Kami tugas teka-teki bulan lalu adalah untuk menyimpan Star Trek pesta permukaan delapan dipimpin oleh Enterprise petugas Komunikasi Letnan Uhura (dimainkan oleh almarhum Nichelle Nichols). Para kru dipenjara oleh ras alien, Catenati, di sebuah planet di Kalung Nebula. Untuk melarikan diri, mereka harus memaksimalkan kemungkinan mereka melakukan tugas yang pada awalnya tampaknya hanya menawarkan kemungkinan keberhasilan yang suram.
Awak delapan diberitahu tentang tugas sementara ditahan sementara di ruang bersama di mana mereka bebas untuk berkomunikasi dan menyusun strategi. Dalam beberapa jam, mereka akan dibawa, satu per satu, ke sebuah ruangan yang disebut ruang roulette. Ruangan ini memiliki delapan tombol yang disusun berjajar, yang masing-masing diprogram untuk merespons anggota kru yang berbeda. Untuk menyesatkan kru, setiap tombol secara acak disalahartikan dengan nama anggota kru lainnya. Setiap anggota kru diizinkan untuk menekan hingga empat tombol, dalam urutan apa pun. Setiap kali mereka menekan tombol, mereka akan melihat milik siapa tombol itu sebenarnya. Dalam empat kali percobaan mereka, mereka harus menemukan tombol yang diberikan kepada mereka. Agar kru bebas, mereka semua harus berhasil dalam tugas ini. Jika bahkan salah satu dari mereka gagal, semua akan dieksekusi. Setelah seorang anggota kru menyelesaikan upaya mereka, mereka harus diisolasi tanpa cara untuk menyampaikan informasi kepada rekan kru mereka.
Peluang sukses tampaknya sangat kecil. Jika anggota kru memilih tombol secara acak, masing-masing akan memiliki peluang 1 banding 2 untuk menemukan tombol mereka. Peluang semua delapan berhasil hanya 1 dari 256, atau sekitar 0.4%.
Tetapi mereka tidak harus menekan tombol secara acak. Salah satu cara untuk meningkatkan kemungkinan keberhasilan adalah dengan meratakan semua penekanan tombol dengan cara tertentu. Ini membawa kita ke pertanyaan teka-teki pertama kita.
Teka-teki 1
Seberapa besar kemungkinan bertahan hidup kru dapat ditingkatkan jika mereka memastikan setiap tombol ditekan sama seringnya (daripada menekan empat tombol secara acak)?
Rob Corlett dan JPayette menjawab ini dengan baik, seperti yang mereka lakukan pada semua pertanyaan lainnya. Adapun ide sentral yang sulit dipahami di balik teka-teki di kolom ini, Rob Corlett, JPayette dan Jouni Seppenen menggambarkannya dengan indah, sementara Sacha Bugon menyumbangkan solusi komputer.
Inilah jawaban Rob Corlett:
Salah satu cara untuk memastikan bahwa setiap tombol ditekan dengan jumlah yang sama adalah dengan memisahkan tahanan menjadi dua kelompok berukuran sama yang terdiri dari 4 orang.
Setiap grup hanya menekan tombol yang sesuai dengan anggota grup mereka. Jadi, jika A, B, C, dan D semuanya berada dalam subgrup yang sama, mereka hanya menekan tombol A, B, C, dan D.
Ini mengubah masalah menjadi menanyakan probabilitas bahwa setiap tahanan dialokasikan ke kelompok yang benar karena mereka dijamin akan menekan tombol mereka dalam empat kali penekanan atau kurang.
Banyaknya cara mengisi kelompok pertama (dan juga kelompok kedua) dengan empat orang adalah banyaknya cara memilih 4 dari 8 yaitu C(8, 4) = 70. mengalokasikan semua orang ke dalam dua kelompok adalah 70.
Hanya ada satu alokasi yang dengan benar mengalokasikan setiap tahanan ke kelompok yang tepat sehingga kemungkinan setiap orang berada di kelompok yang tepat dan semua tahanan yang selamat adalah 1/70 yang 3.66 kali lebih baik dari 1/256 dari strategi sebelumnya. [Tapi itu masih sangat kecil: hanya peluang 1.4%.]
Teka-teki 2
Ada cara untuk meningkatkan peluang suram asli lebih dari 90 kali lipat, menjadi sekitar 36.5%, yang tampaknya ajaib! Strategi ini melibatkan penggunaan loop atau rantai tebakan — maka referensi ke Nebula Kalung dan Catenati (rantai adalah bahasa Latin untuk rantai). Dalam bentuk dasar strategi, setiap anggota kru memulai dengan menekan tombol bertuliskan nama mereka, kemudian melanjutkan ke tombol bertuliskan nama anggota kru yang tombol pertama sebenarnya milik, dan seterusnya, membuat rantai nama.
Mari kita lihat bagaimana ini bekerja dalam praktik. Dalam diagram, tombol ditampilkan dengan label berwarna putih. Huruf biru di bawah ini menunjukkan pemilik sebenarnya dari tombol tersebut. Ketika anggota kru pertama, A, memasuki ruang roulette, dia menekan tombol A terlebih dahulu. Ini adalah tombol C, jadi dia menekan tombol C berikutnya, lalu tombol E dan akhirnya tombol F, yang sebenarnya adalah tombol A sendiri, jadi dia telah berhasil menemukannya dalam empat kali percobaan. Perhatikan bahwa tombol ACEF membentuk loop tertutup dari empat tombol. Ketika anggota kru C, E dan F bergiliran, mereka juga akan berputar di loop tertutup yang sama, mulai dari tempat mereka masing-masing, dan juga menemukan tombol mereka sendiri dalam empat kali percobaan.
Susunan ini juga memiliki dua loop kecil yang masing-masing terdiri dari dua tombol: BD dan GH. Keempat anggota kru ini akan menemukan tombol mereka sendiri dalam dua kali percobaan. Jadi, dengan pengaturan ini, semua anggota kru akan berhasil, dan mereka akan mendapatkan kebebasannya. Jelas bahwa jika pengaturan hanya berisi loop dengan panjang 4 atau kurang, semua anggota kru akan berhasil dan akan dibebaskan. Jika, di sisi lain, ada satu loop dari 5 atau lebih, maka semua anggota kru pada loop itu akan gagal menemukan tombol mereka dalam empat kali percobaan, dan kru akan dieksekusi. Untuk mencari peluang sukses, kita dapat mencari peluang munculnya loop 5, 6, 7 atau 8, jumlahkan, dan kurangi jumlah itu dari 1. Ini lebih mudah dihitung daripada cara lain karena untuk delapan tombol, hanya ada satu loop yang memiliki 5, 6, 7 atau 8 anggota.
Ada 8! cara yang berbeda untuk mengatur delapan tombol. Tetapi ketika kita membuat loop, loop yang sama menyumbang delapan dari pengaturan ini (ABCDEFGH membentuk loop yang sama dengan BCDEFGHA, yang sama dengan CDEFGHAB, dll.). Jadi peluang memiliki loop berukuran 8 adalah (8!/8)/8!, yang hanya 1/8. Demikian pula, probabilitas memiliki loop ukuran 7 adalah 1/7, ukuran 6 adalah 1/6, dan ukuran 5 adalah 1/5. Oleh karena itu, probabilitas keberhasilan kru pemberani kami adalah 1 (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8), atau 36.5%, seperti yang disebutkan sebelumnya.
Strategi di atas bekerja untuk sejumlah tahanan, dan peningkatan peluang atas pendekatan acak meningkat dengan cepat seiring dengan meningkatnya jumlah itu. Ini sekitar tujuh kali lipat untuk empat tahanan, 24 kali lipat untuk enam orang, 93 kali lipat untuk delapan orang dan menakjubkan (3.8 × 1029)-lipat untuk 100 tahanan. Kunci untuk memahami peningkatan yang luar biasa ini adalah bahwa metode ini mengikat keberhasilan atau kegagalan setiap anggota kelompok dengan yang lain. Untuk sebagian besar, mereka semua berhasil atau gagal bersama-sama. Probabilitas keberhasilan kelompok tidak turun terlalu banyak dari satu orang, turun hanya dari 50% untuk satu tahanan menjadi 30.69% karena jumlah tahanan meningkat tanpa batas. Di sisi lain, kemungkinan keberhasilan pendekatan acak atau bahkan pendekatan “tekanan genap” menurun dengan cepat hingga mendekati nol bahkan untuk sejumlah kecil tahanan.
Jika logika di balik strategi ini masih tampak kabur, berikut adalah analisis masalah 100 narapidana di sini video luar biasa oleh Veritasium.
Teka-teki 3
Teka-teki ini tentang Letnan Uhura yang mengingat permainan masa kecil, yang pada dasarnya adalah teka-teki yang sama, tetapi untuk enam orang. Sebagai petunjuk, saya menyarankan untuk menyelesaikan masalah untuk empat orang. Sekarang kita memiliki rumus, kita dapat dengan mudah menghitung probabilitas.
Untuk empat orang, probabilitas bahwa loop terpanjang hanya 2 atau 1 adalah: 1 (1/3 + 1/4) atau 41.7% dengan keuntungan tujuh kali lipat dari pilihan acak.
Untuk enam orang, probabilitas bahwa loop terpanjang adalah 3, 2 atau 1 adalah: 1 (1/4 + 1/5 + 1/6) atau 38.3% dengan keuntungan lebih dari 24 kali lipat dari pilihan acak.
Teka-teki 4
Saat cerita kita berlanjut, ternyata salah satu Catenati sangat tidak menyukai Enterprise kru dan memantau mereka dari jarak jauh. Dia menduga bahwa mereka telah menemukan beberapa strategi yang efektif berdasarkan diagram Uhura. Dia bertekad untuk menggagalkan rencana mereka dengan menyelinap ke dalam ruangan dan dengan sengaja mengubah urutan label tombol sebelum roulette dimulai. Bisakah dia berhasil menggagalkan rencananya? Apa yang harus disembunyikan dengan sangat hati-hati oleh pihak pendaratan?
Sangat awal dalam diskusi strategi kru, mata Uhura tiba-tiba menyipit. Dia memberi isyarat kepada krunya, dan dia beralih untuk berbicara dalam bahasa Nicholese, mengumumkan, “Tolong semua diskusi lebih lanjut dalam bahasa Nicholese.” Nicholese adalah bahasa baru yang diciptakan Uhura di awal karirnya hanya untuk situasi seperti ini, untuk menghindari penggunaan penerjemah universal. "Kamu pasti memperhatikan Catenati yang mencurigakan itu," lanjutnya. “Dia bisa mencoba menyabot kita, jadi kita perlu mengubah rencana kita. Inilah yang perlu kita lakukan…”
Uhura menguraikan rencana baru itu sampai dia puas bahwa setiap anggota krunya mengetahuinya dengan baik. Kemudian dia merenung, dengan tatapan jauh di matanya, “Saya menamai Nicholese setelah aktris ikonik abad ke-20. Saya senang saya bersikeras bahwa Starfleet menjadikannya standar di semua kapal kami.”
Dia kembali ke kru. “Itu saja, petugas. Kamu tahu apa yang harus dilakukan!"
Kami tidak tahu persis apa yang dikatakan Uhura kepada timnya. Tapi JPayette dan Rob Corlett punya ide bagus. Ini Rob Corlett lagi:
Jika Catenati yang jahat mendengar bahwa mereka menggunakan strategi ini, maka dia dapat mengganti nama yang ditampilkan di layar untuk memastikan bahwa ada siklus yang lebih panjang dari 4.
Untuk memecahkan ini maka para tahanan harus menyetujui perintah rahasia yang mengacak urutannya. Mereka melakukan ini dengan mengatakan sesuatu seperti “jika Anda melihat nama Uhura, lalu pergi ke tombol bertanda Chekov. Jika Anda melihat nama Chekov ditampilkan, buka tombol bertanda Smith, dll.”
Dengan cara ini, penataan ulang oleh Catenati tidak menjadi masalah karena hanya berfungsi jika Anda tahu cara kru akan merespons nama-nama di layar. Mereka perlu merahasiakan pemesanan ulang, jika tidak maka bisa rusak lagi.
Seperti yang kita lihat, Uhura memastikan bahwa rahasianya akan tetap aman. Setiap anggota kru hanya perlu menggunakan perintah rahasia yang sama dan memastikan bahwa Catenati yang jahat tidak tahu apa itu. Faktanya, perintah yang diubah oleh Catenati yang jahat sebenarnya meningkatkan kemungkinan kru untuk berhasil!
Inilah yang terjadi. Uhura adalah orang pertama yang dibawa ke ruang roulette. Dia menekan tiga tombol. Tidak ada yang miliknya. Haruskah dia sedih atau senang? Dia menahan napas dan menekan keempatnya. Dia telah menemukan tombol aslinya!
Dia tahu mereka semua akan diselamatkan.
Teka-teki 5
Berapa batas persentase keberhasilan maksimum yang mendekati karena ukuran partai pendaratan meningkat tanpa batas? Bisakah Anda menjelaskan mengapa metode ini jauh lebih efisien daripada menekan tombol secara acak?
JPayette menulis:
Semua hal di atas digeneralisasikan secara langsung ke kru 2n anggota masing-masing diizinkan untuk menekan paling banyak n tombol. Dari Puzzle 2, kami menyimpulkan bahwa peluang mereka untuk berhasil adalah
1 (jumlah lebih k antara n + 1 dan 2n dari 1/k).
Jumlahnya dapat dibandingkan dengan integral dari 1/x selama interval [n, 2n], yang memungkinkan kita untuk membuktikan bahwa sebagai n tumbuh hingga tak terbatas, probabilitas di atas berkurang untuk menyatu menjadi 1 ln(2) 30.6% yang menakjubkan. [Sebenarnya 30.69% hingga dua tempat desimal.]
Rob Corlett menambahkan:
Jika Anda tidak mengetahui integrasinya, Anda dapat dengan cepat mendapatkan jawaban perkiraan dengan menghitung menggunakan spreadsheet. Saya mencapai 0.307 sekali n mencapai sekitar 750 yang akurat hingga 3 tempat desimal.
Kami telah menjelaskan di atas mengapa metode ini berhasil. Semua loop yang lebih panjang dari 1 digunakan bersama oleh beberapa anggota kru. Jadi keberhasilan dan kegagalan mereka sangat berkorelasi. Ini adalah ilustrasi dari prinsip “Semua untuk satu, dan satu untuk semua.” Langsung dari manual Starfleet!
Terima kasih kepada semua kontributor kami. JPayette dan Rob Corlett keduanya mengirimkan jawaban berharga yang membuat kolom solusi ini tampak hampir berlebihan. Sayangnya, saya harus tetap berpegang pada aturan kami untuk memilih satu pemenang per kolom teka-teki. Hadiah Wawasan diberikan kepada JPayette sebagai pengakuan atas kontribusi di sini dan di teka-teki sebelumnya. Selamat! Rob Corlett, kontribusi Anda tidak akan terlupakan.
Sampai jumpa bulan depan untuk Wawasan baru!
