Isaac Newton tidak dikenal karena kemurahan hatinya, dan penghinaannya terhadap saingannya sangat legendaris. Namun dalam satu surat kepada pesaingnya Gottfried Leibniz, yang sekarang dikenal sebagai Posterior Epistola, Newton muncul sebagai nostalgia dan hampir ramah. Di dalamnya, ia menceritakan sebuah kisah dari masa muridnya, ketika ia baru mulai belajar matematika. Dia menceritakan bagaimana dia membuat penemuan besar yang menyamakan area di bawah kurva dengan jumlah tak terbatas dengan proses menebak dan memeriksa. Penalarannya dalam surat itu sangat menarik dan mudah dipahami, itu mengingatkan saya pada permainan menebak pola yang disukai anak-anak kecil.
Semuanya dimulai ketika Newton muda membaca karya John Wallis aritmatika tak terbatas, sebuah karya mani matematika abad ke-17. Wallis memasukkan metode baru dan induktif untuk menentukan nilai pi, dan Newton ingin merancang sesuatu yang serupa. Dia mulai dengan masalah menemukan area "segmen lingkaran" dengan lebar yang dapat disesuaikan $lateks x$. Ini adalah daerah di bawah lingkaran satuan, yang ditentukan oleh $lateks y=sqrt{1-x^2}$, yang terletak di atas bagian sumbu horizontal dari 0 sampai $lateks x$. di sini $lateks x$ bisa berupa angka dari 0 hingga 1, dan 1 adalah jari-jari lingkaran. Luas lingkaran satuan adalah pi, seperti yang diketahui Newton dengan baik, jadi ketika $lateks x=1$, luas di bawah kurva adalah seperempat lingkaran satuan, $latexfrac{ฯ}{4}$. Tetapi untuk nilai lain dari $lateks x$, tidak ada yang diketahui.
Jika Newton dapat menemukan cara untuk menentukan luas di bawah kurva untuk setiap nilai yang mungkin dari $lateks x$, itu mungkin memberinya cara yang belum pernah terjadi sebelumnya untuk memperkirakan pi. Itu awalnya rencana besarnya. Tapi di sepanjang jalan dia menemukan sesuatu yang lebih baik: sebuah metode untuk mengganti kurva rumit dengan jumlah tak terbatas dari blok bangunan sederhana yang terbuat dari kekuatan $lateks x$.
Langkah pertama Newton adalah menalar dengan analogi. Alih-alih mengarahkan langsung ke area segmen melingkar, ia menyelidiki area segmen analog yang dibatasi oleh kurva berikut:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton tahu bahwa area di bawah kurva dalam daftar dengan pangkat bilangan bulat (seperti $latex frac{0}{2}=0$ dan $latex frac{2}{2} = 1$) akan mudah dihitung, karena disederhanakan secara aljabar. Sebagai contoh,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Demikian pula,
Tetapi penyederhanaan seperti itu tidak tersedia untuk persamaan lingkaran โ $lateks y_1 = kuadrat {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$โ atau kurva lain dengan setengah pangkat. Pada saat itu, tidak ada yang tahu bagaimana menemukan area di bawah salah satu dari mereka.
Untungnya, area di bawah kurva dengan kekuatan bilangan bulat sangat jelas. Ambil kurva $lateks y_4=1-2x^2+x^4$. Aturan yang terkenal pada saat itu untuk fungsi-fungsi seperti itu memungkinkan Newton (dan siapa pun) menemukan luas dengan cepat: Untuk pangkat bilangan bulat $lateks nge 0$, luas di bawah kurva $lateks y=x^n$ lebih interval dari $lateks 0$ untuk $lateks x$ diberikan oleh $lateks frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis telah menebak aturan ini dengan metode induktifnya, dan Pierre de Fermat membuktikannya secara meyakinkan.) Berbekal aturan ini, Newton mengetahui bahwa luas di bawah kurva $lateks y_4$ adalah $lateks x-frac{2x^3}{3 } + pecahan{x^5}{5}$.
Aturan yang sama memungkinkan dia untuk menemukan area di bawah kurva lain dengan kekuatan bilangan bulat dalam daftar di atas. Mari kita tulis $lateks A_n$ untuk luas di bawah kurva $lateks y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, di mana $lateks n= 0, 1, 2, โฆ$ . Menerapkan aturan menghasilkan
$lateks A_0=x$
$lateks A_1 = hspace{.295em}?$
$lateks A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$lateks A_3 = hspace{.295em}?$
$lateks A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$lateks A_5 =hspace{.295em}? $
$lateks A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 โ frac{1}{7}x^7$
dan seterusnya. Ide licik Newton adalah untuk mengisi celah, berharap untuk menebak $latexA_1$ (deret untuk area yang tidak diketahui dari segmen lingkaran) berdasarkan apa yang bisa dia lihat di seri lainnya. Satu hal yang segera jelas: Setiap $latexA_n$ dimulai hanya dengan $latex x$ . Itu menyarankan untuk mengubah formula seperti ini:
$lateks A_0=x$
$lateks A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateks A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$lateks A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateks A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$lateks A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateks A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 โ frac{1}{7}x^7$.
Kemudian, untuk mengganti kumpulan tanda tanya berikutnya, Newton melihat istilah $lateks x^3$. Dengan sedikit lisensi, kita dapat melihat bahwa $latexA_0$ pun memiliki salah satu dari suku kubik ini, karena kita dapat menulis ulang sebagai $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Seperti yang dijelaskan Newton kepada Leibniz, ia mengamati โbahwa suku kedua $lateks frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ dll., berada dalam barisan aritmatikaโ (dia mengacu pada 0, 1, 2, 3 dalam pembilang). Karena curiga bahwa deret aritmatika ini mungkin juga meluas ke celahnya, Newton menduga bahwa seluruh barisan pembilang, yang diketahui dan yang tidak diketahui, seharusnya merupakan bilangan yang dipisahkan oleh $lateks frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 ...)$ โdan karenanya dua suku pertama dari deret ituโ yang ia minati โ $lateks A_1$ yang masih belum diketahui , $lateks A_3$ dan $lateks A_5$ โ โseharusnya $lateks x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$, dll.โ
Jadi, pada tahap ini pola menyarankan kepada Newton bahwa $lateks A_1$ harus dimulai sebagai
$lateks A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + โฆ$.
Ini adalah awal yang baik, tetapi dia membutuhkan lebih banyak. Saat ia mencari pola lain, Newton memperhatikan bahwa penyebut dalam persamaan selalu berisi bilangan ganjil dalam urutan yang meningkat. Misalnya, lihat $lateks A_6$, yang memiliki 1, 3, 5 dan 7 dalam penyebutnya. Pola yang sama bekerja untuk $lateks A_4$ dan $lateks A_2$. Cukup sederhana. Pola itu rupanya bertahan di semua penyebut semua persamaan.
Yang tersisa adalah menemukan pola pada pembilangnya. Newton memeriksa $lateks A_2$, $lateks A_4$ dan $lateks A_6$ lagi dan menemukan sesuatu. Dalam $lateks A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ dia melihat angka 1 mengalikan $lateks x$ dan 1 lainnya dalam istilah $lateksfrac {1}{3}x^3$ (dia mengabaikannya tanda negatif untuk saat ini). Dalam $lateks A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$, ia melihat pembilang 1, 2, 1. Dan dalam $lateks A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , dia melihat pembilang 1, 3, 3, 1. Angka-angka ini pasti familiar bagi siapa saja siapa yang pernah mempelajari segitiga Pascal, susunan angka segitiga yang, paling sederhana, dibuat dengan menjumlahkan angka-angka di atasnya, dimulai dengan 1 di atas.
Alih-alih memanggil Pascal, Newton menyebut pembilang ini sebagai "kekuatan angka 11." Misalnya, 112 = 121, yang merupakan baris kedua dalam segitiga, dan 113 = 1331, yang merupakan yang ketiga. Saat ini angka-angka ini juga disebut koefisien binomial. Mereka muncul ketika Anda memperluas kekuatan binomial seperti ($lateks a +b$), seperti pada $lateks (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Dengan pola ini di tangan, Newton sekarang memiliki cara mudah untuk menuliskan $lateks A_2, A_4, A_6$, dan semua bilangan genap lainnya A'S.
Selanjutnya, untuk mengekstrapolasi hasilnya menjadi setengah pangkat dan subskrip bernomor ganjil (dan akhirnya mendapatkan deret yang dia inginkan, $lateks A_1$), Newton perlu memperluas segitiga Pascal ke rezim baru yang fantastis: setengah jalan di antara baris. Untuk melakukan ekstrapolasi, ia menurunkan rumus umum untuk koefisien binomial di setiap baris segitiga Pascal โ baris $lateks m$ โ dan kemudian dengan berani memasukkan $lateks m= frac{1}{2}$. Dan luar biasa, itu berhasil. Itu memberinya pembilang dalam seri yang dia cari untuk lingkaran satuan, $latexA_1$.
Di sini, dengan kata-kata Newton sendiri, adalah ringkasannya kepada Leibniz tentang pola-pola yang dia perhatikan secara induktif hingga tahap ini dalam argumen:
Saya mulai merenungkan bahwa penyebut 1, 3, 5, 7, dst. berada dalam barisan aritmatika, sehingga koefisien numerik dari pembilangnya saja masih perlu diselidiki. Tetapi di area yang diberikan secara bergantian, ini adalah angka kekuatan dari angka 11 โฆ yaitu, '1' pertama; lalu '1, 1'; ketiga, '1, 2, 1'; keempat '1, 3, 3, 1'; kelima '1, 4, 6, 4, 1' dll. dan saya mulai menanyakan bagaimana sisa angka dalam deret tersebut dapat diturunkan dari dua angka pertama yang diberikan, dan saya menemukan bahwa dengan menempatkan $lateks m$ untuk angka kedua gambar, sisanya akan dihasilkan oleh perkalian terus-menerus dari suku-suku deret ini,
$lateks frac{m-0}{1} kali frac{m-1}{2} kali frac {m-2}{3} kali frac{m-3}{4} kali frac {m-4}{5 }$, dll.
โฆ Oleh karena itu saya menerapkan aturan ini untuk menyisipkan deret di antara deret, dan karena, untuk lingkaran, suku kedua adalah $lateks frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, saya menempatkan $lateks m=frac{1}{2}$, dan istilah yang muncul adalah
$latex frac {1}{2} kali frac{frac{1}{2}-1}{2}$ atau $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} kali frac{frac{1}{2}-2}{3}$ atau $latex + frac{1}{16}$,
$lateks frac{1}{16} kali frac{frac{1}{2}-3}{4}$ atau $lateks โ frac {5}{128}$,jadi tak terhingga. Dari mana saya memahami bahwa area segmen melingkar yang saya inginkan adalah
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Terakhir, dengan memasukkan $latex x=1$, Newton dapat memperoleh jumlah tak terhingga untuk $latexfrac{ฯ}{4}$. Itu adalah temuan penting, tetapi ternyata ada cara yang lebih baik untuk memperkirakan pi melalui jumlah tak terbatas, seperti yang segera ditemukan Newton sendiri setelah terjun awal ke jenis jumlah tak terbatas ini, yang sekarang disebut deret pangkat. Akhirnya dia menghitung 15 digit pertama pi.
Kembali ke masalah segmen lingkaran, Newton menyadari bahwa persamaan untuk lingkaran itu sendiri (bukan hanya luas di bawahnya) juga dapat diwakili oleh deret pangkat. Yang perlu dia lakukan hanyalah menghilangkan penyebut dan mengurangi pangkat $lateks x$ sebanyak 1 dalam rangkaian pangkat yang ditampilkan di atas. Jadi dia dituntun untuk menebak itu
Untuk menguji apakah hasil ini masuk akal, Newton mengalikannya dengan dirinya sendiri: โMenjadi $lateks 1-x^2$, suku-suku yang tersisa menghilang dengan kelanjutan deret hingga tak terhingga.โ
Mundur sedikit dari detailnya, kita melihat beberapa pelajaran di sini tentang pemecahan masalah. Jika masalah terlalu sulit, ubahlah. Jika tampaknya terlalu spesifik, buatlah generalisasi. Newton melakukan keduanya dan mendapatkan hasil yang lebih penting dan lebih kuat dari apa yang awalnya dia cari.
Newton tidak keras kepala terpaku pada seperempat lingkaran. Dia melihat bentuk yang jauh lebih umum, setiap segmen melingkar dengan lebar $lateks x$. Alih-alih berpegang pada $lateks x=1$, ia membiarkan $lateks x$ berjalan bebas dari 0 hingga 1. Hal itu mengungkapkan karakter binomial dari koefisien dalam deretnya โ kemunculan angka yang tidak terduga dalam segitiga Pascal dan generalisasinya โ yang biarkan Newton melihat pola yang terlewatkan oleh Wallis dan yang lainnya. Melihat pola-pola itu kemudian memberi Newton wawasan yang dia butuhkan untuk mengembangkan teori deret pangkat secara lebih luas dan umum.
Dalam karya selanjutnya, seri daya Newton memberinya pisau Swiss Army untuk kalkulus. Dengan mereka, dia bisa mengerjakan integral, menemukan akar persamaan aljabar, dan menghitung nilai sinus, cosinus, dan logaritma. Seperti yang dia katakan, "Dengan bantuan mereka, analisis mencapai, hampir bisa dikatakan, untuk semua masalah."
Pesan moral: Merubah suatu masalah bukanlah curang. Ini kreatif. Dan itu mungkin kunci untuk sesuatu yang lebih besar.
