Ketika datang untuk memahami bentuk kelompok gelembung, matematikawan telah mengejar intuisi fisik kita selama ribuan tahun. Gugusan gelembung sabun di alam sering kali tampak segera masuk ke tingkat energi terendah, yang meminimalkan luas permukaan total dindingnya (termasuk dinding di antara gelembung). Tetapi memeriksa apakah gelembung sabun melakukan tugas ini dengan benar — atau hanya memprediksi seperti apa seharusnya kelompok gelembung besar itu — adalah salah satu masalah tersulit dalam geometri. Butuh ahli matematika hingga akhir abad ke-19 untuk membuktikan bahwa bola adalah gelembung tunggal terbaik, meskipun ahli matematika Yunani Zenodorus telah menegaskan hal ini lebih dari 2,000 tahun sebelumnya.
Masalah gelembung cukup sederhana untuk dinyatakan: Anda mulai dengan daftar nomor volume, dan kemudian bertanya bagaimana secara terpisah memasukkan volume udara tersebut menggunakan luas permukaan terkecil. Tetapi untuk memecahkan masalah ini, matematikawan harus mempertimbangkan berbagai kemungkinan bentuk yang berbeda untuk dinding gelembung. Dan jika tugasnya adalah untuk melampirkan, katakanlah, lima volume, kita bahkan tidak memiliki kemewahan untuk membatasi perhatian kita pada kelompok lima gelembung — mungkin cara terbaik untuk meminimalkan luas permukaan adalah dengan membagi salah satu volume menjadi beberapa gelembung.
Bahkan dalam pengaturan yang lebih sederhana dari bidang dua dimensi (di mana Anda mencoba untuk melampirkan kumpulan area sambil meminimalkan perimeter), tidak ada yang tahu cara terbaik untuk menyertakan, katakanlah, sembilan atau 10 area. Seiring bertambahnya jumlah gelembung, "dengan cepat, Anda bahkan tidak bisa mendapatkan dugaan yang masuk akal," kata Emanuel Milman Technion di Haifa, Israel.
Tapi lebih dari seperempat abad yang lalu, John Sullivan, sekarang dari Universitas Teknik Berlin, menyadari bahwa dalam kasus-kasus tertentu, ada membimbing dugaan untuk dimiliki. Masalah gelembung masuk akal dalam dimensi apa pun, dan Sullivan menemukan bahwa selama jumlah volume yang Anda coba lampirkan paling banyak satu lebih besar dari dimensi, ada cara khusus untuk menutup volume yaitu, dalam arti tertentu, lebih indah dari yang lain — semacam bayangan dari gugus gelembung yang simetris sempurna pada sebuah bola. Gugus bayangan ini, ia menduga, harus menjadi salah satu yang meminimalkan luas permukaan.
Selama dekade berikutnya, matematikawan menulis serangkaian makalah inovatif yang membuktikan dugaan Sullivan ketika Anda mencoba untuk melampirkan hanya dua volume. Di sini, solusinya adalah gelembung ganda yang biasa Anda tiup di taman pada hari yang cerah, terbuat dari dua buah bola dengan dinding datar atau bola di antara keduanya (tergantung apakah kedua gelembung memiliki volume yang sama atau berbeda).
Tapi membuktikan dugaan Sullivan untuk tiga jilid, matematikawan Frank Morgan dari Williams College berspekulasi pada tahun 2007, "bisa memakan waktu seratus tahun lagi."
Sekarang, matematikawan telah terhindar dari penantian yang lama — dan telah mendapatkan lebih dari sekadar solusi untuk masalah tiga gelembung. Di sebuah kertas diposting online pada bulan Mei, Milman and Joe Neeman, dari University of Texas, Austin, telah membuktikan dugaan Sullivan untuk tiga gelembung di dimensi tiga dan lebih tinggi dan empat kali lipat gelembung di dimensi empat dan lebih tinggi, dengan makalah lanjutan tentang lima kali lipat gelembung di dimensi lima dan lebih tinggi dalam karya.
Dan ketika datang ke enam gelembung atau lebih, Milman dan Neeman telah menunjukkan bahwa cluster terbaik harus memiliki banyak atribut kunci dari kandidat Sullivan, berpotensi memulai matematikawan di jalan untuk membuktikan dugaan untuk kasus-kasus ini juga. “Kesan saya adalah bahwa mereka telah memahami struktur penting di balik dugaan Sullivan,” kata Francesco Maggi dari Universitas Texas, Austin.
Teorema sentral Milman dan Neeman adalah "monumental," tulis Morgan dalam email. “Ini pencapaian yang brilian dengan banyak ide baru.”
Gelembung Bayangan
Pengalaman kami dengan gelembung sabun nyata menawarkan intuisi yang menggoda tentang seperti apa seharusnya kelompok gelembung yang optimal, setidaknya dalam hal kelompok kecil. Gelembung tiga atau empat kali lipat yang kita tiup melalui tongkat sabun tampaknya memiliki dinding bulat (dan kadang-kadang datar) dan cenderung membentuk gumpalan yang rapat daripada, katakanlah, rantai gelembung yang panjang.
Tetapi tidak mudah untuk membuktikan bahwa ini benar-benar fitur kluster gelembung yang optimal. Misalnya, matematikawan tidak tahu apakah dinding dalam kelompok gelembung yang diperkecil selalu berbentuk bola atau datar — mereka hanya tahu bahwa dinding memiliki "kelengkungan rata-rata yang konstan", yang berarti kelengkungan rata-rata tetap sama dari satu titik ke titik lainnya. Bola dan permukaan datar memiliki sifat ini, tetapi begitu juga banyak permukaan lain, seperti silinder dan bentuk bergelombang yang disebut unduloid. Permukaan dengan kelengkungan rata-rata konstan adalah "kebun binatang yang lengkap," kata Milman.
Namun pada tahun 1990-an, Sullivan menyadari bahwa ketika jumlah volume yang ingin Anda sertakan paling banyak satu lebih besar dari dimensi, ada kandidat cluster yang tampaknya lebih cemerlang dari yang lain — satu (dan hanya satu) cluster yang memiliki fitur yang kami cenderung untuk melihat dalam kelompok kecil gelembung sabun nyata.
Untuk merasakan bagaimana kandidat semacam itu dibangun, mari gunakan pendekatan Sullivan untuk membuat cluster tiga gelembung di bidang datar (jadi "gelembung" kita akan menjadi wilayah di bidang daripada objek tiga dimensi). Kita mulai dengan memilih empat titik pada bola yang jaraknya sama satu sama lain. Sekarang bayangkan bahwa masing-masing dari keempat titik ini adalah pusat gelembung kecil, yang hanya hidup di permukaan bola (sehingga setiap gelembung adalah piringan kecil). Kembangkan keempat gelembung pada bola sampai mereka mulai saling berbenturan, dan kemudian terus mengembang sampai mereka bersama-sama mengisi seluruh permukaan. Kami berakhir dengan kelompok simetris dari empat gelembung yang membuat bola terlihat seperti tetrahedron yang mengembang.
Selanjutnya, kita menempatkan bola ini di atas bidang datar tak terbatas, seolah-olah bola itu adalah bola yang bertumpu di lantai tak berujung. Bayangkan bola itu transparan dan ada lentera di kutub utara. Dinding keempat gelembung akan memproyeksikan bayangan di lantai, membentuk dinding gugus gelembung di sana. Dari empat gelembung di bola, tiga akan memproyeksikan ke bawah ke gelembung bayangan di lantai; gelembung keempat (gelembung yang berisi kutub utara) akan memproyeksikan ke bawah ke hamparan lantai yang tak terbatas di luar kelompok tiga gelembung bayangan.
Gugus tiga gelembung tertentu yang kita dapatkan bergantung pada bagaimana kita memposisikan bola ketika kita meletakkannya di lantai. Jika kita memutar bola sehingga titik yang berbeda bergerak ke lentera di kutub utara, kita biasanya akan mendapatkan bayangan yang berbeda, dan tiga gelembung di lantai akan memiliki area yang berbeda. Matematikawan memiliki terbukti bahwa untuk setiap tiga angka yang Anda pilih untuk area, pada dasarnya ada satu cara untuk memposisikan bola sehingga tiga gelembung bayangan akan memiliki area tersebut dengan tepat.
Kami bebas melakukan proses ini dalam dimensi apa pun (meskipun bayangan berdimensi lebih tinggi lebih sulit untuk divisualisasikan). Tapi ada batasan berapa banyak gelembung yang bisa kita miliki di kelompok bayangan kita. Pada contoh di atas, kita tidak bisa membuat cluster empat gelembung di pesawat. Itu akan membutuhkan dimulai dengan lima titik pada bola yang semuanya memiliki jarak yang sama satu sama lain — tetapi tidak mungkin untuk menempatkan banyak titik yang berjarak sama pada bola (meskipun Anda dapat melakukannya dengan bola berdimensi lebih tinggi). Prosedur Sullivan hanya bekerja untuk membuat cluster hingga tiga gelembung di ruang dua dimensi, empat gelembung di ruang tiga dimensi, lima gelembung di ruang empat dimensi, dan seterusnya. Di luar rentang parameter tersebut, kelompok gelembung gaya Sullivan tidak ada.
Tetapi dalam parameter tersebut, prosedur Sullivan memberi kita kelompok gelembung dalam pengaturan yang jauh melampaui apa yang dapat dipahami oleh intuisi fisik kita. “Tidak mungkin untuk memvisualisasikan apa itu 15-gelembung di [ruang 23-dimensi],” kata Maggi. "Bagaimana Anda bahkan bermimpi menggambarkan objek seperti itu?"
Namun kandidat gelembung Sullivan mewarisi dari nenek moyang mereka yang berbentuk bola, kumpulan sifat unik yang mengingatkan kita pada gelembung yang kita lihat di alam. Dinding mereka semua bulat atau datar, dan di mana pun tiga dinding bertemu, mereka membentuk sudut 120 derajat, seperti dalam bentuk Y simetris. Setiap volume yang Anda coba lampirkan terletak di satu wilayah, bukan dipecah menjadi beberapa wilayah. Dan setiap gelembung menyentuh satu sama lain (dan bagian luar), membentuk kelompok yang rapat. Matematikawan telah menunjukkan bahwa gelembung Sullivan adalah satu-satunya kelompok yang memenuhi semua sifat ini.
Ketika Sullivan berhipotesis bahwa ini harus menjadi kelompok yang meminimalkan luas permukaan, dia pada dasarnya berkata, "Mari kita asumsikan keindahan," kata Maggi.
Tetapi peneliti gelembung memiliki alasan yang baik untuk berhati-hati dengan asumsi bahwa hanya karena solusi yang diusulkan itu indah, itu benar. "Ada masalah yang sangat terkenal ... di mana Anda akan mengharapkan simetri untuk minimizer, dan simetri gagal secara spektakuler," kata Maggi.
Misalnya, ada masalah yang terkait erat dalam mengisi ruang tak terbatas dengan gelembung bervolume sama dengan cara meminimalkan luas permukaan. Pada tahun 1887, matematikawan dan fisikawan Inggris Lord Kelvin menyarankan bahwa solusinya mungkin struktur seperti sarang lebah yang elegan. Selama lebih dari satu abad, banyak ahli matematika percaya bahwa ini adalah jawaban yang mungkin – sampai tahun 1993, ketika sepasang fisikawan diidentifikasi lebih baik, meskipun kurang simetris, pilihan. “Matematika penuh … contoh di mana hal aneh semacam ini terjadi,” kata Maggi.
Sebuah Seni Gelap
Ketika Sullivan mengumumkan dugaannya pada tahun 1995, bagian double-bubble darinya telah beredar selama satu abad. Matematikawan telah memecahkan Masalah gelembung ganda 2D dua tahun sebelumnya, dan pada dekade berikutnya, mereka memecahkannya dalam ruang tiga dimensi dan kemudian lebih tinggi ukuran. Tetapi ketika sampai pada kasus dugaan Sullivan berikutnya — tiga gelembung — mereka bisa membuktikan dugaan hanya di bidang dua dimensi, di mana antarmuka antara gelembung sangat sederhana.
Kemudian pada tahun 2018, Milman dan Neeman membuktikan versi analog dari dugaan Sullivan dalam pengaturan yang dikenal sebagai masalah gelembung Gaussian. Dalam pengaturan ini, Anda dapat menganggap setiap titik di ruang angkasa memiliki nilai moneter: Titik asal adalah tempat paling mahal, dan semakin jauh Anda dari titik asal, semakin murah tanahnya, membentuk kurva lonceng. Tujuannya adalah untuk membuat enklosur dengan harga yang telah dipilih sebelumnya (bukan volume yang telah dipilih sebelumnya), dengan cara yang meminimalkan biaya batas enklosur (bukan luas permukaan batas). Masalah gelembung Gaussian ini memiliki aplikasi dalam ilmu komputer untuk skema pembulatan dan pertanyaan sensitivitas kebisingan.
Milman dan Neeman menyerahkan bukti ke Sejarah Matematika, bisa dibilang jurnal matematika paling bergengsi (di mana kemudian diterima). Tetapi pasangan itu tidak berniat menyebutnya sehari. Metode mereka tampaknya menjanjikan untuk masalah gelembung klasik juga.
Mereka melemparkan ide-ide bolak-balik selama beberapa tahun. “Kami memiliki dokumen catatan setebal 200 halaman,” kata Milman. Pada awalnya, mereka merasa seperti membuat kemajuan. “Tapi kemudian dengan cepat berubah menjadi, 'Kami mencoba arah ini - tidak. Kami mencoba arah [itu] — tidak.'” Untuk melindungi taruhan mereka, kedua matematikawan itu juga mengejar proyek lain.
Kemudian musim gugur yang lalu, Milman datang untuk cuti panjang dan memutuskan untuk mengunjungi Neeman sehingga pasangan itu dapat berkonsentrasi pada masalah gelembung. “Selama cuti panjang, ini adalah saat yang tepat untuk mencoba hal-hal yang berisiko tinggi dan menguntungkan,” kata Milman.
Selama beberapa bulan pertama, mereka tidak mendapatkan apa-apa. Akhirnya, mereka memutuskan untuk memberi diri mereka tugas yang sedikit lebih mudah daripada dugaan penuh Sullivan. Jika Anda memberi gelembung Anda satu dimensi tambahan ruang bernapas, Anda mendapatkan bonus: Gugus gelembung terbaik akan memiliki simetri cermin di seluruh bidang pusat.
Dugaan Sullivan adalah tentang tiga gelembung di dimensi dua dan lebih tinggi, empat kali lipat gelembung di dimensi tiga dan lebih tinggi, dan seterusnya. Untuk mendapatkan bonus simetri, Milman dan Neeman membatasi perhatian mereka pada tiga gelembung di dimensi tiga ke atas, gelembung empat kali lipat di dimensi empat ke atas, dan seterusnya. “Hanya ketika kami menyerah untuk mendapatkannya untuk berbagai parameter, kami benar-benar membuat kemajuan,” kata Neeman.
Dengan simetri cermin yang mereka miliki, Milman dan Neeman datang dengan argumen gangguan yang melibatkan sedikit menggembungkan setengah dari gugus gelembung yang terletak di atas cermin dan mengempiskan setengah yang terletak di bawahnya. Gangguan ini tidak akan mengubah volume gelembung, tetapi dapat mengubah luas permukaannya. Milman dan Neeman menunjukkan bahwa jika kluster gelembung optimal memiliki dinding yang tidak sferis atau datar, akan ada cara untuk memilih gangguan ini sehingga mengurangi luas permukaan kluster — sebuah kontradiksi, karena kluster optimal sudah memiliki permukaan paling sedikit daerah mungkin.
Menggunakan gangguan untuk mempelajari gelembung masih jauh dari ide baru, tetapi mencari tahu gangguan mana yang akan mendeteksi fitur penting dari gugus gelembung adalah "sedikit seni yang gelap," kata Neeman.
Dengan melihat ke belakang, "begitu Anda melihat [gangguan Milman dan Neeman], mereka terlihat sangat alami," kata Joel Hass dari Universitas California, Davis.
Tetapi mengenali gangguan sebagai hal yang alami jauh lebih mudah daripada mengatasinya sejak awal, kata Maggi. "Sejauh ini bukan sesuatu yang bisa Anda katakan, 'Pada akhirnya orang akan menemukannya,'" katanya. "Ini benar-benar jenius pada tingkat yang sangat luar biasa."
Milman dan Neeman dapat menggunakan gangguan mereka untuk menunjukkan bahwa gugus gelembung yang optimal harus memenuhi semua ciri inti gugus Sullivan, kecuali mungkin satu: ketentuan bahwa setiap gelembung harus saling bersentuhan. Persyaratan terakhir ini memaksa Milman dan Neeman untuk bergulat dengan semua cara gelembung dapat terhubung ke dalam sebuah cluster. Jika hanya tiga atau empat gelembung, tidak banyak kemungkinan untuk dipertimbangkan. Tetapi saat Anda meningkatkan jumlah gelembung, jumlah kemungkinan pola konektivitas yang berbeda tumbuh, bahkan lebih cepat daripada secara eksponensial.
Milman dan Neeman berharap pada awalnya menemukan prinsip menyeluruh yang akan mencakup semua kasus ini. Tetapi setelah menghabiskan beberapa bulan “mematahkan kepala kami,” kata Milman, mereka memutuskan untuk memuaskan diri mereka sendiri untuk saat ini dengan pendekatan yang lebih ad hoc yang memungkinkan mereka menangani gelembung tiga kali lipat dan empat kali lipat. Mereka juga telah mengumumkan bukti yang tidak dipublikasikan bahwa gelembung quintuple Sullivan optimal, meskipun mereka belum menetapkan bahwa itu adalah satu-satunya cluster yang optimal.
Pekerjaan Milman dan Neeman adalah "pendekatan baru daripada perpanjangan metode sebelumnya," tulis Morgan dalam email. Kemungkinan, Maggi memperkirakan, bahwa pendekatan ini dapat didorong lebih jauh - mungkin ke kelompok lebih dari lima gelembung, atau kasus dugaan Sullivan yang tidak memiliki simetri cermin.
Tidak ada yang mengharapkan kemajuan lebih lanjut datang dengan mudah; tapi itu tidak pernah menghalangi Milman dan Neeman. “Dari pengalaman saya,” kata Milman, “semua hal utama yang saya cukup beruntung untuk dapat melakukannya mengharuskan tidak menyerah.”
