Matematikawan Gulung Dadu dan Dapatkan Gunting-Batu-Kertas

Seperti yang diceritakan Bill Gates, Warren Buffett pernah menantangnya bermain dadu. Masing-masing akan memilih satu dari empat dadu milik Buffett, dan kemudian mereka akan melempar, dengan angka yang lebih tinggi menang. Ini bukan dadu standar — mereka memiliki bermacam-macam angka yang berbeda dari biasanya 1 sampai 6. Buffett menawarkan untuk membiarkan Gates memilih terlebih dahulu, sehingga dia dapat memilih dadu terkuat. Tetapi setelah Gates memeriksa dadu, dia mengajukan usulan balasan: Buffett harus memilih terlebih dahulu.

Gates menyadari bahwa dadu Buffett menunjukkan sifat yang aneh: Tidak ada satu pun dari mereka yang terkuat. Jika Gates telah memilih terlebih dahulu, maka dadu mana pun yang dia pilih, Buffett akan dapat menemukan dadu lain yang dapat mengalahkannya (yaitu, dadu dengan peluang menang lebih dari 50%).

Empat dadu Buffett (sebut saja A, B, C dan D) membentuk pola yang mengingatkan pada gunting-batu-kertas, di mana A ketukan B, B ketukan C, C ketukan D dan D ketukan A. Ahli matematika mengatakan bahwa seperangkat dadu seperti itu "intransitif".

“Sama sekali tidak intuitif bahwa [dadu intransitif] seharusnya ada,” kata Brian Conrey, direktur Institut Matematika Amerika (AIM) di San Jose, yang menulis makalah berpengaruh tentang subjek tersebut pada tahun 2013.

Matematikawan datang dengan contoh pertama dadu intransitif lebih dari 50 tahun yang lalu, dan akhirnya terbukti bahwa ketika Anda mempertimbangkan dadu dengan lebih banyak sisi, dimungkinkan untuk membuat siklus intransitif dengan panjang berapa pun. Apa yang matematikawan tidak tahu sampai saat ini adalah seberapa umum dadu intransitif itu. Apakah Anda harus membuat contoh seperti itu dengan hati-hati, atau dapatkah Anda memilih dadu secara acak dan memiliki kesempatan yang baik untuk menemukan himpunan intransitif?

Melihat tiga dadu, jika Anda tahu itu A ketukan B dan B ketukan C, yang sepertinya bukti itu A adalah yang terkuat; situasi dimana C ketukan A harus langka. Dan memang, jika angka pada dadu diizinkan untuk dijumlahkan menjadi total yang berbeda, maka ahli matematika percaya bahwa intuisi ini benar.

Tapi a kertas diposting online akhir tahun lalu menunjukkan bahwa di alam lain, intuisi ini gagal secara spektakuler. Misalkan Anda mengharuskan dadu Anda hanya menggunakan angka yang muncul pada dadu biasa dan memiliki jumlah yang sama dengan dadu biasa. Kemudian, kertas itu menunjukkan, jika A ketukan B dan B ketukan C, A dan C pada dasarnya memiliki kesempatan yang sama untuk menang melawan satu sama lain.

"Mengetahui bahwa A ketukan B dan B ketukan C hanya memberi Anda tidak ada informasi tentang apakah A ketukan C, "Kata Timothy Gower dari University of Cambridge, peraih medali Fields dan salah satu kontributor hasil baru, yang dibuktikan melalui kolaborasi online terbuka yang dikenal sebagai proyek Polymath.

Sementara itu, yang lain makalah baru-baru menganalisis set empat atau lebih dadu. Temuan itu bisa dibilang lebih paradoks: Jika, misalnya, Anda mengambil empat dadu secara acak dan Anda menemukannya A ketukan B, B ketukan C dan C ketukan D, lalu sedikit lebih mungkin untuk D untuk mengalahkan A daripada kebalikannya.

Tidak Kuat dan Tidak Lemah

Hasil yang cepat baru-baru ini dimulai sekitar satu dekade yang lalu, setelah Conrey menghadiri pertemuan untuk guru matematika dengan sesi yang mencakup dadu intransitif. "Saya tidak tahu bahwa hal-hal seperti itu bisa ada," katanya. "Aku agak terpesona oleh mereka."

Dia memutuskan (kemudian bergabung dengan rekannya Kent Morrison di AIM) untuk mengeksplorasi subjek dengan tiga siswa sekolah menengah yang dia bimbing - James Gabbard, Katie Grant, dan Andrew Liu. Seberapa sering, kelompok bertanya-tanya, dadu yang dipilih secara acak akan membentuk siklus intransitif?

Set dadu intransitif dianggap langka jika nomor muka dadu berjumlah total yang berbeda, karena dadu dengan total tertinggi kemungkinan besar akan mengalahkan yang lain. Jadi tim memutuskan untuk fokus pada dadu yang memiliki dua sifat: Pertama, dadu menggunakan angka yang sama dengan dadu standar — 1 sampai n, dalam kasus sebuah n-sisi mati. Dan kedua, nomor muka bertambah dengan total yang sama seperti pada dadu standar. Tetapi tidak seperti dadu standar, setiap dadu dapat mengulang beberapa angka dan mengabaikan yang lain.

Dalam kasus dadu bersisi enam, hanya ada 32 dadu berbeda yang memiliki kedua sifat tersebut. Jadi dengan bantuan komputer, tim dapat mengidentifikasi semua tripel yang ada A ketukan B dan B ketukan C. Para peneliti menemukan, yang mengejutkan mereka, bahwa A ketukan C dalam 1,756 tiga kali lipat dan C ketukan A dalam 1,731 tiga kali lipat — angka yang hampir sama. Berdasarkan perhitungan dan simulasi dadu dengan lebih dari enam sisi ini, tim menduga bahwa ketika jumlah sisi pada dadu mendekati tak terhingga, probabilitas bahwa A ketukan C mendekati 50%.

Dugaan tersebut, dengan perpaduan antara aksesibilitas dan nuansa, menurut Conrey sebagai umpan yang baik untuk proyek Polymath, di mana banyak matematikawan berkumpul secara online untuk berbagi ide. Pada pertengahan 2017, ia mengusulkan ide tersebut kepada Gowers, pencetus pendekatan Polymath. “Saya sangat menyukai pertanyaan itu, karena nilai kejutannya,” kata Gowers. Dia menulis sebuah posting blog tentang dugaan yang menarik banyak komentar, dan selama enam postingan tambahan, para komentator berhasil membuktikannya.

Dalam makalah mereka, Diposting online pada akhir November 2022, bagian penting dari bukti menunjukkan bahwa, sebagian besar, tidak masuk akal untuk membicarakan apakah satu dadu kuat atau lemah. Dadu Buffett, tidak ada yang terkuat dari paketnya, bukanlah hal yang aneh: Jika Anda memilih dadu secara acak, proyek Polymath menunjukkan, kemungkinan akan mengalahkan sekitar setengah dari dadu lainnya dan kalah dari separuh lainnya. “Hampir setiap dadu cukup rata-rata,” kata Gowers.

Proyek menyimpang dari model asli tim AIM dalam satu hal: Untuk menyederhanakan beberapa teknis, proyek menyatakan bahwa urutan angka pada dadu penting - jadi, misalnya, 122556 dan 152562 akan dianggap sebagai dua dadu yang berbeda. Tapi hasil Polymath, dikombinasikan dengan bukti eksperimental tim AIM, menciptakan anggapan kuat bahwa dugaan tersebut juga benar dalam model aslinya, kata Gowers.

“Saya sangat senang mereka menemukan bukti ini,” kata Conrey.

Mengenai kumpulan empat atau lebih dadu, tim AIM telah memperkirakan perilaku yang mirip dengan tiga dadu: Misalnya, jika A ketukan B, B ketukan C dan C ketukan D maka harus ada kemungkinan sekitar 50-50 itu D ketukan A, mendekati tepat 50-50 karena jumlah sisi pada dadu mendekati tak terhingga.

Untuk menguji dugaan, para peneliti mensimulasikan turnamen head-to-head untuk set empat dadu dengan 50, 100, 150 dan 200 sisi. Simulasi tidak mengikuti prediksi mereka sedekat dalam kasus tiga dadu, tetapi masih cukup dekat untuk memperkuat keyakinan mereka pada dugaan tersebut. Tetapi meskipun para peneliti tidak menyadarinya, perbedaan kecil ini membawa pesan yang berbeda: Untuk set empat dadu atau lebih, dugaan mereka salah.

“Kami benar-benar ingin [dugaan] itu benar, karena itu akan keren,” kata Conrey.

Dalam kasus empat dadu, Elisabetta Cornacchia Institut Teknologi Federal Swiss Lausanne dan Jan Hązła dari Institut Ilmu Matematika Afrika di Kigali, Rwanda, ditunjukkan dalam a kertas diposting online pada akhir 2020 bahwa jika A ketukan B, B ketukan C dan C ketukan D, kemudian D memiliki peluang mengalahkan yang sedikit lebih baik dari 50%. A — mungkin sekitar 52%, kata Hązła. (Seperti kertas Polymath, Cornacchia dan Hązła menggunakan model yang sedikit berbeda dari kertas AIM.)

Temuan Cornacchia dan Hązła muncul dari fakta bahwa meskipun, sebagai aturan, satu dadu tidak akan kuat atau lemah, sepasang dadu terkadang memiliki area kekuatan yang sama. Jika Anda memilih dua dadu secara acak, Cornacchia dan Hązła menunjukkan, ada kemungkinan besar bahwa dadu akan berkorelasi: Mereka akan cenderung mengalahkan atau kalah dari dadu yang sama. “Jika saya meminta Anda untuk membuat dua dadu yang saling berdekatan, ternyata ini mungkin,” kata Hązła. Kantung-kantung kecil dari turnamen dorongan korelasi ini keluar dari simetri segera setelah setidaknya ada empat dadu dalam gambar.

Koran-koran terbaru bukanlah akhir dari cerita. Makalah Cornacchia dan Hązła baru mulai mengungkap dengan tepat bagaimana korelasi antara dadu membuat ketidakseimbangan simetri turnamen. Sementara itu, kami tahu sekarang bahwa ada banyak set dadu intransitif di luar sana - bahkan mungkin yang cukup halus untuk mengelabui Bill Gates agar memilih terlebih dahulu.