Bagaimana seseorang dapat berbicara dengan pasti tentang ketidakterbatasan? Apa yang sebenarnya bisa kita ketahui tentang bilangan prima misterius tanpa mengetahui semuanya? Sama seperti ilmuwan membutuhkan data untuk menilai hipotesis mereka, matematikawan membutuhkan bukti untuk membuktikan atau menyangkal dugaan. Tapi apa yang dianggap sebagai bukti di ranah tak berwujud teori bilangan? Dalam episode ini, Steven Strogatz berbicara dengan Melanie Matchett Kayu, seorang profesor matematika di Universitas Harvard, untuk mempelajari bagaimana probabilitas dan keacakan dapat membantu membangun bukti untuk argumen kedap udara yang dituntut dari para ahli matematika..
Dengarkan Podcast Apple, Spotify, Google Podcast, Mesin penjahit, TuneIn atau aplikasi podcasting favorit Anda, atau Anda bisa streaming dari Quanta.
Salinan
Steven Strogatz (00:02): Saya Steve Strogatz, dan ini Kegembiraan Mengapa, podcast dari Majalah Quanta yang membawa Anda ke beberapa pertanyaan terbesar yang belum terjawab dalam matematika dan sains saat ini. Di episode kali ini kita akan membahas tentang bukti dalam matematika. Jenis bukti apa yang digunakan matematikawan? Apa yang membuat mereka curiga bahwa sesuatu mungkin benar, sebelum mereka memiliki bukti yang kuat?
(00:26) Kedengarannya seperti paradoks, tetapi ternyata penalaran berdasarkan teori probabilitas, studi tentang peluang dan keacakan, terkadang dapat mengarah pada apa yang sebenarnya diinginkan oleh para matematikawan, yaitu kepastian, bukan hanya probabilitas. Misalnya, dalam cabang matematika yang dikenal sebagai teori bilangan, ada sejarah panjang menggunakan keacakan untuk membantu matematikawan menebak apa yang benar. Sekarang, probabilitas sedang digunakan untuk membantu mereka membuktikan apa yang benar.
(00:53) Kami akan fokus di sini pada bilangan prima. Anda mungkin ingat bilangan prima, bukan? Anda belajar tentang mereka di sekolah. Bilangan prima adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 1 yang hanya dapat dibagi oleh 1 dan dirinya sendiri. Misalnya, 7 atau 11. Itu adalah bilangan prima, tetapi 15 bukan karena 15 dapat dibagi rata dengan 3 atau 5. Anda dapat menganggap bilangan prima sebagai semacam unsur-unsur dalam tabel periodik kimia, dalam arti bahwa mereka adalah atom tak terpisahkan yang membentuk semua nomor lainnya.
(01:27) Bilangan prima kelihatannya sederhana, tetapi beberapa misteri terbesar dalam matematika adalah pertanyaan tentang bilangan prima. Dalam beberapa kasus, pertanyaan yang telah ada selama ratusan tahun. Benar-benar ada sesuatu yang sangat halus tentang bilangan prima. Mereka tampaknya hidup di perbatasan antara keteraturan dan keacakan. Tamu saya hari ini akan membantu kita memahami lebih banyak tentang sifat bukti dalam matematika, dan terutama bagaimana dan mengapa keacakan dapat memberi tahu kita begitu banyak tentang bilangan prima, dan mengapa model berdasarkan probabilitas bisa sangat berguna di ujung tombak teori bilangan. Bergabung dengan saya sekarang untuk membahas semua ini adalah Melanie Matchett Wood, profesor matematika di Universitas Harvard. Selamat datang, Melani!
Melanie Matchett Kayu (02:09): Hai, senang berbicara denganmu.
Strogatz (02:11): Senang berbicara dengan Anda, saya penggemar berat. Mari kita bicara tentang matematika dan sains dalam kaitannya satu sama lain karena kata-katanya sering digunakan bersama, namun teknik yang kita gunakan untuk membuktikan dan memastikan dalam matematika agak berbeda dari apa yang kita coba lakukan dalam sains. Misalnya, ketika kita berbicara tentang mengumpulkan bukti dalam matematika, apa persamaannya atau apa bedanya dengan pengumpulan bukti dengan metode ilmiah dalam sains?
Kayu (02:38): Bukti matematis adalah argumen logis yang benar-benar kedap udara dan lengkap bahwa beberapa klaim matematis harus seperti itu dan tidak mungkin dengan cara lain. Jadi tidak seperti teori ilmiah — yang mungkin merupakan yang terbaik yang kami miliki berdasarkan bukti yang kami miliki saat ini, tetapi kami akan mendapatkan lebih banyak bukti, Anda tahu, dalam 10 tahun ke depan dan mungkin akan ada teori baru — bukti matematis mengatakan bahwa beberapa pernyataan harus seperti itu, kita tidak mungkin menemukan bahwa itu akan salah dalam 10 tahun, atau 20 tahun.
Strogatz (03:17): Nah, hal-hal apa saja yang dianggap sebagai bukti dalam matematika?
Kayu (03:19): Jadi, Anda mungkin melihat bahwa ada sesuatu yang benar dalam banyak contoh. Dan berdasarkan itu benar dalam banyak contoh, yang mungkin bisa Anda katakan akan menjadi bukti untuk fakta itu, Anda mungkin membuat dugaan, apa yang oleh ahli matematika disebut dugaan, tebakan bahwa sesuatu itu benar. Tapi kemudian, apa yang matematikawan inginkan adalah bukti bahwa hal yang Anda lihat berhasil dalam banyak contoh akan selalu berhasil seperti yang Anda klaim.
Strogatz (03:49): Benar, sangat berbeda dari sekadar bobot bukti. Ini adalah pernyataan bahwa ada alasan mengapa sesuatu akan menjadi kenyataan selamanya, untuk semua waktu, dalam setiap kasus.
Kayu (03:58): Dan bukan hanya "oh well, saya telah melihat sejuta kasus dan itu benar di setiap kasus." Yang merupakan alasan untuk menebak atau menduga bahwa itu selalu benar. Tetapi dalam matematika, kami membuat perbedaan antara tebakan yang dapat didasarkan pada banyak kasus atau bukti, dan memiliki teorema atau bukti, argumen yang memberi tahu Anda bahwa itu akan berhasil dalam setiap kasus, bahkan yang Anda miliki. tidak mencoba.
Strogatz (04:25): Sekarang, apakah matematikawan pada dasarnya cerewet, atau ada kasus di mana sesuatu yang tampak seperti itu benar, hingga sejumlah kemungkinan yang sangat besar, ternyata tidak benar di luar sejumlah besar lainnya ?
Kayu (04:39): Oh, itu, itu pertanyaan yang bagus. Nah, ini contoh yang saya suka, karena saya suka bilangan prima. Jadi saat Anda menelusuri bilangan prima — 2, 3, 5, 7 — salah satu hal yang dapat Anda lakukan, Anda mungkin melihat dan berkata, “hei, apakah mereka habis dibagi 2?” Dan itu ternyata tidak terlalu menarik. Setelah 2, tidak ada yang habis dibagi 2. Semuanya ganjil.
(05:10) Dan kemudian Anda mungkin berpikir, “apakah mereka habis dibagi 3?” Dan tentu saja, setelah 3, mereka juga tidak dapat dibagi dengan 3, karena mereka adalah bilangan prima. Namun, Anda mungkin memperhatikan bahwa beberapa dari mereka, ketika Anda membaginya dengan 3, Anda mendapatkan sisa 1, bahwa mereka 1 lebih dari kelipatan 3. Jadi hal-hal seperti 7, yaitu 1 lebih dari 6, atau 13 , yaitu 1 lebih dari 12. Dan beberapa bilangan prima itu, seperti 11, atau 17, yaitu 2 lebih dari 15, akan memiliki sisa 2 saat Anda membaginya dengan 3, karena 2 lebih dari a kelipatan 3.
(05:47) Jadi Anda bisa memikirkan bilangan prima ini dalam tim. Tim 1 adalah semua yang 1 lebih dari kelipatan 3 dan Tim 2 adalah semua yang 2 lebih dari kelipatan 3. Dan saat Anda menelusuri bilangan prima dan membuat daftar bilangan prima, Anda bisa membuat daftar semua bilangan prima dan Anda dapat menghitungnya, dan melihat berapa banyak yang ada di Tim 1, dan berapa banyak yang ada di Tim 2. Dan jika Anda menghitungnya hingga 600 miliar, di setiap titik, setiap angka hingga 600 miliar, Anda akan menemukan bahwa ada lebih banyak bilangan prima Tim 2 daripada bilangan prima Tim 1. Jadi, Anda mungkin secara alami menduga, berdasarkan bukti itu, bahwa akan selalu ada lebih banyak bilangan prima Tim 2 daripada bilangan prima Tim 1.
Strogatz (06:33): Tentu. Benar-benar terdengar seperti itu.
Kayu: Ternyata, di angka sekitar 608 miliar-an, saya lupa angka pastinya, berubah-ubah.
Strogatz (06:46): Oh, ayolah.
Kayu: Ya, itu benar-benar berubah. Dan sekarang tiba-tiba, Tim 1 memimpin. Jadi, itu adalah—
Strogatz (06:53): Tunggu sebentar. Tunggu, tapi ini luar biasa. Apa — sekarang, apakah mereka terus berubah? Apakah kami tahu apa yang terjadi saat Anda terus berjalan? Apakah mereka terus berubah?
Kayu (07:01): Ya, pertanyaan bagus. Jadi, memang, itu adalah teorema bahwa mereka akan sering mengubah petunjuk.
Strogatz (07:07): Benarkah?
Kayu: Jadi mereka akan terus memperdagangkan prospek. Tetapi ini adalah contoh yang sangat bagus untuk diingat ketika Anda mempelajari bilangan prima, bahwa hanya karena sesuatu benar untuk 600 miliar kasus pertama tidak berarti itu akan selalu benar.
Strogatz (07:25): Wah. Bagus. Oke. Jadi, seperti pada umumnya, bagaimana Anda beralih dari dugaan menjadi bukti?
Kayu (07:31): Tergantung kasusnya. Maksud saya, ada banyak kasus matematika di mana kita memiliki dugaan dan kita tidak memiliki bukti. Jadi tidak ada resep sederhana untuk beralih dari dugaan menjadi bukti, atau kita tidak akan memiliki begitu banyak masalah terbuka yang terkenal di mana, Anda tahu, ada beberapa — beberapa dugaan bahwa orang berpikir bahwa sesuatu bekerja dengan cara tertentu, tapi kami tidak' t mengetahuinya dengan pasti. Tapi, Anda tahu, terkadang dugaan itu mungkin menyarankan alasan bahwa sesuatu itu benar. Terkadang itu hanya teori matematika, yang dibangun di atas teori matematika yang semakin banyak yang telah dikembangkan orang selama ratusan tahun, memberi kita cukup alat dan struktur untuk bekerja dengan memahami hal-hal itu, yang kita dapatkan dengan bukti. Tapi bukan berarti dugaan itu mengarah pada bukti. Dugaan itu mungkin mengilhami orang untuk mencoba menemukan buktinya, tetapi cara pembuktian itu muncul mungkin sepenuhnya terpisah dari, dari dugaan itu sendiri.
Strogatz (08:31): Ya, saya tertarik pada jenis enumerasi, atau daftar jenis bukti yang tidak memenuhi bukti, yang membuat orang memiliki keyakinan bahwa layak untuk mencoba mencari bukti.
Kayu (08:41): Ya, hal lain yang bisa kita sebut sebagai bukti yang bukan sekadar contoh adalah heuristik. Heuristik mungkin seperti argumen, kecuali pada standar ketelitian yang jauh lebih rendah. Ini seperti, apakah itu tampak baik-baik saja? Bukankah “apakah saya benar-benar telah menetapkan fakta ini tanpa keraguan?” tapi "apakah itu - ya, tampaknya cukup masuk akal." Jadi heuristik mungkin merupakan garis penalaran yang tampaknya cukup masuk akal, Anda tahu, tetapi sebenarnya bukan argumen yang ketat. Jadi itu salah satu bukti.
(09:12) Terkadang seseorang mungkin memiliki model yang menurut kami menangkap elemen penting dari sistem matematika yang kami coba pahami, dan kemudian Anda akan menduga bahwa sistem Anda memiliki perilaku yang sama dengan model Anda.
Strogatz (09:30): Oke. Pada titik tertentu, saya ingin mendengar beberapa contoh model dan dugaan dan, Anda tahu, sejauh mana mereka bekerja atau tidak bekerja pada beberapa pertanyaan atau tidak pada yang lain, tetapi, jika Anda tidak keberatan, saya akan ingin kembali hanya ke beberapa hal pribadi kecil, semacam, karena kita berbicara di sini tentang angka, dan Anda adalah ahli teori angka. Orang mungkin tidak mengenal banyak ahli teori bilangan dalam kehidupan sehari-hari mereka. Jadi, saya ingin tahu apakah Anda bisa memberi tahu kami apa itu teori bilangan, dan juga, mengapa menurut Anda itu menarik? Mengapa Anda datang untuk mempelajarinya?
Kayu (10:02) Nah, teori bilangan adalah studi matematis dari bilangan bulat. Jadi, pikirkan 1, 2, 3, 4, 5. Dan, khususnya, salah satu hal penting dalam bilangan bulat adalah bilangan prima. Seperti yang Anda jelaskan, tepat di awal, itu adalah blok bangunan yang darinya kita dapat, melalui perkalian, membangun semua angka lainnya. Jadi karena teori bilangan berkaitan dengan semua bilangan bulat itu, teori bilangan juga berkaitan dengan blok penyusunnya, bilangan prima, dan bagaimana faktor bilangan lain menjadi bilangan prima dan bagaimana mereka dibangun — keluar dari bilangan prima.
Strogatz (10:37): Jadi, teori bilangan, untuk tujuan kita hari ini, saya kira, akan menjadi studi tentang bilangan bulat, dengan minat khusus pada bilangan prima. Itu sepertinya awal yang cukup bagus. Saya kira itu lebih dari itu. Tapi mungkin itu definisi yang baik untuk kita sekarang. Anda pikir begitu?
Kayu (10:50): Itu bagus, itu awal yang bagus. Maksud saya, dari sana, seseorang mengeksplorasi hal-hal lebih lanjut seperti, nah, bagaimana jika Anda mulai mempertimbangkan sistem bilangan yang lebih rumit dari sekadar bilangan bulat? Seperti Anda mulai memasukkan angka lain, seperti akar kuadrat dari 2, lalu apa yang terjadi dengan bilangan prima dan faktorisasi? Anda dituntun ke pertanyaan lebih lanjut. Tapi jujur, ada banyak matematika yang kaya dan indah hanya dalam bilangan bulat dan bilangan prima.
Strogatz (11:16): Jadi, dengan mengingat hal itu, mengapa menurut Anda itu menarik? Mengapa Anda menyukai pelajaran teori bilangan? Apa yang membuat Anda tertarik?
Kayu (11:22): Saya rasa saya suka pertanyaannya bisa begitu konkret. Anda tahu, saya pergi dan berbicara dengan anak-anak sekolah dasar. Dan saya dapat memberi tahu mereka tentang, Anda tahu, beberapa hal yang — yang saya pikirkan. Jadi, menyenangkan bagi saya untuk mengerjakan sesuatu yang di satu sisi pertanyaannya bisa sangat konkret, tetapi di sisi lain, teka-teki untuk mencoba menyelesaikannya bisa sangat sulit. Maksud saya, orang telah mencoba menjawab pertanyaan tentang bilangan bulat, tentang bilangan prima selama ribuan tahun.
(11:54) Dan ada banyak cabang matematika. Salah satu bagian penting dari teori bilangan modern adalah bahwa untuk membuat kemajuan pada pertanyaan-pertanyaan lama yang keras kepala yang telah dikerjakan orang begitu lama, seseorang perlu membawa ide-ide baru, dan perlu membuat hubungan dengan bagian lain dari matematika. Jadi meskipun saya menyebut diri saya seorang ahli teori bilangan, saya menggunakan matematika dari semua jenis bidang yang berbeda. Dari mempelajari, Anda tahu, geometri dan topologi dan bentuk ruang hingga probabilitas dan mempelajari keacakan. Saya menggunakan semua jenis matematika, tetapi untuk mencoba mengatakan sesuatu tentang hal-hal seperti bilangan bulat dan bilangan prima dan faktorisasi.
Strogatz (12:36): Ya, saya menyukai visi matematika itu sebagai jaringan gagasan raksasa yang saling berhubungan, dan Anda dapat ingin hidup di bagian tertentu yang menjadi favorit Anda. Tetapi Anda telah menyebutkan bilangan prima sebagai bidang minat tertentu dalam teori bilangan, bagian yang paling mendasar dari itu, sungguh. Apa yang sulit dari mereka? Masih belum jelas, dalam diskusi kita, apa yang begitu misterius di sana? Seperti yang telah kita definisikan, kita mungkin bisa terus mendaftar mereka, saya kira. Apa saja masalah yang Anda maksud yang berusia ratusan tahun?
Kayu (13:05): Nah, salah satu pertanyaan terbesar dan terpenting, yang mungkin berusia sekitar 120 tahun, adalah, Anda berkata, “oh, Anda bisa membuat daftarnya. Jika Anda melakukan itu, berapa banyak yang akan Anda temukan?” Jadi katakanlah Anda membuat daftar bilangan prima, hingga seratus, atau seribu, atau seratus ribu, atau satu juta, satu miliar. Saat Anda membuat daftar bilangan prima hingga bilangan yang lebih besar dan lebih besar, berapa banyak dari bilangan yang Anda lalui yang benar-benar menjadi bilangan prima? Jadi memahami bahwa kuantitas adalah inti dari hipotesis Riemann, yang merupakan salah satu Institut Matematika Tanah Liat Masalah Hadiah Milenium, ada hadiah jutaan dolar untuk sebuah jawaban. Ini adalah salah satu pertanyaan paling terkenal dan kami tidak tahu bagaimana melakukannya, dan ini sebenarnya hanya tentang pertanyaan, ketika Anda membuat daftar bilangan prima itu, berapa banyak yang akan Anda temukan?
Strogatz (13:58): Oke. Ini lucu, kan? Karena saat Anda mulai membuat daftar, bahkan jika seseorang dengan santai mulai membuat daftar bilangan prima hingga 100 — Anda akan melihat beberapa hal yang lucu. Seperti, pada 11 dan 13 pertama, mereka 2 terpisah. Lima belas, yah, itu tidak berhasil, karena habis dibagi 5 dan 3. Lalu 17, jadi ada celah 4 sekarang, antara 13 dan 17. Tapi kemudian 19 menutup lagi. Saya tidak tahu, maksud saya, jadi jarak antara bilangan prima bisa agak miring. Seperti terkadang ada celah yang cukup besar di sana, dan terkadang mereka bersebelahan, hanya 2 terpisah.
Kayu (14:31): Ya, jadi memahami bahwa jarak dan kesenjangan itu juga merupakan pertanyaan besar yang menarik. Ada kemajuan luar biasa dalam dekade terakhir dalam memahami jarak antara bilangan prima. Tapi masih ada pertanyaan mendasar yang sangat menggiurkan yang kita tidak tahu jawabannya. Jadi Anda menyebutkan bahwa bilangan prima ini, 11 dan 13, hanya 2 terpisah. Jadi bilangan prima seperti itu disebut bilangan prima kembar. Kita tidak bisa mengharapkan bilangan prima menjadi lebih dekat dari 2 karena setelah 2, semuanya harus ganjil. Berikut adalah pertanyaan terbuka dalam matematika, artinya kita tidak tahu jawabannya, dan itu adalah: Apakah ada banyak pasangan bilangan prima kembar yang tak terhingga?? Jadi di sini, ada dugaan, dugaannya adalah, ya. Maksud saya, tidak hanya ada dugaan bahwa "ya, mereka harus berlangsung selamanya, dan harus selalu ada lebih banyak dari mereka," tetapi bahkan ada dugaan tentang, semacam berapa banyak yang akan Anda temukan seiring berjalannya waktu. Tapi itu benar-benar terbuka. Sejauh yang kami tahu, bisa jadi begitu Anda mencapai angka yang sangat besar, mereka berhenti begitu saja dan Anda tidak menemukan lagi pasangan bilangan prima kembar sama sekali.
Strogatz (15:40): Ada sesuatu yang sangat puitis tentang itu, pedih, pemikiran itu, seperti, bahwa itu bisa menjadi akhir kalimat di beberapa titik. Maksudku, tak satu pun dari kita mungkin percaya itu. Tapi itu mungkin, saya kira, bisa dibayangkan bahwa ada sepasang kembar kesepian terakhir yang meringkuk dalam kegelapan, jauh di luar sana, Anda tahu, di garis bilangan.
Kayu (15:57): Ya, mungkin ada. Dan, Anda tahu, sebagai ahli matematika, kami akan mengatakan, Anda tahu, kami tidak tahu. Bahkan jika Anda dapat membuat grafik seiring dengan berapa banyak yang Anda temukan, jika Anda memplot grafik itu, sepertinya grafik itu benar-benar akan naik dan naik dengan kecepatan yang tidak akan pernah — tidak akan pernah berbalik. Tapi saya rasa itu bagian dari perbedaan antara matematika dan sains adalah, kita tetap skeptis dan berkata, yah, kita tidak tahu. Maksud saya, mungkin di beberapa titik, grafiknya hanya berputar, dan tidak ada lagi.
Strogatz (16:29): Jadi, itu — saya suka gambar grafik Anda di sana, karena saya pikir semua orang bisa berhubungan dengan ide ini, membuat bagan, membuat semacam grafik. Anda tahu, memikirkan bilangan prima sebagai semacam data. Dan, jadi saya pikir ini mungkin saat yang tepat bagi kita untuk beralih, untuk mulai berbicara tentang teori probabilitas. Dan sepertinya agak aneh untuk berbicara tentang probabilitas dan statistik sehubungan dengan bilangan prima karena tidak ada peluang yang terlibat di sini. Bilangan prima ditentukan oleh definisi yang kami berikan, bahwa mereka tidak dapat dibagi. Namun matematikawan dan ahli teori bilangan, seperti Anda, telah menggunakan argumen statistik atau probabilistik dalam memikirkan bilangan prima. Saya ingin tahu apakah Anda dapat membuat sketsa sesuatu seperti itu untuk saya menggunakan membalik koin, dan kembali ke — apa yang kita bicarakan di awal, angka ganjil dan angka genap.
Kayu (17:14): Oke. Jadi tidak seperti bilangan prima, kita sebenarnya sangat memahami pola bilangan ganjil dan genap. Mereka menjadi ganjil, genap, ganjil, genap, tentu saja. Tapi misalkan kita tidak memahami pola itu. Dan kami menggunakan ini untuk memahami berapa banyak angka ganjil yang mungkin Anda temukan jika Anda melihat semua angka hingga satu juta. Anda bisa bayangkan, karena ada dua kemungkinan, angka bisa ganjil atau angka bisa genap, bahwa mungkin seseorang ikut dan melempar koin untuk setiap angka, dan jika koin muncul kepala, nomor itu ganjil. Dan jika koin muncul ekor, jumlahnya genap. Jadi Anda bisa meminta orang yang membalik koin berjalan di sepanjang garis bilangan, melempar koin di setiap nomor, dan muncul, katakanlah, untuk menyatakan angka itu ganjil atau genap.
(18:03) Nah, di satu sisi, itu omong kosong. Di sisi lain, model lempar koin akan memperbaiki beberapa hal. Misalnya, jika Anda mengatakan, Anda tahu, kira-kira, berapa banyak angka hingga satu juta yang genap? Kita tahu bahwa kira-kira jumlah lemparan koin yang akan, katakanlah, muncul ekor, jika Anda melakukan lemparan koin dalam jumlah besar, seperti satu juta, adalah sekitar setengahnya. Jadi, model itu, sekonyol mungkin, masih bisa membuat beberapa prediksi dengan benar. Dan saya harus mengatakan, itu mungkin terdengar konyol, karena kita sudah tahu jawaban untuk pertanyaan itu. Idenya adalah bahwa kami membangun model untuk pola yang lebih rumit, seperti di mana bilangan prima muncul di antara angka-angka, bukan hanya di mana peluang muncul.
Strogatz (18:55): Ya. Maksud saya, saya pikir kita perlu menggarisbawahi itu — betapa misteriusnya bilangan prima itu. Tidak ada rumus untuk bilangan prima, seperti ada rumus untuk bilangan ganjil. Seperti jika Anda berpikir, oh, ayolah, ini — kita benar-benar berbicara tentang hal-hal yang tidak masuk akal di sini, sebenarnya sangat berharga untuk memiliki model statistik yang dapat memprediksi properti yang merupakan properti rata-rata. Seperti analog dari, setengah angka kurang dari angka besar akan menjadi ganjil. Ini adalah sesuatu yang, dalam kasus bilangan prima, adalah pertanyaan yang sangat serius dan menarik. Berapa pecahan bilangan yang kurang dari bilangan besar yang merupakan bilangan prima? Dan, seperti yang Anda katakan, Anda dapat membuat model statistik yang benar. Lalu apa, model yang sama itu dapat digunakan untuk memprediksi berapa banyak bilangan prima kembar yang lebih kecil dari bilangan yang besar? Apakah model yang sama melakukan pekerjaan dengan baik dalam kasus itu?
Kayu (19:41): Jadi dalam kasus bilangan prima, jika kita sedang membangun sebuah model — Anda tahu, dan ada model yang digunakan ahli matematika yang disebut model Cramér dari bilangan prima — jika kita sedang membangun model lempar koin dari bilangan prima di mana kita membayangkan seseorang berjalan di sepanjang garis bilangan, dan pada setiap bilangan, Anda tahu, melempar koin, katakanlah, untuk memutuskan apakah bilangan itu prima atau bukan bilangan prima, kita akan menggabungkan sebanyak yang kita ketahui tentang bilangan prima ke dalam model itu. Jadi pertama-tama, kita tahu bahwa bilangan besar cenderung tidak menjadi prima daripada bilangan yang lebih kecil. Jadi koin-koin itu harus ditimbang. Dan kami akan — kami harus mencoba untuk memberikan bobot yang tepat seperti yang kami harapkan. Dan kita tahu hal-hal seperti, Anda tidak dapat memiliki dua bilangan prima yang bersebelahan, karena salah satunya harus ganjil dan salah satunya harus genap. Jadi kami memasukkannya ke dalam model. Dan kemudian ada lebih banyak hal yang kita ketahui tentang bilangan prima.
(20:37) Jadi, modelnya adalah sesuatu yang dimulai dengan model lempar koin ini, tetapi kemudian dimodifikasi oleh semua aturan lain ini, dan semua hal lain yang kita ketahui tentang bilangan prima. Dan begitu Anda memasukkan semua hal yang kita ketahui ke dalam model, Anda kemudian menanyakan model lempar koin ini, Anda tahu, nah, apakah Anda sering melihat, tak terhingga, koin muncul dengan selisih hanya 2? Dan modelnya memberi tahu Anda, oh, ya, kami melihatnya. Faktanya, kami melihatnya pada tingkat yang sangat khusus ini yang dapat kami berikan kepada Anda formula untuknya. Dan kemudian, jika Anda membuat grafik jumlah bilangan prima kembar yang sebenarnya, dalam jumlah yang sebenarnya, di mana tidak ada koin yang dibalik, terhadap apa yang diprediksi oleh model, Anda melihat bahwa model tersebut memberi Anda prediksi yang sangat akurat untuk jumlah pasangan bilangan prima kembar. Anda akan menemukan saat Anda pergi bersama. Lalu Anda berpikir, mungkin model ini tahu apa yang dibicarakan.
Strogatz (21:31): Bagus sekali. Maksud saya, itu agak penting, apa yang baru saja kita sampai di sana, bahwa — Anda belum menggunakan kata komputer. Tapi saya berasumsi bahwa Anda tidak melakukan ini dengan tangan. Orang-orang yang mendaftar bilangan prima kembar, saya tidak tahu, apa yang kita bicarakan? Triliun triliun triliun? Maksud saya, ini adalah angka besar yang sedang kita bicarakan, bukan?
Kayu (21:49): Nah, untuk daftar bilangan prima kembar, yaitu — akan dilakukan oleh komputer, tentu saja. Tetapi untuk membangun model ini dan menghasilkan formula yang diberikan model tersebut. Anda tahu, itu dilakukan dengan tangan, pada dasarnya, oleh matematikawan yang memikirkan model dan mencari tahu dengannya.
Strogatz (22:07): Keren sekali. Jadi di situlah model menunjukkan barang-barangnya, model itu benar-benar dapat memprediksi apa yang dilihat komputer. Dan itu tidak memerlukan komputer untuk membuat prediksi itu. Itu dapat dilakukan dengan tangan, oleh orang-orang, dan benar-benar dapat menghasilkan bukti. Kecuali bahwa itu adalah bukti properti model, belum tentu bukti dari hal yang Anda minati.
Kayu (22:28): Benar. Dan pada titik tertentu, komputer berhenti. Anda tahu, hanya ada begitu banyak daya komputasi. Tetapi formula yang akan Anda dapatkan, yang akan diberikan model itu kepada Anda, yang dapat Anda buktikan benar, sekali lagi, tentang situasi lempar koin model ini, formula itu akan terus berjalan. Anda dapat memasukkan angka yang lebih besar dan lebih besar ke dalam rumus itu, jauh lebih besar daripada yang pernah dapat dihitung komputer Anda.
Strogatz (22:53): Jadi, Anda telah memberi tahu kami sedikit tentang bagaimana keacakan dapat membantu memberikan model fenomena menarik dalam teori bilangan, dan saya yakin itu juga berlaku di bagian matematika lainnya. Apakah ada beberapa kasus di mana Anda dapat menggunakan keacakan untuk memberikan bukti aktual, bukan hanya model?
Kayu (23:10): Tentu saja. Cabang lain dari matematika disebut teori probabilitas. Dan dalam teori probabilitas, mereka membuktikan teorema tentang sistem acak dan bagaimana mereka berperilaku. Dan Anda mungkin berpikir bahwa, jika Anda memulai dengan sesuatu yang acak, dan Anda melakukan sesuatu dengannya, Anda akan selalu memiliki sesuatu yang acak. Tetapi salah satu hal yang sangat indah yang ditemukan dalam teori probabilitas adalah bahwa kadang-kadang Anda bisa mendapatkan sesuatu yang deterministik dari sesuatu yang acak.
Strogatz (23:45): Nah, bagaimana cara kerjanya? Seperti apa?
Kayu (23:48): Ya. Jadi Anda telah melihat kurva lonceng, atau distribusi normal, para ahli matematika akan menyebutnya. Itu muncul di semua tempat di alam. Seperti yang terlihat jika Anda melihat tekanan darah orang, atau berat lahir bayi, atau semacamnya. Dan Anda mungkin berpikir, oh, kurva lonceng ini, bahwa ini adalah fakta alam. Namun kenyataannya, ada teorema, yang disebut teorema limit pusat dalam teori probabilitas, yang memberi tahu Anda bahwa sebenarnya, kurva lonceng ini dalam beberapa hal, bukan fakta alam, tetapi fakta matematika. Teorema limit pusat memberi tahu Anda bahwa jika Anda menggabungkan sejumlah besar efek acak kecil secara independen, outputnya akan selalu cocok dengan distribusi tertentu. Bentuk ini, kurva lonceng ini. Matematika, dan teori probabilitas, dapat membuktikan bahwa jika Anda memiliki — jika Anda menggabungkan banyak hal acak kecil yang independen, hasil dari semua kombinasi itu akan memberi Anda distribusi yang terlihat seperti kurva lonceng ini. Jadi — bahkan jika Anda tidak tahu seperti apa inputnya. Dan itu adalah teorema yang sangat kuat dan alat yang sangat kuat dalam matematika.
Strogatz (25:05): Ya, tentu saja. Dan saya menyukai penekanan Anda bahwa Anda tidak perlu tahu apa yang terjadi dengan efek kecil. Bahwa, entah bagaimana, itu terhapus. Informasi itu tidak diperlukan. Kurva lonceng dapat diprediksi, bahkan jika Anda tidak tahu apa sifat dari efek kecil itu. Asalkan jumlahnya banyak dan jumlahnya sedikit. Dan mereka tidak mempengaruhi satu sama lain, benar, mereka independen, dalam beberapa hal.
Kayu (25:27): Ya, tentu saja. Jadi itu adalah ide, Anda tahu, kadang-kadang disebut universalitas dalam teori probabilitas, bahwa ada jenis mesin tertentu yang jika Anda memasukkan banyak input acak, Anda dapat memprediksi outputnya. Seperti, misalnya, Anda akan mendapatkan kurva lonceng ini, atau distribusi normal ini, bahkan jika Anda tidak tahu apa yang Anda masukkan ke dalam mesin. Dan itu sangat kuat ketika ada hal-hal yang tidak kita pahami dengan baik, karena —
Strogatz (25:56): Jadi, apakah Anda memberi tahu saya — oh, saya minta maaf memotong Anda — tetapi apakah Anda memberi tahu saya bahwa ini juga terjadi dalam teori bilangan sekarang? Bahwa entah bagaimana kita mendapatkan ide universalitas untuk muncul dalam teori bilangan? Atau aku sedang bermimpi?
Kayu (26:09): Yah, sampai batas tertentu, saya akan mengatakan bahwa mimpi saya yang dimulai. Anda tahu, kami hanya, kami mengambil langkah pertama untuk mewujudkannya. Jadi ini bukan hanya mimpimu, ini juga mimpiku. Beberapa pekerjaan yang saya lakukan hari ini dan yang sedang saya dan kolaborator saya kerjakan adalah mencoba untuk membuat mimpi semacam itu menjadi kenyataan sehingga beberapa pertanyaan membingungkan tentang angka yang kita tidak tahu jawabannya, mungkin kita bisa pahami bahwa ada pola yang keluar, seperti kurva lonceng, seperti distribusi normal, yang dapat kita buktikan keluar dari mesin bahkan jika kita tidak tahu misteri apa yang dimasukkan.
Strogatz (26:55): Sebenarnya, ini adalah visi yang sangat menginspirasi dan mendebarkan, dan saya berharap semuanya akan terjadi. Terima kasih banyak telah berbicara dengan kami hari ini, Melanie.
Kayu (27:03): Terima kasih. Ini sangat menyenangkan.
Penyiar (27:06): Jika Anda suka Kegembiraan Mengapa, periksa Podcast Sains Majalah Quanta, dipandu oleh saya, Susan Valot, salah satu produser acara ini. Juga, beri tahu teman Anda tentang podcast ini, dan beri kami suka atau ikuti di mana Anda mendengarkan. Ini membantu orang menemukan Kegembiraan Mengapa podcast.
Strogatz (27: 26): Kegembiraan Mengapa adalah podcast dari Majalah Quanta, sebuah publikasi editorial independen yang didukung oleh Simons Foundation. Keputusan pendanaan oleh Simons Foundation tidak memengaruhi pemilihan topik, tamu, atau keputusan editorial lainnya di podcast ini atau di Majalah Quanta. Kegembiraan Mengapa diproduksi oleh Susan Valot dan Polly Stryker. Editor kami adalah John Rennie dan Thomas Lin, dengan dukungan dari Matt Carlstrom, Annie Melchor dan Leila Sloman. Musik tema kami disusun oleh Richie Johnson. Logo kami dibuat oleh Jackie King, dan karya seni untuk episode ini dibuat oleh Michael Driver dan Samuel Velasco. Saya tuan rumah Anda, Steve Strogatz. Jika Anda memiliki pertanyaan atau komentar untuk kami, silakan kirim email kepada kami di quanta@simonsfoundation.org. Terima kasih untuk mendengarkan.
