Matematikawan Menyelesaikan Quest untuk Membangun 'Kubus Bulat'

Pada abad keempat, ahli matematika Yunani Pappus dari Aleksandria memuji lebah karena "pemikiran geometris" mereka. Struktur heksagonal sarang lebah mereka tampak seperti cara optimal untuk membagi ruang dua dimensi menjadi sel-sel dengan luas yang sama dan perimeter minimal — memungkinkan serangga untuk mengurangi berapa banyak lilin yang mereka butuhkan untuk diproduksi, dan menghabiskan lebih sedikit waktu dan energi untuk membangun sarang mereka. sarang lebah.

Atau begitulah hipotesis Pappus dan yang lainnya. Selama ribuan tahun, tidak ada yang bisa membuktikan bahwa segi enam itu optimal - sampai akhirnya, pada tahun 1999, ahli matematika Thomas Hales menunjukkan bahwa tidak ada bentuk lain yang lebih baik. Saat ini, ahli matematika masih belum mengetahui bentuk mana yang dapat menyusun tiga dimensi atau lebih dengan luas permukaan sekecil mungkin.

Masalah "busa" ini ternyata memiliki aplikasi yang luas - untuk fisikawan yang mempelajari perilaku gelembung sabun (atau busa) dan ahli kimia yang menganalisis struktur kristal, untuk ahli matematika yang mengeksplorasi pengaturan pengepakan bola dan ahli statistik yang mengembangkan teknik pemrosesan data yang efektif .

Pada pertengahan 2000-an, formulasi khusus dari masalah busa juga menarik perhatian para ilmuwan komputer teoretis, yang mengejutkan mereka, menemukan bahwa itu sangat terkait dengan masalah terbuka yang penting di bidang mereka. Mereka dapat menggunakan koneksi itu untuk menemukan bentuk baru berdimensi tinggi dengan luas permukaan minimal.

"Saya suka bolak-balik ini," kata Assaf Naor dari Universitas Princeton. “Beberapa matematika lama menjadi relevan dengan ilmu komputer; ilmu komputer membayar kembali dan memecahkan pertanyaan dalam matematika. Sangat menyenangkan ketika ini terjadi.

Namun bentuk itu, meski optimal, kehilangan sesuatu yang penting: fondasi geometris. Karena keberadaannya telah dibuktikan menggunakan teknik dari ilmu komputer, geometri sebenarnya sulit dipahami. Itulah yang Naor, bersama dengan Regev Oded, seorang ilmuwan komputer di Courant Institute di New York University, bersiap untuk mengoreksi bukti diposting online bulan lalu.

“Ini adalah akhir cerita yang sangat bagus,” kata Regev.

Busa Kubikal

Matematikawan telah mempertimbangkan versi lain dari masalah busa — termasuk apa yang terjadi jika Anda hanya diizinkan untuk mempartisi ruang menurut apa yang disebut kisi bilangan bulat. Dalam versi soal tersebut, Anda mengambil susunan persegi dari titik-titik yang berjarak sama (masing-masing terpisah 1 unit) dan menjadikan setiap titik tersebut sebagai pusat bentuk. Masalah busa "kubik" menanyakan berapa luas permukaan minimal saat Anda diharuskan memasang ruang dengan cara ini.

Para peneliti awalnya tertarik untuk memberlakukan batasan ini untuk memahami sifat-sifat ruang topologi yang disebut manifold. Tetapi pertanyaan itu memiliki kehidupannya sendiri, menjadi relevan dalam analisis data dan aplikasi lainnya.

Ini juga menarik secara geometris, karena mengubah arti "optimal". Dalam dua dimensi, misalnya, heksagon beraturan tidak dapat lagi menyusun bidang jika hanya dapat digeser dengan jumlah bilangan bulat dalam arah horizontal dan vertikal. (Anda harus memindahkannya dengan jumlah yang tidak rasional di salah satu dari dua arah.)

Kotak bisa. Tapi apakah itu yang terbaik yang bisa dilakukan? Sebagai ahli matematika Jaigyoung Choe ditemukan pada tahun 1989, jawabannya adalah tidak. Bentuk optimalnya adalah segi enam yang telah tergencet ke satu arah dan memanjang ke arah lain. (Keliling segi enam kira-kira 3.86 jika luasnya 1 mengalahkan keliling bujur sangkar 4.)

Perbedaan ini mungkin tampak sepele, tetapi menjadi jauh lebih besar dalam dimensi yang lebih tinggi.

Di antara semua bentuk volume tertentu, yang meminimalkan luas permukaan adalah bola. Sebagai n, jumlah dimensi, bertambah, luas permukaan bola bertambah sebanding dengan akar kuadrat dari n.

Tapi bola tidak bisa membentuk ruang tanpa meninggalkan celah. Di sisi lain, sebuah n-kubus dimensi volume 1 kaleng. Tangkapannya adalah bahwa luas permukaannya adalah 2n, tumbuh dalam proporsi langsung dengan dimensinya. Kubus 10,000 dimensi volume 1 memiliki luas permukaan 20,000 — jauh lebih besar dari 400, perkiraan luas permukaan bola 10,000 dimensi.

Maka para peneliti bertanya-tanya apakah mereka dapat menemukan "kubus bulat" - bentuk ubin n-ruang dimensi, seperti kubus, tetapi luas permukaannya tumbuh perlahan, seperti bola.

Sepertinya tidak mungkin. "Jika Anda ingin gelembung Anda mengisi ruang dengan tepat dan dipusatkan pada kisi kubik ini, sulit untuk memikirkan apa yang akan Anda gunakan kecuali gelembung kubik," kata Ryan O'Donnel, seorang ilmuwan komputer teoretis di Carnegie Mellon University. "Tampaknya kubus itu harus menjadi yang terbaik."

Kita sekarang tahu bahwa itu tidak benar.

Kerasnya Masalah yang Sulit

Selama beberapa dekade, masalah buih kubus relatif tidak tereksplorasi dalam dimensi yang lebih tinggi. Para peneliti pertama yang membuat kemajuan bukan berasal dari bidang geometri tetapi dari ilmu komputer teoretis. Mereka menemukannya secara kebetulan, sambil mencari cara untuk membuktikan pernyataan sentral di bidang mereka yang dikenal sebagai tebakan game unik. “Dugaan permainan yang unik,” kata Regev, “adalah apa yang saya lihat saat ini sebagai pertanyaan terbuka terbesar dalam ilmu komputer teoretis.”

Diusulkan pada tahun 2002 oleh Subhas Khot, seorang mahasiswa pascasarjana pada saat itu, dugaan menyatakan bahwa jika masalah tertentu - yang melibatkan penetapan warna ke node jaringan - tidak dapat diselesaikan dengan tepat, maka menemukan solusi perkiraan pun sangat sulit. Jika benar, dugaan tersebut akan memungkinkan para peneliti untuk memahami kompleksitas berbagai macam tugas komputasi lainnya dalam satu gerakan.

Ilmuwan komputer sering mengklasifikasikan tugas berdasarkan apakah tugas tersebut dapat diselesaikan dengan algoritme yang efisien, atau apakah tugas tersebut "NP-hard" (artinya tugas tersebut tidak dapat diselesaikan secara efisien saat ukuran masalah bertambah, selama diyakini secara luas). tetapi dugaan yang belum terbukti tentang kompleksitas komputasi adalah benar). Misalnya, masalah wiraniaga keliling, yang menanyakan jalur terpendek yang diperlukan untuk mengunjungi setiap kota dalam jaringan hanya sekali, adalah NP-hard. Begitu juga dengan menentukan apakah suatu graf — kumpulan simpul yang dihubungkan oleh tepi — dapat diberi label dengan paling banyak tiga warna sehingga setiap dua simpul yang terhubung memiliki warna yang berbeda.

Ternyata NP-sulit untuk menemukan solusi perkiraan untuk banyak tugas ini. Katakanlah Anda ingin memberi label simpul grafik dengan warna berbeda dengan cara yang memenuhi beberapa daftar batasan. Jika NP-sulit untuk memenuhi semua batasan itu, bagaimana dengan mencoba memenuhi hanya 90%, atau 75%, atau 50%? Di bawah ambang tertentu, dimungkinkan untuk menghasilkan algoritme yang efisien, tetapi di atas ambang itu, masalahnya menjadi NP-hard.

Selama beberapa dekade, ilmuwan komputer telah bekerja untuk menentukan ambang batas untuk berbagai masalah pengoptimalan yang menarik. Tetapi beberapa pertanyaan menghindari deskripsi semacam ini. Sementara suatu algoritme mungkin menjamin 80% dari solusi terbaik, mungkin NP-hard untuk mencapai 95% dari solusi terbaik, meninggalkan pertanyaan yang tidak pasti tentang di mana tepatnya antara 80% dan 95% masalah mengarah ke wilayah NP-hard.

Dugaan permainan unik, atau UGC, menawarkan cara untuk segera menentukan jawabannya. Itu membuat pernyataan yang pada awalnya tampak lebih terbatas: bahwa NP-sulit untuk membedakan antara grafik yang dapat Anda penuhi hampir semua rangkaian batasan pewarnaan tertentu (katakanlah, lebih dari 99%) dan grafik untuk yang hampir tidak dapat Anda puaskan (katakanlah, kurang dari 1%).

Tapi tak lama setelah UGC diusulkan pada tahun 2002, para peneliti menunjukkan bahwa jika dugaan itu benar, maka Anda dapat dengan mudah menghitung ambang kekerasan untuk masalah kepuasan kendala. (Hal ini karena UGC juga menyiratkan bahwa algoritme yang diketahui mencapai kemungkinan pendekatan terbaik untuk semua masalah ini.) "Itu justru kunci pas untuk semua masalah pengoptimalan ini," kata O'Donnell.

Maka para ilmuwan komputer teoretis berangkat untuk membuktikan UGC - sebuah tugas yang pada akhirnya membuat beberapa dari mereka menemukan kubus berbentuk bola.

Membuat Masalah Sulit Menjadi Lebih Keras

Pada tahun 2005, O'Donnell bekerja di Microsoft Research. Dia dan dua rekannya— Uriel Feige, sekarang di Institut Sains Weizmann, dan Teman Kindler, sekarang di Hebrew University of Jerusalem — bekerja sama untuk menangani UGC.

Mereka memiliki gagasan yang kabur tentang bagaimana mereka ingin melanjutkan. Mereka akan mulai dengan pertanyaan tentang grafik — pertanyaan yang sangat mirip dengan UGC. Masalah yang disebut pemotongan maksimum ("pemotongan-maks") bertanya, ketika diberi grafik, bagaimana mempartisi simpulnya menjadi dua himpunan (atau warna) sehingga jumlah sisi yang menghubungkan himpunan-himpunan itu sebesar mungkin. (Anda dapat menganggap max cut sebagai pertanyaan tentang cara terbaik untuk mewarnai grafik dengan dua warna, sehingga sesedikit mungkin tepi menghubungkan simpul dengan warna yang sama.)

Jika UGC benar, itu akan menyiratkan bahwa, dengan beberapa grafik acak, algoritme perkiraan yang efisien hanya dapat mencapai sekitar 87% dari potongan maksimal sebenarnya dari grafik tersebut. Melakukan yang lebih baik akan menjadi NP-hard.

Feige, Kindler, dan O'Donnell malah ingin pergi ke arah yang berlawanan: Mereka berharap untuk menunjukkan bahwa pemotongan maksimal sulit untuk didekati, dan kemudian menggunakannya untuk membuktikan UGC. Rencana mereka mengandalkan kekuatan teknik yang disebut pengulangan paralel—strategi cerdas yang membuat masalah sulit menjadi lebih sulit.

Katakanlah Anda tahu bahwa sulit untuk membedakan antara masalah yang dapat Anda selesaikan dan yang sebagian besar dapat Anda selesaikan. Pengulangan paralel memungkinkan Anda membangunnya untuk menunjukkan hasil kekerasan yang jauh lebih kuat: bahwa juga sulit untuk membedakan antara masalah yang dapat Anda selesaikan dan yang hampir tidak dapat Anda selesaikan sama sekali. “Fenomena dalam yang tidak intuitif ini … ada di dalam banyak ilmu komputer saat ini,” kata Naor.

Tapi ada tangkapan. Pengulangan paralel tidak selalu memperkuat kekerasan masalah sebanyak yang diinginkan oleh para ilmuwan komputer. Secara khusus, ada aspek dari masalah max-cut yang “membuat sakit kepala besar untuk pengulangan paralel,” kata Regev.

Feige, Kindler, dan O'Donnell fokus untuk menunjukkan bahwa pengulangan paralel dapat berhasil meskipun sakit kepala. “Ini adalah hal yang sangat rumit untuk dianalisis,” kata Dan Moshkovitz, seorang ilmuwan komputer teoretis di University of Texas, Austin. “Tapi ini sepertinya sangat menggoda. Pengulangan paralel sepertinya akan [membantu membuat] koneksi ini dari potongan maksimal ke game unik.

Sebagai pemanasan, para peneliti mencoba memahami pengulangan paralel untuk kasus sederhana pemotongan maksimal, yang disebut Moshkovitz sebagai "potongan maksimal terbodoh". Pertimbangkan jumlah simpul ganjil yang dihubungkan oleh tepi untuk membentuk lingkaran, atau "siklus ganjil". Anda ingin memberi label pada setiap simpul dengan salah satu dari dua warna sehingga tidak ada pasangan simpul yang bertetangga yang memiliki warna yang sama. Dalam hal ini, itu tidak mungkin: Satu sisi akan selalu menghubungkan simpul dengan warna yang sama. Anda harus menghapus tepi itu, "memutus" siklus ganjil, agar grafik Anda memenuhi batasan masalah. Pada akhirnya, Anda ingin meminimalkan fraksi total tepi yang perlu Anda hapus untuk mewarnai grafik Anda dengan benar.

Pengulangan paralel memungkinkan Anda untuk mempertimbangkan versi dimensi tinggi dari masalah ini — di mana Anda harus mematahkan semua siklus ganjil yang muncul. Feige, Kindler, dan O'Donnell perlu menunjukkan bahwa karena jumlah dimensi menjadi sangat besar, Anda harus menghapus sebagian besar tepi untuk memutus semua siklus ganjil. Jika itu benar, itu berarti pengulangan paralel dapat secara efektif memperkuat kekerasan dari masalah "pemotongan maksimal yang bodoh" ini.

Saat itulah tim menemukan kebetulan yang aneh: Ada cara geometris untuk menafsirkan apakah pengulangan paralel akan bekerja seperti yang mereka harapkan. Rahasianya terletak pada luas permukaan busa kubik.

Dari Lemon ke Limun

Masalah mereka, ditulis ulang dalam bahasa busa, diringkas untuk menunjukkan bahwa kubus berbentuk bola tidak mungkin ada — bahwa mustahil untuk mempartisi ruang berdimensi tinggi di sepanjang kisi bilangan bulat menjadi sel dengan luas permukaan yang jauh lebih kecil daripada kubus. (Area permukaan yang lebih besar sesuai dengan kebutuhan untuk menghapus lebih banyak tepi "buruk" dalam grafik siklus ganjil, seperti yang diharapkan oleh para ilmuwan komputer.)

"Kami seperti, oh, masalah geometri yang aneh, tapi itu mungkin benar, bukan?" kata O'Donnell. "Kami benar-benar membutuhkan itu untuk menjadi jawaban yang benar." Tapi dia, Feige dan Kindler tidak bisa membuktikannya. Jadi pada tahun 2007, mereka menerbitkan sebuah makalah menguraikan bagaimana mereka berencana menggunakan masalah ini untuk membantu menyerang UGC.

Tak lama kemudian, harapan mereka pupus.

Ran Raz, seorang ilmuwan komputer teoretis di Princeton yang telah membuktikan beberapa hasil utama tentang pengulangan paralel, tertarik dengan makalah mereka. Dia memutuskan untuk menganalisis pengulangan paralel untuk masalah siklus ganjil, sebagian karena hubungannya dengan geometri yang telah ditemukan oleh Feige, Kindler, dan O'Donnell.

Raz tidak memulai dengan masalah busa tetapi menyerang versi ilmu komputer dari pertanyaan tersebut secara langsung. Dia menunjukkan bahwa Anda dapat lolos dengan menghapus jauh lebih sedikit sisi untuk memutus semua siklus ganjil dalam grafik. Dengan kata lain, pengulangan paralel tidak cukup memperkuat kekerasan masalah pemotongan maksimal ini. “Parameter yang diperoleh seseorang dari pengulangan paralel persis, tidak cukup untuk memberikan ini,” kata Moshkovitz.

“Rencana kami untuk menggunakan pengulangan paralel untuk menunjukkan kekerasan permainan unik bahkan tidak berhasil dalam kasus yang paling sederhana,” kata O'Donnell. “Hal semacam ini menghancurkan seluruh rencana.”

Meski mengecewakan, hasil Raz juga mengisyaratkan adanya kubus berbentuk bola: bentuk yang mampu disusun n-dimensi ruang dengan luas permukaan yang diskalakan sebanding dengan akar kuadrat dari n. "Kami seperti, mari kita membuat limun dari lemon dan mengambil hasil teknis yang mengecewakan tentang pengulangan paralel dan grafik diskrit, dan mengubahnya menjadi hasil geometri yang rapi dan menarik," kata O'Donnell.

Dia dan Kindler, bekerja sama dengan para ilmuwan komputer Anup Rao dan Avi Wigderson, meneliti bukti Raz sampai mereka mempelajari tekniknya dengan cukup baik untuk menerjemahkannya ke masalah busa. Pada 2008, mereka menunjukkan itu kubus bulat memang mungkin.

"Ini cara yang bagus untuk bernalar tentang masalah ini," kata Tandai Braverman dari Princeton. "Cantiknya."

Dan itu menimbulkan pertanyaan di sisi geometri cerita. Karena mereka telah menggunakan karya Raz pada pengulangan paralel untuk membangun bentuk ubin mereka, Kindler, O'Donnell, Rao, dan Wigderson berakhir dengan sesuatu yang jelek dan mirip Frankenstein. Ubinnya berantakan dan penuh lekukan. Dalam istilah matematika, itu bukan cembung. Sementara ini bekerja untuk tujuan mereka, kubus bulat tidak memiliki sifat yang disukai matematikawan - sifat yang membuat bentuk lebih konkret, lebih mudah untuk didefinisikan dan dipelajari, dan lebih cocok untuk aplikasi potensial.

“Ada sesuatu yang sangat tidak memuaskan tentang konstruksi mereka,” kata Regev. “Sepertinya amuba. Itu tidak terlihat seperti yang Anda harapkan, badan ubin yang bagus.

Itulah yang ingin dia dan Naor temukan.

Membebaskan Kandang

Sejak awal, Naor dan Regev menyadari bahwa mereka harus memulai dari awal. “Sebagian karena badan cembung sangat terbatas, tidak ada teknik sebelumnya yang memiliki peluang untuk bekerja,” kata Dor Minzer, seorang ilmuwan komputer teoretis di Massachusetts Institute of Technology.

Faktanya, sangat masuk akal bahwa kecembungan akan terlalu membatasi - bahwa kubus bola cembung tidak ada.

Tapi bulan lalu, Naor dan Regev membuktikan bahwa Anda bisa melakukan partisi n-ruang dimensi sepanjang koordinat bilangan bulat dengan bentuk cembung yang luas permukaannya cukup dekat dengan bola. Dan mereka melakukannya sepenuhnya secara geometris — mengembalikan masalah ke akar matematisnya.

Pertama-tama mereka harus melewati rintangan besar. Masalah busa kubik mengharuskan setiap ubin dipusatkan pada koordinat bilangan bulat. Namun dalam kisi bilangan bulat, terdapat jarak yang sangat pendek antara beberapa titik — dan jarak pendek tersebut menimbulkan masalah.

Pertimbangkan sebuah titik dalam kisi dua dimensi. Itu terletak 1 unit dari titik terdekatnya dalam arah horizontal dan vertikal. Namun dalam arah diagonal, titik terdekat berjarak $latex sqrt{2}$ unit — perbedaan yang semakin parah di ruang yang lebih besar. Dalam n-dimensi kisi bilangan bulat, titik terdekat masih berjarak 1 unit, tetapi titik "diagonal" tersebut sekarang berjarak $latex sqrt{n}$ unit. Dalam, katakanlah, 10,000 dimensi, ini berarti bahwa tetangga “diagonal” terdekat ke suatu titik berjarak 100 unit meskipun ada 10,000 titik lain (satu di setiap arah) yang hanya berjarak 1 unit.

Di kisi-kisi lain, kedua jenis jarak itu tumbuh sebanding satu sama lain. Matematikawan telah mengetahui selama beberapa dekade bagaimana memasang kisi-kisi seperti itu dengan bentuk cembung dengan luas permukaan minimal.

Namun dalam kisi bilangan bulat, jarak terpendek akan selalu macet di 1. Hal ini menghalangi pembuatan ubin yang tampak bagus dengan luas permukaan optimal. "Mereka seperti memasukkanmu ke dalam sangkar ini," kata Regev. "Mereka membuat segalanya sangat ketat di sekitarmu."

Jadi Naor dan Regev malah dianggap sebagai bagian dari keseluruhan n-dimensi ruang. Mereka dengan hati-hati memilih subruang ini sehingga masih kaya akan poin bilangan bulat, tetapi tidak ada poin yang terlalu berdekatan.

Dengan kata lain, subruang yang mereka hasilkan adalah jenis yang sudah diketahui oleh para matematikawan secara optimal.

Tapi ini hanya setengah dari pekerjaan. Naor dan Regev perlu mempartisi seluruh ruang, bukan hanya sebagian saja. Untuk mendapatkan n-kubus bulat berdimensi, mereka harus mengalikan ubin efisien mereka dengan ubin dari ruang yang tersisa (serupa dengan cara mengalikan persegi dua dimensi dengan ruas garis satu dimensi untuk mendapatkan kubus tiga dimensi). Melakukan hal itu akan mengangkat konstruksi mereka kembali ke ruang aslinya, tetapi juga akan menambah luas permukaannya.

Pasangan itu harus menunjukkan bahwa ubin dari ruang yang tersisa, yang tidak optimal, tidak menambah terlalu banyak area permukaan. Begitu mereka melakukan itu, konstruksi mereka selesai. (Luas permukaan bentuk akhir mereka akhirnya menjadi sedikit lebih besar daripada kubus bola non-cembung, tetapi mereka percaya bahwa mungkin untuk menemukan ubin cembung yang sama efisiennya dengan ubin non-cembungnya.)

"Bukti mereka benar-benar berbeda" dari pekerjaan sebelumnya pada kubus berbentuk bola, kata ahli matematika itu Noga Alon. “Dan kalau dipikir-pikir, itu mungkin bukti yang lebih alami. Inilah yang mungkin harus dicoba oleh seseorang untuk memulai.

“Ketika segala sesuatunya dilakukan secara berbeda,” tambah Raz, “terkadang Anda menemukan implikasi tambahan yang menarik.”

Harapan Dihidupkan Kembali

Belum jelas apa implikasinya — meskipun pekerjaan tersebut memanfaatkan potensi penggunaan kisi bilangan bulat dalam kriptografi dan aplikasi lainnya. Mengingat betapa terhubungnya masalah ini dengan bidang lain, "kemungkinan akan mengarah ke hal lain," kata Alon.

Saat ini, ilmuwan komputer tidak melihat cara untuk menginterpretasikan hasil cembung dalam bahasa pengulangan paralel dan UGC. Tapi mereka belum sepenuhnya menyerah pada rencana awal untuk menggunakan masalah busa untuk membuktikan dugaan tersebut. “Ada berbagai cara yang bisa Anda coba untuk menumbangkan penghalang yang jelas kami temui,” kata Kindler.

Braverman dan Minzer mencoba salah satu cara tersebut ketika mereka mengunjungi kembali busa pada tahun 2020. Alih-alih mensyaratkan bahwa bentuk ubin cembung, mereka meminta agar mengikuti simetri tertentu, sehingga terlihat sama tidak peduli bagaimana Anda membalikkan koordinatnya. (Dalam 2D, persegi akan berfungsi, tetapi persegi panjang tidak; begitu juga dengan kubus bola dimensi tinggi yang dijelaskan hingga saat ini.) Di bawah batasan baru ini, pasangan ini dapat menunjukkan apa yang Kindler dan lainnya harapkan 15 tahun sebelumnya: bahwa Anda tidak dapat melakukan jauh lebih baik daripada luas permukaan kubus.

Ini sesuai dengan jenis pengulangan paralel yang berbeda - yang akan membuat kasus pemotongan maksimal yang paling sederhana sekeras yang diperlukan. Sementara hasilnya menawarkan beberapa harapan untuk penelitian ini, tidak jelas apakah versi pengulangan paralel ini akan bekerja untuk semua masalah pemotongan maksimal. “Itu tidak berarti Anda sudah selesai,” kata Braverman. “Itu hanya berarti Anda kembali berbisnis.”

“Ada banyak potensi dalam geometri,” kata Minzer. "Hanya saja kita tidak cukup memahaminya."