Pada abad ketiga SM, Archimedes berpose sebuah teka-teki tentang menggembalakan ternak yang, katanya, hanya bisa dipecahkan oleh orang yang benar-benar bijak. Masalahnya akhirnya bermuara pada persamaan yang melibatkan perbedaan antara dua istilah kuadrat, yang dapat ditulis sebagai x2 - dy2 = 1. Di sini, d adalah bilangan bulat โ bilangan hitung positif atau negatif โ dan Archimedes sedang mencari solusi di mana keduanya x dan y adalah bilangan bulat juga.
Kelas persamaan ini, yang disebut persamaan Pell, telah memesona matematikawan selama ribuan tahun sejak itu.
Beberapa abad setelah Archimedes, matematikawan India Brahmagupta, dan kemudian matematikawan Bhฤskara II, menyediakan algoritme untuk menemukan solusi bilangan bulat untuk persamaan ini. Pada pertengahan 1600-an, matematikawan Prancis Pierre de Fermat (yang tidak mengetahui pekerjaan itu) menemukan kembali bahwa dalam beberapa kasus, bahkan ketika d diberi nilai yang relatif kecil, solusi bilangan bulat terkecil yang mungkin untuk x dan y bisa masif. Ketika dia mengirim serangkaian masalah tantangan ke matematikawan saingan, mereka memasukkan persamaan x2 - 61y2 = 1, yang solusi terkecilnya memiliki sembilan atau 10 digit. (Adapun Archimedes, teka-tekinya pada dasarnya meminta solusi bilangan bulat untuk persamaan x2 - 4,729,494y2 = 1. โUntuk mencetak solusi terkecil, dibutuhkan 50 halaman,โ kata Peter Koymans, seorang matematikawan di University of Michigan. "Dalam beberapa hal, itu adalah troll raksasa oleh Archimedes.")
Tetapi solusi untuk persamaan Pell dapat melakukan lebih banyak lagi. Misalnya, Anda ingin memperkirakan $latex sqrt{2}$, sebuah bilangan irasional, sebagai rasio bilangan bulat. Ternyata menyelesaikan persamaan Pell x2 - 2y2 = 1 dapat membantu Anda melakukannya: $latex sqrt{2}$ (atau, lebih umum, $latex sqrt{d}$) dapat didekati dengan baik dengan menulis ulang solusi dalam bentuk pecahan x/y.
Mungkin lebih menarik lagi, solusi tersebut juga memberi tahu Anda sesuatu tentang sistem bilangan tertentu, yang oleh para ahli matematika disebut berdering. Dalam sistem bilangan seperti itu, matematikawan mungkin menggabungkan $lateks sqrt{2}$ ke bilangan bulat. Cincin memiliki sifat tertentu, dan matematikawan ingin memahami sifat tersebut. Persamaan Pell, ternyata, dapat membantu mereka melakukannya.
Jadi โbanyak matematikawan yang sangat terkenal โ hampir setiap matematikawan dalam beberapa periode waktu โ benar-benar mempelajari persamaan ini karena betapa sederhananya itu,โ kata Tandai Shusterman, seorang matematikawan di Universitas Harvard. Para matematikawan itu antara lain Fermat, Euler, Lagrange, dan Dirichlet. (John Pell, tidak begitu banyak; persamaan itu secara keliru dinamai menurut namanya.)
Sekarang Koymans dan Carlo Pagano, seorang ahli matematika di Concordia University di Montreal, memiliki membuktikan dugaan berusia puluhan tahun terkait dengan persamaan Pell, yang mengkuantifikasi seberapa sering bentuk persamaan tertentu memiliki solusi bilangan bulat. Untuk melakukannya, mereka mengimpor ide dari bidang lain โ teori grup โ sambil secara bersamaan memperoleh pemahaman yang lebih baik tentang objek studi kunci namun misterius di bidang itu. โMereka menggunakan ide-ide yang sangat dalam dan indah,โ kata Andrew Granville, seorang matematikawan di Universitas Montreal. "Mereka benar-benar berhasil."
Aritmatika Rusak
Di awal 1990s, Peter Stevenhagen, seorang ahli matematika di Universitas Leiden di Belanda, terinspirasi oleh beberapa koneksi yang dia lihat antara persamaan Pell dan teori grup untuk membuat dugaan tentang seberapa sering persamaan ini memiliki solusi bilangan bulat. Tapi "Saya tidak berharap itu akan terbukti dalam waktu dekat," katanya - atau bahkan dalam hidupnya. Teknik yang tersedia tampaknya tidak cukup kuat untuk mengatasi masalah tersebut.
Dugaannya tergantung pada fitur cincin tertentu. Dalam ring angka di mana, misalnya, $latex sqrt{-5}$ telah ditambahkan ke bilangan bulat (ahli matematika sering bekerja dengan angka "imajiner" seperti $latex sqrt{-5}$), ada dua cara berbeda untuk membagi suatu bilangan menjadi faktor-faktor primanya. Angka 6, misalnya, dapat ditulis tidak hanya sebagai 2 ร 3, tetapi juga sebagai (1 + $lateks sqrt{-5}$) ร (1 โ $latex sqrt{-5}$). Akibatnya, di ring ini, faktorisasi prima yang unik โ prinsip utama aritmatika, yang secara praktis diterima begitu saja dalam bilangan bulat normal โ rusak. Sejauh mana ini terjadi dikodekan dalam objek yang terkait dengan cincin itu, yang disebut grup kelas.
Salah satu cara matematikawan mencoba untuk mendapatkan wawasan yang lebih dalam tentang sistem bilangan yang mereka minati โ katakanlah, $lateks sqrt{2}$ digabungkan dengan bilangan bulat โ adalah dengan menghitung dan mempelajari kelompok kelasnya. Namun hampir sangat sulit untuk menentukan aturan umum tentang bagaimana kelompok kelas berperilaku di semua sistem bilangan yang berbeda ini.
Pada tahun 1980-an, para matematikawan Henri Cohen dan Hendrik Lenstra mengajukan serangkaian dugaan tentang seperti apa aturan itu seharusnya. "Heuristik Cohen-Lenstra" ini dapat memberi tahu Anda banyak tentang grup kelas, yang pada gilirannya akan mengungkapkan properti dari sistem bilangan yang mendasarinya.
Hanya ada satu masalah. Sementara banyak perhitungan tampaknya mendukung heuristik Cohen-Lenstra, mereka masih dugaan, bukan bukti. "Sejauh teorema berjalan, sampai baru-baru ini kami hampir tidak tahu apa-apa," kata Alex Bartel, seorang matematikawan di Universitas Glasgow.
Menariknya, perilaku khas kelompok kelas terkait erat dengan perilaku persamaan Pell. Memahami satu masalah membantu memahami yang lain - begitu banyak sehingga dugaan Stevenhagen "juga telah menjadi masalah ujian untuk kemajuan apa pun yang telah dibuat pada heuristik Cohen-Lenstra," kata Pagano.
Pekerjaan baru melibatkan persamaan Pell negatif, di mana x2 - dy2 diatur ke 1 bukan 1. Berbeda dengan persamaan Pell asli, yang selalu memiliki jumlah tak terbatas dari solusi bilangan bulat untuk setiap d, tidak semua nilai d dalam persamaan Pell negatif menghasilkan persamaan yang dapat diselesaikan. Mengambil x2 - 3y2 = 1: Tidak peduli seberapa jauh Anda melihat garis bilangan, Anda tidak akan pernah menemukan solusi, meskipun x2 - 3y2 = 1 memiliki banyak solusi tak terhingga.
Sebenarnya, ada banyak nilai dari d yang persamaan Pell negatif tidak dapat diselesaikan: Berdasarkan aturan yang diketahui tentang bagaimana angka-angka tertentu berhubungan satu sama lain, d tidak boleh kelipatan 3, 7, 11, 15 dan seterusnya.
Tetapi bahkan ketika Anda menghindari nilai-nilai itu d dan pertimbangkan hanya persamaan Pell negatif yang tersisa, masih tidak selalu mungkin untuk menemukan solusi. Dalam himpunan yang lebih kecil dari nilai-nilai yang mungkin dari d, berapa proporsi yang benar-benar bekerja?
Pada tahun 1993, Stevenhagen mengusulkan formula yang memberikan jawaban yang tepat untuk pertanyaan itu. Dari nilai untuk d yang mungkin berhasil (yaitu, nilai yang bukan kelipatan 3, 7, dll.), ia memperkirakan bahwa sekitar 58% akan memunculkan persamaan Pell negatif dengan solusi bilangan bulat.
Tebakan Stevenhagen dimotivasi khususnya oleh hubungan antara persamaan Pell negatif dan heuristik Cohen-Lenstra pada kelompok kelas โ hubungan yang dimanfaatkan Koymans dan Pagano ketika, 30 tahun kemudian, mereka akhirnya membuktikan bahwa dia benar.
Meriam yang Lebih Baik
Pada tahun 2010, Koymans dan Pagano masih mahasiswa sarjana โ belum terbiasa dengan dugaan Stevenhagen โ ketika sebuah makalah keluar yang membuat beberapa kemajuan pertama pada masalah dalam beberapa tahun.
Dalam pekerjaan itu, yang diterbitkan dalam Sejarah Matematika, para matematikawan tienne Fouvry dan Jรผrgen Kluners menunjukkan bahwa proporsi nilai d yang akan bekerja untuk persamaan Pell negatif jatuh dalam kisaran tertentu. Untuk melakukan itu, mereka menangani perilaku beberapa elemen dari grup kelas yang relevan. Tetapi mereka membutuhkan pemahaman tentang lebih banyak elemen untuk memahami perkiraan Stevenhagen yang jauh lebih tepat yaitu 58%. Sayangnya, elemen-elemen itu tetap tidak dapat dipahami: Metode baru masih diperlukan untuk memahami strukturnya. Kemajuan lebih lanjut tampaknya tidak mungkin.
Kemudian, pada tahun 2017, ketika Koymans dan Pagano sama-sama berada di sekolah pascasarjana di Universitas Leiden, sebuah kertas muncul yang mengubah segalanya. โKetika saya melihat ini, saya langsung menyadari bahwa itu adalah hasil yang sangat, sangat mengesankan,โ kata Koymans. "Rasanya seperti, oke, sekarang saya memiliki meriam yang bisa saya tembak untuk mengatasi masalah ini dan berharap saya bisa membuat kemajuan." (Pada saat itu, Stevenhagen dan Lenstra juga profesor di Leiden, yang membantu memicu minat Koyman dan Pagano dalam masalah ini.)
Makalah ini dibuat oleh seorang mahasiswa pascasarjana di Harvard, Alexander Smith (yang sekarang menjadi rekan Clay di Stanford). Koymans dan Pagano tidak sendirian dalam memuji pekerjaan itu sebagai terobosan. โIde-idenya luar biasa,โ kata Granville. "Revolusioner."
Smith telah mencoba memahami sifat-sifat solusi persamaan yang disebut kurva eliptik. Dalam melakukannya, ia mengerjakan bagian tertentu dari heuristik Cohen-Lenstra. Tidak hanya itu langkah besar pertama dalam memperkuat dugaan yang lebih luas sebagai fakta matematika, tetapi juga melibatkan bagian dari kelompok kelas yang Koymans dan Pagano perlu pahami dalam pekerjaan mereka tentang dugaan Stevenhagen. (Bagian ini mencakup unsur-unsur yang telah dipelajari Fouvry dan Klรผners dalam hasil parsial mereka, tetapi juga jauh melampaui mereka.)
Namun, Koymans dan Pagano tidak bisa langsung menggunakan metode Smith. (Jika itu mungkin, Smith sendiri mungkin akan melakukannya.) Bukti Smith adalah tentang kelompok kelas yang terkait dengan cincin nomor yang tepat (yang di mana $lateks sqrt{d}$ digabungkan ke bilangan bulat) โ tetapi dia mempertimbangkan semua nilai bilangan bulat dari d. Koymans dan Pagano, di sisi lain, hanya memikirkan sebagian kecil dari nilai-nilai itu d. Akibatnya, mereka perlu menilai perilaku rata-rata di antara sebagian kecil kelompok kelas.
Kelompok kelas tersebut pada dasarnya merupakan 0% dari kelompok kelas Smith โ yang berarti bahwa Smith dapat membuang mereka ketika dia sedang menulis buktinya. Mereka tidak berkontribusi pada perilaku rata-rata yang dia pelajari sama sekali.
Dan ketika Koymans dan Pagano mencoba menerapkan tekniknya hanya pada kelompok kelas yang mereka pedulikan, metode itu langsung rusak. Pasangan ini perlu membuat perubahan signifikan agar mereka berfungsi. Selain itu, mereka tidak hanya mencirikan satu kelompok kelas, melainkan perbedaan yang mungkin ada antara dua kelompok kelas yang berbeda (melakukan hal itu akan menjadi bagian utama dari bukti dugaan Stevenhagen) โ yang juga memerlukan beberapa alat yang berbeda.
Jadi Koymans dan Pagano mulai menyisir lebih hati-hati melalui kertas Smith dengan harapan menunjukkan dengan tepat di mana hal-hal mulai keluar jalur. Itu sulit, pekerjaan yang melelahkan, bukan hanya karena materinya sangat rumit, tetapi karena Smith masih menyempurnakan pracetaknya pada saat itu, membuat koreksi dan klarifikasi yang diperlukan. (Dia memposting versi baru dari makalahnya online bulan lalu.)
Selama setahun penuh, Koymans dan Pagano mempelajari buktinya bersama, baris demi baris. Mereka bertemu setiap hari, mendiskusikan bagian tertentu saat makan siang sebelum menghabiskan beberapa jam di papan tulis, saling membantu mengerjakan ide-ide yang relevan. Jika salah satu dari mereka membuat kemajuan sendiri, dia mengirim pesan kepada yang lain untuk memperbaruinya. Shusterman ingat terkadang melihat mereka bekerja hingga larut malam. Terlepas dari (atau mungkin karena) tantangan yang menyertainya, โitu sangat menyenangkan untuk dilakukan bersama,โ kata Koymans.
Mereka akhirnya mengidentifikasi di mana mereka perlu mencoba pendekatan baru. Pada awalnya, mereka hanya mampu membuat perbaikan sederhana. Bersama para matematikawan Stephanie Chan dan Djordjo Milovic, mereka menemukan cara untuk menangani beberapa elemen tambahan di grup kelas, yang memungkinkan mereka untuk mendapatkan batas yang lebih baik daripada yang dimiliki Fouvry dan Klรผners. Tetapi bagian-bagian penting dari struktur kelompok kelas masih luput dari perhatian mereka.
Satu masalah utama yang harus mereka atasi โ sesuatu yang metode Smith tidak lagi bekerja dalam konteks baru ini โ adalah memastikan bahwa mereka benar-benar menganalisis perilaku "rata-rata" untuk kelompok kelas sebagai nilai d menjadi lebih besar dan lebih besar. Untuk menetapkan tingkat keacakan yang tepat, Koymans dan Pagano membuktikan seperangkat aturan yang rumit, yang disebut hukum timbal balik. Pada akhirnya, itu memungkinkan mereka untuk mendapatkan kontrol yang mereka butuhkan atas perbedaan antara dua kelompok kelas.
Kemajuan itu, ditambah dengan yang lain, memungkinkan mereka untuk akhirnya menyelesaikan bukti dugaan Stevenhagen awal tahun ini. "Sungguh menakjubkan bahwa mereka mampu menyelesaikannya sepenuhnya," kata Chan. โSebelumnya, kami memiliki semua masalah ini.โ
Apa yang mereka lakukan โmengejutkan saya,โ kata Smith. โKoymans dan Pagano telah mempertahankan bahasa lama saya dan hanya menggunakannya untuk mendorong lebih jauh dan lebih jauh ke arah yang hampir tidak saya pahami lagi.โ
Alat paling tajam
Sejak dia memperkenalkannya lima tahun lalu, bukti Smith tentang satu bagian dari heuristik Cohen-Lenstra dipandang sebagai cara untuk membuka pintu ke sejumlah masalah lain, termasuk pertanyaan tentang kurva eliptik dan struktur menarik lainnya. (Dalam makalah mereka, Koymans dan Pagano mendaftar sekitar selusin dugaan yang mereka harapkan untuk digunakan metode mereka. Banyak yang tidak ada hubungannya dengan persamaan Pell negatif atau bahkan kelompok kelas.)
โBanyak objek memiliki struktur yang tidak berbeda dengan kelompok aljabar semacam ini,โ kata Granville. Tetapi banyak hambatan yang sama yang harus dihadapi oleh Koyman dan Pagano juga hadir dalam konteks lain ini. Pekerjaan baru pada persamaan Pell negatif telah membantu membongkar hambatan ini. โAlexander Smith telah memberi tahu kami cara membuat gergaji dan palu ini, tetapi sekarang kami harus membuatnya setajam mungkin dan sekeras mungkin dan sedapat mungkin beradaptasi dengan situasi yang berbeda,โ kata Bartel. โSalah satu hal yang dilakukan makalah ini adalah banyak mengarah ke sana.โ
Semua pekerjaan ini, sementara itu, telah menyempurnakan pemahaman matematikawan tentang hanya satu segi kelompok kelas. Sisa dugaan Cohen-Lenstra tetap di luar jangkauan, setidaknya untuk saat ini. Tapi makalah Koymans dan Pagano โmerupakan indikasi bahwa teknik yang kita miliki untuk menyerang masalah di Cohen-Lenstra adalah jenis tumbuh dewasa,โ kata Smith.
Lenstra sendiri juga optimis. Ini "benar-benar spektakuler," tulisnya dalam email. โIni benar-benar membuka babak baru dalam cabang teori bilangan yang setua teori bilangan itu sendiri.โ
