Probabilitas dan Teori Bilangan Bertabrakan — dalam Sesaat

Ambisi mereka selalu tinggi. Ketika Will Sawin dan Melanie Matchett Wood pertama kali mulai bekerja sama pada musim panas tahun 2020, mereka mulai memikirkan kembali komponen kunci dari beberapa dugaan paling menggiurkan dalam teori bilangan. Subjek perhatian mereka, kelompok kelas, terkait erat dengan pertanyaan dasar tentang bagaimana aritmatika bekerja ketika angka melampaui bilangan bulat. gergajian, di Universitas Columbia, dan Kayu, di Harvard, ingin membuat prediksi tentang struktur yang bahkan lebih umum dan mengintimidasi secara matematis daripada kelompok kelas.

Bahkan sebelum mereka selesai merumuskan prediksi mereka, pada bulan Oktober mereka membuktikan a hasil baru yang memungkinkan ahli matematika menerapkan salah satu alat teori probabilitas yang paling berguna tidak hanya untuk kelompok kelas, tetapi juga untuk kumpulan angka, jaringan, dan banyak objek matematika lainnya.

“Ini hanya akan menjadi makalah dasar yang digunakan semua orang ketika mereka mulai memikirkan masalah ini,” kata David Zureick-Brown, seorang matematikawan di Universitas Emory. “Rasanya Anda tidak perlu menemukan sesuatu dari awal lagi.”

Sebuah Undang-Undang Kelas

Grup kelas adalah contoh dari himpunan matematika terstruktur yang disebut grup. Grup menyertakan banyak himpunan yang sudah dikenal, seperti bilangan bulat. Apa yang menjadikan bilangan bulat sebagai grup, bukan hanya sekumpulan angka, adalah Anda dapat menjumlahkan elemen-elemennya dan mendapatkan bilangan bulat lainnya. Secara umum, himpunan adalah grup jika dilengkapi dengan beberapa operasi yang, seperti penjumlahan, menggabungkan dua elemen menjadi elemen ketiga dengan cara yang memenuhi beberapa persyaratan dasar. Misalnya, harus ada versi nol, sebuah elemen yang tidak mengubah yang lainnya.

Bilangan bulat, yang biasa disebut matematikawan $latex mathbb{Z}$, tidak terbatas. Tetapi banyak grup memiliki jumlah elemen yang terbatas. Misalnya, untuk membuat grup yang memiliki empat elemen, perhatikan himpunan {0, 1, 2, 3}. Alih-alih melakukan penjumlahan biasa, bagi jumlah dua angka dengan 4 dan ambil sisanya. (Berdasarkan aturan ini, 2 + 2 = 0, dan 2 + 3 = 1.) Grup ini disebut $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

Secara umum, jika Anda ingin membuat grup dengan elemen $latex n$, Anda dapat mengambil angka nol n – 1 dan pertimbangkan sisanya saat membaginya dengan n. Grup yang dihasilkan disebut $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, meskipun ini bukan satu-satunya grup dengan n elemen.

Kelompok kelas muncul ketika ahli teori bilangan menyelidiki struktur bilangan di luar bilangan bulat. Untuk melakukan ini, mereka menambahkan bilangan baru ke bilangan bulat, seperti i (akar kuadrat dari −1), $latex sqrt{5}$, atau bahkan $latex sqrt{–5}$.

“Hal-hal yang biasa kita ketahui tentang angka tidak lagi benar dalam konteks ini. Atau setidaknya, itu belum tentu benar, ”kata Jordan ellenberg, seorang matematikawan di University of Wisconsin, Madison.

Secara khusus, pemfaktoran bekerja secara berbeda dalam ekstensi bilangan bulat. Jika Anda hanya menggunakan bilangan bulat, angka dapat difaktorkan menjadi bilangan prima (bilangan yang hanya dapat dibagi dengan dirinya sendiri dan 1) hanya dengan satu cara. Misalnya, 6 adalah 2 × 3, dan tidak dapat difaktorkan ke bilangan prima lainnya. Properti ini disebut faktorisasi unik.

Tetapi jika Anda menambahkan $latex sqrt{–5}$ ke sistem bilangan Anda, Anda tidak memiliki faktorisasi unik lagi. Anda dapat memfaktorkan 6 menjadi bilangan prima dengan dua cara berbeda. Ini masih 2 × 3, tetapi juga $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Grup kelas dibuat dari ekstensi tersebut ke bilangan bulat. “Kelompok kelas sangat penting,” kata Wood. “Jadi wajar jika bertanya-tanya: Seperti apa mereka biasanya?”

Ukuran grup kelas yang terkait dengan ekstensi bilangan bulat apa pun adalah barometer untuk seberapa banyak pemilahan faktorisasi unik. Meskipun ahli matematika telah membuktikan bahwa kelompok kelas selalu berhingga, menentukan struktur dan ukurannya sangatlah rumit. Itu sebabnya pada tahun 1984, Henri Cohen dan Hendrik Lenstra mengajukan beberapa tebakan. Dugaan mereka, sekarang disebut heuristik Cohen-Lenstra, berkaitan dengan semua grup kelas yang muncul saat Anda menambahkan akar kuadrat baru ke bilangan bulat. Jika semua kelompok kelas tersebut dikumpulkan bersama, Cohen dan Lenstra menyarankan jawaban untuk pertanyaan seperti: Berapa proporsi dari mereka yang berisi kelompok $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? Atau $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Atau jenis grup hingga lain yang dikenal?

Cohen dan Lenstra mendorong ahli teori bilangan untuk mempertimbangkan tidak hanya contoh kelompok kelas yang terisolasi, tetapi juga statistik yang mendasari kelompok kelas secara keseluruhan. Prediksi mereka memanfaatkan visi matematika sebagai alam semesta dengan pola yang akan diungkap di setiap level.

Hampir 40 tahun kemudian, heuristik Cohen-Lenstra secara luas diyakini benar, meskipun belum ada yang membuktikannya. Dampaknya terhadap matematika sangat nyata, kata Nigel Boston, seorang profesor emeritus di University of Wisconsin, Madison. “Apa yang telah ditemukan adalah jaring yang luar biasa ini,” katanya. “Ada infrastruktur yang sangat besar tentang cara kita memikirkan dunia ini.”

The Only Game in Town

Tidak dapat menangani heuristik secara langsung, matematikawan datang dengan masalah yang lebih mudah diselesaikan yang mereka harap akan menjelaskan situasinya. Dari pekerjaan itu, satu set kuantitas yang berguna muncul yang oleh para matematikawan mulai disebut momen, setelah istilah yang digunakan dalam teori probabilitas.

Secara probabilitas, momen dapat membantu Anda mengetahui distribusi di belakang angka acak. Misalnya, pertimbangkan distribusi suhu tinggi harian pada tanggal 1 Januari di New York City — kemungkinan pada tanggal 1 Januari tahun depan, suhunya akan menjadi 10 derajat Fahrenheit, atau 40 derajat, atau 70 atau 120. Yang harus Anda lakukan adalah dengan data masa lalu: riwayat tertinggi harian pada 1 Januari setiap tahun sejak awal sejarah tercatat.

Jika Anda menghitung rata-rata suhu ini, Anda akan belajar sedikit, tetapi tidak semuanya. Suhu tinggi rata-rata 40 derajat tidak memberi tahu Anda kemungkinan suhu di atas 50 derajat atau di bawah 20.

Tapi ini berubah jika Anda diberi lebih banyak informasi. Khususnya, Anda dapat mempelajari rata-rata kuadrat suhu, suatu besaran yang dikenal sebagai momen kedua dari distribusi. (Rata-rata adalah momen pertama.) Atau Anda dapat mempelajari rata-rata kubus, yang dikenal sebagai momen ketiga, atau rata-rata pangkat empat — momen keempat.

Pada tahun 1920-an, ahli matematika telah mengetahui bahwa jika momen dalam rangkaian ini tumbuh cukup lambat, maka mengetahui semua momen memungkinkan Anda menyimpulkan bahwa hanya satu kemungkinan distribusi yang memiliki momen tersebut. (Meskipun ini tidak serta merta membuat Anda menghitung distribusi itu secara langsung.)

"Itu benar-benar tidak intuitif," kata Wood. “Jika Anda memikirkan distribusi berkelanjutan, itu memiliki beberapa bentuk. Rasanya seperti memiliki lebih dari yang bisa ditangkap dalam urutan angka.

Matematikawan yang tertarik dengan heuristik Cohen-Lenstra menemukan bahwa, seperti halnya momen dalam teori probabilitas dapat digunakan untuk mendapatkan distribusi probabilitas, momen yang didefinisikan dengan cara tertentu untuk kelompok kelas dapat menjadi lensa yang melaluinya kita dapat melihat ukuran dan strukturnya. . Jacob Tsimerman, ahli matematika di Universitas Toronto, mengatakan dia tidak dapat membayangkan bagaimana distribusi ukuran kelompok kelas dapat dihitung secara langsung. Menggunakan momen, katanya, “lebih dari mudah. Ini satu-satunya permainan di kota.”

Momen Ajaib ini

Sementara setiap momen dalam probabilitas dikaitkan dengan bilangan bulat — pangkat ketiga, pangkat keempat, dan seterusnya — kuantitas baru yang diperkenalkan oleh ahli teori bilangan masing-masing sesuai dengan suatu grup. Momen-momen baru ini bergantung pada fakta bahwa Anda sering kali dapat mengecilkan grup menjadi grup yang lebih kecil dengan menciutkan elemen yang berbeda secara bersamaan.

Untuk menghitung momen yang terkait dengan grup G, ambil semua kemungkinan grup kelas — satu untuk setiap akar kuadrat baru yang Anda tambahkan ke bilangan bulat. Untuk setiap kelompok kelas, hitung jumlah cara yang berbeda untuk menciutkannya G. Kemudian, ambil rata-rata dari angka-angka itu. Proses ini mungkin tampak berbelit-belit, tetapi jauh lebih mudah untuk dikerjakan daripada distribusi aktual di balik prediksi Cohen dan Lenstra. Meskipun heuristik Cohen-Lenstra sendiri rumit untuk dinyatakan, momen distribusi yang mereka prediksi semuanya adalah 1.

“Itu membuat Anda berpikir, wow, mungkin saat-saat itu adalah cara alami untuk mendekatinya,” kata Ellenberg. “Tampaknya lebih dapat dipercaya untuk dapat membuktikan bahwa sesuatu itu sama dengan 1 daripada membuktikan bahwa itu sama dengan beberapa produk tak terbatas yang gila.”

Ketika ahli matematika mempelajari distribusi kelompok, (kelompok kelas atau lainnya), mereka berakhir dengan persamaan untuk setiap kelompok G, dengan probabilitas sekarang mewakili, katakanlah, proporsi kelompok kelas yang terlihat seperti $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. Dengan persamaan yang tak terhingga banyaknya, dan kemungkinan kelompok kelas yang tak terhingga banyaknya, sulit untuk memecahkan probabilitasnya. Tidak jelas bahwa masuk akal untuk melakukannya.

"Bila Anda memiliki jumlah yang tak terbatas, ada yang salah," kata Wood.

Namun matematikawan, masih tidak dapat menemukan cara lain untuk mempelajari distribusi, terus kembali ke masalah saat ini. Dalam karya yang diterbitkan di Sejarah Matematika pada tahun 2016, Ellenberg, bersama dengan Akshay Venkatesh dan Craig Westerland, momen yang digunakan untuk mempelajari statistik kelompok kelas dalam pengaturan yang sedikit berbeda dari yang telah dipertimbangkan Cohen dan Lenstra. Ide ini dulu digunakan kembali beberapa kali. Tetapi setiap kali para peneliti menggunakan momen-momen itu, mereka akan bersandar pada keanehan dari masalah khusus mereka untuk membuktikan bahwa persamaan tak hingga memiliki solusi. Itu berarti teknik mereka tidak dapat dialihkan. Ahli matematika berikutnya yang perlu menggunakan momen harus menyelesaikan soal momen dari awal lagi.

Di awal kerjasamanya, Sawin dan Wood juga berencana menempuh jalur ini. Mereka akan menggunakan momen untuk membuat prediksi tentang bagaimana versi kelompok kelas yang lebih rumit didistribusikan. Tetapi sekitar satu tahun setelah proyek mereka, mereka mengalihkan fokus mereka ke masalah saat itu sendiri.

Teralihkan

Kolega menggambarkan Sawin dan Wood sebagai orang yang sangat bersemangat dengan pekerjaan mereka. “Mereka berdua sangat cerdas. Tapi ada banyak orang pintar,” kata Zureick-Brown. “Mereka hanya memiliki sikap positif dalam mengerjakan matematika.”

Awalnya, Sawin dan Wood ingin menggunakan momen untuk memperluas prediksi Cohen-Lenstra ke setting baru. Tapi mereka segera menjadi tidak puas dengan argumen masalah kedua mereka. “Kami perlu menulis argumen serupa berulang kali,” kenang Sawin. Selain itu, dia menambahkan, bahasa matematika yang mereka gunakan "tampaknya tidak menjadi inti dari apa yang dilakukan argumen tersebut... Idenya ada di sana, tetapi kami belum menemukan cara yang tepat untuk mengungkapkannya."

Sawin dan Wood menggali lebih dalam bukti mereka, mencoba mencari tahu apa yang sebenarnya ada di balik itu semua. Mereka berakhir dengan bukti yang memecahkan masalah saat tidak hanya untuk aplikasi khusus mereka, tetapi untuk setiap distribusi grup — dan untuk semua jenis struktur matematika lainnya.

Mereka membagi masalah menjadi langkah-langkah kecil yang dapat dikelola. Alih-alih mencoba menyelesaikan seluruh distribusi probabilitas sekaligus, mereka hanya berfokus pada sebagian kecil momen.

Misalnya, untuk menyelesaikan masalah momen untuk distribusi probabilitas pada grup, setiap momen akan dikaitkan dengan grup G. Pada awalnya, Sawin dan Wood akan melihat sistem persamaan yang hanya menyertakan momen untuk daftar grup yang terbatas. Mereka kemudian perlahan menambahkan grup ke daftar, melihat lebih banyak momen setiap saat. Dengan secara bertahap membuat masalah menjadi lebih kompleks, mereka membuat setiap langkah menjadi masalah yang dapat dipecahkan. Sedikit demi sedikit, mereka membangun solusi lengkap dari masalah saat ini.

"Daftar tetap itu seperti kacamata yang Anda kenakan, dan semakin banyak grup yang ingin Anda pertimbangkan, semakin baik kacamata Anda," jelas Wood.

Ketika mereka akhirnya membersihkan detail asing terakhir, mereka menemukan diri mereka dengan argumen yang sulur-sulurnya menjangkau seluruh matematika. Hasilnya berhasil untuk kelompok kelas, untuk kelompok yang terkait dengan bentuk geometris, untuk jaringan titik dan garis, serta untuk himpunan lain dengan kerumitan matematika yang lebih banyak. Dalam semua situasi ini, Sawin dan Wood menemukan formula yang mengambil serangkaian momen dan mengeluarkan distribusi yang memiliki momen tersebut (selama momen tidak tumbuh terlalu cepat, di antara persyaratan lainnya).

“Ini sangat mirip dengan gaya Melanie,” kata Ellenberg. “Untuk menjadi seperti, 'Mari kita buktikan teorema yang sangat umum yang menangani banyak kasus berbeda secara seragam dan elegan.'”

Sawin dan Wood sekarang kembali ke tujuan awal mereka. Pada awal Januari, mereka berbagi kertas baru yang mengoreksi prediksi Cohen-Lenstra yang salah dibuat pada akhir 1980-an oleh Cohen dan rekannya Jacques Martinet. Di luar itu, mereka masih memiliki lebih banyak hasil dalam antrean mereka, dengan rencana untuk memperluas heuristik ke lebih banyak lagi situasi baru. “Saya tidak tahu apakah proyek ini akan berakhir,” kata Sawin.

Masalah kedua yang dipecahkan Sawin dan Wood adalah "semacam duri di belakang kepala Anda untuk banyak pertanyaan berbeda," kata Tsimerman. "Saya pikir banyak ahli matematika akan menarik napas lega."