungsi sederhana yang mengubah elemen menjadi elemen S: $lateks f(x) = 2x$. Fungsi ini hanya menggandakan inputnya, jadi jika kita menganggap elemen sebagai input dari $lateks f(x)$ (kita menyebut himpunan input dari suatu fungsi sebagai "domain"), outputnya akan selalu menjadi elemen dari S. Misalnya, $lateks f(0)=0$, $lateks f(1) = 2$, $lateks f(2) = 4$, $lateks f(3) = 6$ dan seterusnya.

Anda dapat memvisualisasikan ini dengan menjajarkan elemen dari dua set berdampingan dan menggunakan panah untuk menunjukkan bagaimana fungsi $lateks f$ mengubah input dari menjadi output dalam S.

Perhatikan bagaimana $lateks f(x)$ memberikan tepat satu elemen dari S untuk setiap elemen . Itulah fungsi yang dilakukan, tetapi $lateks f(x)$ melakukannya dengan cara yang khusus. Pertama, $lateks f$ memberikan semua yang ada di S untuk sesuatu di . Dengan menggunakan terminologi fungsi, kita katakan bahwa setiap elemen dari S adalah "gambar" dari elemen di bawah fungsi $lateks f$. Misalnya, bilangan genap 3,472 ada di S, dan kita dapat menemukan x dalam sedemikian sehingga $lateks f(x) = 3,472$ (yaitu 1,736). Dalam situasi ini kita katakan bahwa fungsi $lateks f(x)$ memetakan ke S. Cara yang lebih bagus untuk mengatakannya adalah bahwa fungsi $lateks f(x)$ adalah "surjektif." Bagaimanapun Anda menggambarkannya, yang penting adalah ini: Karena fungsi $lateks f(x)$ mengubah input dari menjadi output di S, tidak ada di S akan terlewatkan dalam prosesnya.

Hal khusus kedua tentang bagaimana $lateks f(x)$ memberikan output ke input adalah bahwa tidak ada dua elemen di yang ditransformasikan menjadi elemen yang sama di S. Jika dua angka berbeda, maka gandanya berbeda; 5 dan 11 adalah bilangan asli yang berbeda di , dan outputnya di S juga berbeda: 10 dan 22. Dalam hal ini kita katakan bahwa $lateks f(x)$ adalah “1-ke-1” (juga ditulis “1-1”), dan kita menggambarkan $lateks f(x)$ sebagai "injektif." Kuncinya di sini adalah tidak ada yang masuk S digunakan dua kali: Setiap elemen dalam S dipasangkan dengan hanya satu elemen di .

Kedua fitur $lateks f(x)$ ini digabungkan dengan cara yang ampuh. Fungsi $lateks f(x)$ menciptakan kecocokan sempurna antara elemen dan elemen S. Fakta bahwa $lateks f(x)$ adalah "ke atas" berarti semua yang ada di S memiliki pasangan di , dan fakta bahwa $lateks f(x)$ adalah 1-ke-1 berarti tidak ada apa pun di S memiliki dua mitra di . Singkatnya, fungsi $lateks f(x)$ memasangkan setiap elemen dari dengan tepat satu elemen dari S.

Fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebut bijeksi, dan bijeksi menciptakan korespondensi 1-ke-1 antara dua himpunan. Ini berarti bahwa setiap elemen dalam satu himpunan memiliki tepat satu pasangan di himpunan lainnya, dan ini adalah salah satu cara untuk menunjukkan bahwa dua himpunan tak hingga memiliki ukuran yang sama.

Karena fungsi kita $lateks f(x)$ adalah bijeksi, ini menunjukkan bahwa dua himpunan tak hingga dan S adalah ukuran yang sama. Ini mungkin tampak mengejutkan: Bagaimanapun, setiap bilangan asli genap itu sendiri adalah bilangan asli, jadi berisi semua yang ada di S dan banyak lagi. Bukankah itu membuat lebih besar dari S? Jika kita berurusan dengan himpunan berhingga, jawabannya adalah ya. Tapi satu set tak terbatas dapat sepenuhnya berisi yang lain dan mereka masih bisa menjadi ukuran yang sama, semacam cara "tak terhingga ditambah 1" sebenarnya bukan jumlah cinta yang lebih besar daripada "tak terhingga" yang lama. Ini hanyalah salah satu dari banyak sifat mengejutkan dari himpunan tak hingga.

Kejutan yang lebih besar mungkin bahwa ada set tak terbatas dengan ukuran berbeda. Sebelumnya kita telah menjelajahi sifat-sifat yang berbeda dari himpunan tak hingga dari bilangan real dan bilangan asli, dan Cantor membuktikan bahwa kedua himpunan tak hingga ini memiliki ukuran yang berbeda. Dia melakukannya dengan argumen diagonalnya yang brilian dan terkenal.

Karena ada banyak bilangan real tak terhingga antara dua real yang berbeda, mari kita fokus untuk saat ini pada banyak bilangan real tak terhingga antara nol dan 1. Masing-masing bilangan ini dapat dianggap sebagai ekspansi desimal (mungkin tak terhingga), seperti ini.

Di sini $lateks a_1, a_2, a_3$, dan seterusnya hanyalah angka dari angka tersebut, tetapi kami akan mengharuskan bahwa tidak semua angka adalah nol sehingga kami tidak menyertakan angka nol itu sendiri dalam kumpulan kami.

Argumen diagonal pada dasarnya dimulai dengan pertanyaan: Apa yang akan terjadi jika ada bijeksi antara bilangan asli dan bilangan real ini? Jika fungsi seperti itu memang ada, kedua himpunan akan memiliki ukuran yang sama, dan Anda dapat menggunakan fungsi tersebut untuk mencocokkan setiap bilangan real antara nol dan 1 dengan bilangan asli. Anda bisa membayangkan daftar kecocokan yang berurutan, seperti ini.

Kejeniusan argumen diagonal adalah Anda dapat menggunakan daftar ini untuk membuat bilangan real yang tidak ada dalam daftar. Mulailah membuat bilangan real digit demi digit dengan cara berikut: Buat digit pertama setelah koma berbeda dari $lateks a_1$, buat digit kedua berbeda dari $lateks b_2$, buat digit ketiga berbeda dari $lateks c_3 $, dan seterusnya.

Bilangan real ini ditentukan oleh hubungannya dengan diagonal daftar. Apakah ada dalam daftar? Itu tidak bisa menjadi angka pertama dalam daftar, karena memiliki angka pertama yang berbeda. Juga tidak bisa menjadi nomor kedua dalam daftar, karena memiliki digit kedua yang berbeda. Faktanya, itu tidak mungkin nnomor th dalam daftar ini, karena memiliki perbedaan nangka ke-. Dan ini berlaku untuk semua n, jadi nomor baru ini, yaitu antara nol dan 1, tidak dapat dimasukkan dalam daftar.

Tapi semua bilangan real antara nol dan 1 seharusnya ada dalam daftar! Kontradiksi ini muncul dari asumsi bahwa ada bijeksi antara bilangan asli dan real antara nol dan 1, sehingga tidak ada bijeksi seperti itu. Ini berarti set tak terbatas ini memiliki ukuran yang berbeda. Sedikit lebih banyak bekerja dengan fungsi (lihat latihan) dapat menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan real berukuran sama dengan himpunan semua real antara nol dan 1, dan real, yang berisi bilangan asli, harus menjadi himpunan tak terbatas yang lebih besar.

Istilah teknis untuk ukuran himpunan tak hingga adalah "kardinalitasnya". Argumen diagonal menunjukkan bahwa kardinalitas bilangan real lebih besar daripada kardinalitas bilangan asli. Kardinalitas bilangan asli ditulis $lateks aleph_0$, diucapkan “aleph sia-sia.” Dalam pandangan standar matematika, ini adalah kardinal tak terhingga terkecil.

Kardinal tak terbatas berikutnya adalah $latex aleph_1$ (“aleph one”), dan sebuah pertanyaan sederhana telah membingungkan matematikawan selama lebih dari satu abad: Apakah $latex aleph_1$ kardinalitas bilangan real? Dengan kata lain, apakah ada ketidakterbatasan lain antara bilangan asli dan bilangan real? Cantor mengira jawabannya adalah tidak — sebuah pernyataan yang kemudian dikenal sebagai hipotesis kontinum — tapi dia tidak bisa membuktikannya. Pada awal 1900-an pertanyaan ini dianggap sangat penting sehingga ketika David Hilbert mengumpulkan daftar 23 masalah terbuka penting dalam matematika, hipotesis kontinum adalah nomor satu.

Seratus tahun kemudian, banyak kemajuan telah dibuat, tetapi kemajuan itu telah menimbulkan misteri baru. Pada tahun 1940 ahli logika terkenal Kurt Gödel membuktikan bahwa, di bawah aturan teori himpunan yang diterima secara umum, tidak mungkin untuk membuktikan bahwa ada ketidakterbatasan antara bilangan asli dan bilangan real. Itu mungkin tampak seperti langkah besar untuk membuktikan bahwa hipotesis kontinum itu benar, tetapi dua dekade kemudian ahli matematika Paul Cohen terbukti bahwa tidak mungkin untuk membuktikan bahwa ketidakterbatasan seperti itu tidak ada! Ternyata hipotesis kontinum tidak dapat dibuktikan dengan satu atau lain cara.

Bersama-sama hasil ini membentuk "kemandirian" hipotesis kontinum. Ini berarti bahwa aturan himpunan yang diterima secara umum tidak cukup untuk memberi tahu kita apakah ada ketidakterbatasan antara bilangan asli dan real atau tidak. Tapi bukannya mengecilkan hati matematikawan dalam mengejar pemahaman tak terhingga, itu telah membawa mereka ke arah yang baru. Matematikawan sekarang mencari aturan dasar baru untuk himpunan tak hingga yang dapat menjelaskan apa yang sudah diketahui tentang tak terhingga dan membantu mengisi kesenjangan.

Mengatakan "Cintaku padamu tidak tergantung pada aksioma" mungkin tidak semenyenangkan mengatakan "Aku mencintaimu infinity plus 1," tapi mungkin itu akan membantu generasi berikutnya dari ahli matematika yang mencintai infinity mendapatkan tidur malam yang nyenyak.

Latihan

1. Misalkan $lateks T = {1,3,5,7,…}$, himpunan bilangan asli ganjil positif. Adalah T lebih besar dari, lebih kecil dari, atau berukuran sama dengan , himpunan bilangan asli?

2. Carilah korespondensi 1-ke-1 antara himpunan bilangan asli, , dan himpunan bilangan bulat $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.

3. Temukan fungsi $lateks f(x)$ yang merupakan bijeksi antara himpunan bilangan real antara nol dan 1 dan himpunan bilangan real yang lebih besar dari nol.

4. Temukan fungsi yang merupakan bijeksi antara himpunan bilangan real antara nol dan 1 dan himpunan semua bilangan real.

Klik untuk Jawaban 1:

Klik untuk Jawaban 2:

Klik untuk Jawaban 3:

Klik untuk Jawaban 4: