Algoritma Quantum Goemans-Williamson dengan Hadamard Test dan Approximate Amplitude Constraints

Algoritma Quantum Goemans-Williamson dengan Hadamard Test dan Approximate Amplitude Constraints

Stempel Waktu: 12 Juli 2023 8:29

Taylor L. Patti1,2, Jean Kossafi2,Anima Anandkumar3,2, dan Susanne F. Yelin1

1Departemen Fisika, Universitas Harvard, Cambridge, Massachusetts 02138, AS
2NVIDIA, Santa Clara, California 95051, AS
3Departemen Komputasi + Ilmu Matematika (CMS), Institut Teknologi California (Caltech), Pasadena, CA 91125 USA

Apakah makalah ini menarik atau ingin dibahas? Scite atau tinggalkan komentar di SciRate.

Abstrak

Program semidefinite adalah metode pengoptimalan dengan beragam aplikasi, seperti mendekati masalah kombinatorial yang sulit. Salah satu program semidefinite tersebut adalah algoritma Goemans-Williamson, teknik relaksasi bilangan bulat yang populer. Kami memperkenalkan algoritme kuantum variasional untuk algoritme Goemans-Williamson yang hanya menggunakan $n{+}1$ qubit, jumlah persiapan sirkuit yang konstan, dan nilai ekspektasi $text{poly}(n)$ untuk menyelesaikan program semidefinite secara kira-kira dengan hingga $N=2^n$ variabel dan $M sim O(N)$ kendala. Optimalisasi yang efisien dicapai dengan menyandikan matriks objektif sebagai kesatuan parameter yang dikondisikan dengan benar pada qubit tambahan, sebuah teknik yang dikenal sebagai Tes Hadamard. Uji Hadamard memungkinkan kita untuk mengoptimalkan fungsi tujuan dengan mengestimasi hanya satu nilai ekspektasi tunggal dari ancilla qubit, daripada memperkirakan secara terpisah banyak nilai ekspektasi secara eksponensial. Demikian pula, kami mengilustrasikan bahwa kendala pemrograman semidefinite dapat ditegakkan secara efektif dengan menerapkan Uji Hadamard kedua, serta menerapkan sejumlah polinomial kendala amplitudo string Pauli. Kami mendemonstrasikan keefektifan protokol kami dengan merancang implementasi kuantum yang efisien dari algoritme Goemans-Williamson untuk berbagai masalah NP-hard, termasuk MaxCut. Metode kami melebihi kinerja metode klasik analog pada subset beragam masalah MaxCut yang dipelajari dengan baik dari pustaka GSet.

Algoritma Quantum Goemans-Williamson dengan Uji Hadamard dan Perkiraan Batasan Amplitudo PlatoBlockchain Data Intelligence. Pencarian Vertikal. Ai.

Gambar unggulan: Diagram HTAAC-QSDP untuk algoritme Goemans-Williamson dengan $n=3$ qubit non-tambahan. a) Masalah klasik variabel $N$ (di sini masalah $N$-vertex MaxCut di mana $N=8$). Matriks bobot $W$ digunakan untuk menghasilkan kesatuan $U_W$. b) Uji Hadamard digunakan untuk mengevaluasi secara efisien kendala fungsi tujuan dan penyeimbangan populasi. Status $n$-qubit $|psirangle = U_V|mathbf{0}rangle$ disiapkan dengan sirkuit kuantum variasional $U_V$. Qubit $n+1$th (tambahan) diinisialisasi sebagai $(|0rangle -i |1rangle)/sqrt{2}$. Selanjutnya, Hadamard Test dilakukan: $U_W$ diimplementasikan sebagai controlled-unitary conditioning pada auxilary qubit, yang kemudian diukur untuk menghitung $langle sigma_{n+1} rangle_{W,t} = text{Im}[langle psi|U_W|psi rangle]$ or $langle sigma_{n+1} rangle_{P,t} = text{Im}[langle psi|U_P|psi rangle] $. c) Batasan kendala amplitudo $M=2^n$ SDP kira-kira ditegakkan dengan hanya $m sim text{poly}(n)$ batasan string Pauli. Ini dihitung dengan mengumpulkan pengukuran $n$-qubit Pauli-$z$ dan menggunakan statistik marjinal untuk memperkirakan nilai ekspektasi $m$.

Ringkasan populer

Program semidefinite memungkinkan kita untuk memperkirakan beragam masalah sulit, termasuk masalah NP-hard. Salah satu program semidefinite tersebut adalah algoritma Goemans-Williamson, yang dapat memecahkan masalah sulit, seperti MaxCut. Kami memperkenalkan algoritme kuantum variasional untuk algoritme Goemans-Williamson yang hanya menggunakan $n{+}1$ qubit, jumlah persiapan sirkuit yang konstan, dan jumlah nilai ekspektasi polinomial untuk menyelesaikan program semidefinisi secara kasar dengan jumlah variabel dan batasan eksponensial. Kami menyandikan masalah ke dalam rangkaian kuantum (atau kesatuan) dan membacanya pada qubit bantu tunggal, sebuah teknik yang dikenal sebagai Tes Hadamard. Demikian pula, kami mengilustrasikan bahwa kendala masalah dapat ditegakkan dengan 1) Uji Hadamard kedua dan 2) sejumlah polinomial kendala string Pauli. Kami mendemonstrasikan keefektifan protokol kami dengan merancang implementasi kuantum yang efisien dari algoritme Goemans-Williamson untuk berbagai masalah NP-hard, termasuk MaxCut. Metode kami melebihi kinerja metode klasik analog pada beragam subset masalah MaxCut yang dipelajari dengan baik.

► data BibTeX

► Referensi

[1] Stephen P. Boyd dan Lieven Vandenberghe. "Optimasi cembung". Cambridge Press. (2004).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511804441

[2] Michel X.Goemans. "Pemrograman semidefinite dalam optimasi kombinatorial". Pemrograman Matematika 79, 143–161 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[3] Lieven Vandenberghe dan Stephen Boyd. “Aplikasi Pemrograman Semi Definitif”. Matematika Numerik Terapan 29, 283–299 (1999).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0168-9274(98)00098-1

[4] Wenjun Li, Yang Ding, Yongjie Yang, R. Simon Sherratt, Jong Hyuk Park, and Jin Wang. "Algoritma parameter masalah np-hard fundamental: survei". Komputasi Manusia dan Ilmu Informasi 10, 29 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1186 / s13673-020-00226-w

[5] Christoph Helmberg. "Pemrograman semidefinite untuk optimasi kombinatorial". Konrad-Zuse-Zentrum fur Informationstechnik Berlin. (2000).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[6] Michel X. Goemans dan David P. Williamson. "Algoritma pendekatan yang ditingkatkan untuk masalah pemotongan dan kepuasan maksimum menggunakan pemrograman semidefinite". J.ACM 42, 1115–1145 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 227683.227684

[7] Florian A.Potra dan Stephen J.Wright. "Metode titik interior". Jurnal Komputasi dan Matematika Terapan 124, 281–302 (2000).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0377-0427(00)00433-7

[8] Haotian Jiang, Tarun Kathuria, Yin Tat Lee, Swati Padmanabhan, and Zhao Song. "Metode titik interior yang lebih cepat untuk pemrograman semidefinite". Pada tahun 2020, simposium tahunan ke-61 IEEE tentang dasar-dasar ilmu komputer (FOCS). Halaman 910–918. IEEE (2020).
https://​/​doi.org/​10.1109/​FOCS46700.2020.00089

[9] Baihe Huang, Shunhua Jiang, Zhao Song, Runzhou Tao, and Ruizhe Zhang. “Memecahkan sdp lebih cepat: Kerangka kerja ipm yang kuat dan implementasi yang efisien”. Pada tahun 2022 IEEE 63rd Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS). Halaman 233–244. IEEE (2022).
https://​/​doi.org/​10.1109/​FOCS54457.2022.00029

[10] David P. Williamson dan David B. Shmoys. "Desain algoritma pendekatan". Pers Universitas Cambridge. (2011).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511921735

[11] Nikolaj Moll, Panagiotis Barkoutsos, Lev S Bishop, Jerry M Chow, Andrew Cross, Daniel J Egger, Stefan Filipp, Andreas Fuhrer, Jay M Gambetta, Marc Ganzhorn, dkk. "Optimasi kuantum menggunakan algoritma variasional pada perangkat kuantum jangka pendek". Sains dan Teknologi Kuantum 3, 030503 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 2058-9565 / aab822

[12] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone, Sam Gutmann, dan Michael Sipser. "Komputasi kuantum dengan evolusi adiabatik" (2000). arXiv:quant-ph/​0001106.
arXiv: quant-ph / 0001106

[13] Tameem Albash dan Daniel A. Lidar. "Komputasi kuantum adiabatik". Pendeta Mod. Fisika. 90, 015002 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.90.015002

[14] Sepehr Ebadi, Alexander Keesling, Madelyn Cain, Tout T Wang, Harry Levine, Dolev Bluvstein, Giulia Semeghini, Ahmed Omran, JG Liu, Rhine Samajdar, dkk. "Optimalisasi kuantum dari himpunan independen maksimum menggunakan larik atom rydberg". Sains 376, 1209–1215 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1126/​science.abo6587

[15] Tadashi Kadowaki dan Hidetoshi Nishimori. "Anil kuantum dalam model ising melintang". Fisika. Pdt. E 58, 5355–5363 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.58.5355

[16] Elizabeth Gibney. "Peningkatan gelombang-D: Bagaimana para ilmuwan menggunakan komputer kuantum paling kontroversial di dunia". Alam 541 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1038/​541447b

[17] Edward Farhi, Jeffrey Goldstone, dan Sam Gutmann. "Algoritma pengoptimalan perkiraan kuantum". arXiv (2014). arXiv:1411.4028.
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.1411.4028
arXiv: 1411.4028

[18] Juan M Arrazola, Ville Bergholm, Kamil Brádler, Thomas R Bromley, Matt J Collins, Ish Dhand, Alberto Fumagalli, Thomas Gerrits, Andrey Goussev, Lukas G Helt, dkk. "Sirkuit kuantum dengan banyak foton pada chip nanofotonik yang dapat diprogram". Alam 591, 54–60 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-021-03202-1

[19] Fernando GSL Brandão, Amir Kalev, Tongyang Li, Cedric Yen-Yu Lin, Krysta M. Svore, and Xiaodi Wu. "Pemecah Quantum SDP: Percepatan Besar, Optimalitas, dan Aplikasi untuk Pembelajaran Quantum". Kolokium Internasional ke-46 tentang Automata, Bahasa, dan Pemrograman (ICALP 2019) 132, 27:1–27:14 (2019).
https: / / doi.org/ 10.4230 / LIPIcs.ICALP.2019.27

[20] Joran Van Apeldoorn dan András Gilyén. "Peningkatan dalam penyelesaian sdp kuantum dengan aplikasi". Dalam Prosiding Kolokium Internasional ke-46 tentang Automata, Bahasa, dan Pemrograman (2019).
https: / / doi.org/ 10.4230 / LIPICS.ICALP.2019.99

[21] Joran van Apeldoorn, Andràs Gilyèn, Sander Gribling, dan Ronald de Wolf. "Quantum sdp-solvers: Batas atas dan bawah yang lebih baik". Kuantum 4, 230 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2020-02-14-230

[22] Fernando GSL Brandão dan Krysta M. Svore. "Percepatan kuantum untuk memecahkan program semidefinite". Pada tahun 2017 IEEE 58th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS). Halaman 415–426. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS.2017.45

[23] Fernando GS L. Brandão, Richard Kueng, dan Daniel Stilck França. "Perkiraan SDP kuantum dan klasik yang lebih cepat untuk optimasi biner kuadrat". Kuantum 6, 625 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-01-20-625

[24] Dhrumil Patel, Patrick J. Coles, dan Mark M. Wilde. “Algoritme kuantum variasional untuk pemrograman semidefinisi” (2021). arXiv:2112.08859.
arXiv: 2112.08859

[25] Anirban N. Chowdhury, Guang Hao Low, dan Nathan Wiebe. “Algoritme kuantum variasional untuk menyiapkan status gibbs kuantum” (2020). arXiv:2002.00055.
arXiv: 2002.00055

[26] Taylor L Patti, Omar Shehab, Khadijeh Najafi, and Susanne F Yelin. "Markov chain monte carlo meningkatkan algoritme kuantum variasional". Sains dan Teknologi Kuantum 8, 015019 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1088/​2058-9565/​aca821

[27] Youle Wang, Guangxi Li, and Xin Wang. "Persiapan keadaan gibbs kuantum variasional dengan seri taylor terpotong". Tinjauan Fisik Terapan 16, 054035 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevApplied.16.054035

[28] Sanjeev Arora, Elad Hazan, dan Satyen Kale. "Metode pembaruan bobot perkalian: Meta-algoritma dan aplikasi". Teori Komputasi 8, 121–164 (2012).
https: / / doi.org/ 10.4086 / toc.2012.v008a006

[29] Iordanis Kerenidis dan Anupam Prakash. "Metode titik interior kuantum untuk lps dan sdps". Transaksi ACM pada Quantum Computing 1 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 3406306

[30] Brandon Augustino, Giacomo Nannicini, Tamás Terlaky, and Luis F. Zuluaga. “Metode titik interior kuantum untuk optimasi semidefinite” (2022). arXiv:2112.06025.
arXiv: 2112.06025

[31] M. Cerezo, Andrew Arrasmith, Ryan Babbush, Simon C. Benjamin, Suguru Endo, Keisuke Fujii, Jarrod R. McClean, Kosuke Mitarai, Xiao Yuan, Lukasz Cincio, and Patrick J. Coles. "Algoritma kuantum variasional". Ulasan Alam Fisika 3, 625–644 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-021-00348-9

[32] Kishor Bharti, Tobias Haug, Vlatko Vedral, and Leong-Chuan Kwek. "Algoritma kuantum skala menengah yang bising untuk pemrograman semidefinite". Fisika. Pdt. A 105, 052445 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.105.052445

[33] Lennart Bittel dan Martin Kliesch. "Melatih algoritme kuantum variasional adalah np-hard". Fisika. Pendeta Lett. 127, 120502 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.127.120502

[34] Jarrod R. McClean, Sergio Boixo, Vadim N. Smelyanskiy, Ryan Babbush, dan Hartmut Neven. "Dataran tinggi tandus dalam lanskap pelatihan jaringan saraf kuantum". Komunikasi Alam 9, 4812 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-018-07090-4

[35] Carlos Ortiz Marrero, Mária Kieferová, dan Nathan Wiebe. "Dataran tinggi tandus yang diinduksi keterikatan". PRX Quantum 2, 040316 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040316

[36] Taylor L. Patti, Khadijeh Najafi, Xun Gao, and Susanne F. Yelin. "Keterjeratan merancang mitigasi dataran tinggi tandus". Fisika. Pdt.Res. 3, 033090 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.3.033090

[37] Arthur Pesah, M. Cerezo, Samson Wang, Tyler Volkoff, Andrew T. Sornborger, and Patrick J. Coles. "Tidak adanya dataran tandus dalam jaringan saraf konvolusional kuantum". Fisika. Pdt. X 11, 041011 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.041011

[38] Dorit Aharonov, Vaughan Jones, dan Zeph Landau. "Algoritma kuantum polinomial untuk mendekati polinomial jones". Algoritma 55, 395–421 (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00453-008-9168-0

[39] Clayton W. Komandan. “Masalah potong maksimal, potong maksimal masalah potong maksimal, potong maksimal”. Halaman 1991–1999. Springer AS. Boston, MA (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-0-387-74759-0_358

[40] Steven J. Benson, Yinyu Yeb, and Xiong Zhang. "Pemrograman linier dan semidefinisi campuran untuk optimasi kombinatorial dan kuadrat". Metode Optimasi dan Perangkat Lunak 11, 515–544 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805761

[41] Changhui Choi dan Yinyu Ye. "Memecahkan program semidefinite jarang menggunakan algoritme penskalaan ganda dengan pemecah iteratif". Naskah, Jurusan Ilmu Manajemen, University of Iowa, Iowa City, IA 52242 (2000). url: web.stanford.edu/​yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf.
https://​/​web.stanford.edu/​~yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf

[42] Angelika Wiegele. “Perpustakaan Biq mac – kumpulan contoh pemrograman 0-1 ukuran sedang dengan potongan maksimal dan kuadratik”. Alpen-Adria-Universität Klagenfurt (2007). url: biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf.
https://​/​biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf

[43] Stefan H. Schmieta. "Perpustakaan dimacs dari program campuran semidefinite-quadratic-linear". Tantangan Implementasi DIMACS ke-7 (2007). url: http:///​/​archive.dimacs.rutgers.edu.
http:///​/​archive.dimacs.rutgers.edu

[44] Yoshiki Matsuda. "Membandingkan masalah pemotongan maksimal pada mesin bifurkasi yang disimulasikan". Sedang (2019). url: medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0.
https:///​/​medium.com/toshiba-sbm/benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0

[45] RM Karp. "Reducibility antara masalah kombinatorial". Springer AS. Boston, MA (1972).

[46] Dimitri P Bertsekas. "Metode optimasi terbatas dan pengali lagrange". Pers akademik. (1982).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​C2013-0-10366-2

[47] G Mauro D'Ariano, Matteo GA Paris, and Massimiliano F Sacchi. "Tomografi kuantum". Kemajuan dalam pencitraan dan fisika elektron 128, 206–309 (2003).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.quant-ph/​0302028
arXiv: quant-ph / 0302028

[48] Alessandro Bisio, Giulio Chiribella, Giacomo Mauro D'Ariano, Stefano Facchini, and Paolo Perinotti. "Tomografi kuantum optimal". IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics 15, 1646–1660 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1109 / JSTQE.2009.2029243

[49] Max S. Kaznady dan Daniel FV James. "Strategi numerik untuk tomografi kuantum: Alternatif untuk optimasi penuh". Fisika. Pdt. A 79, 022109 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.022109

[50] Javier Pena. "Konvergensi metode orde pertama melalui konjugasi cembung". Surat Riset Operasi 45, 561–564 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1016/​j.orl.2017.08.013

[51] Alan Frieze dan Mark Jerrum. "Peningkatan algoritme aproksimasi untuk maxk-cut dan max bisection". Algoritma 18, 67–81 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02523688

[52] Clark David Thompson. "Teori kompleksitas untuk vlsi". tesis PhD. Universitas Carnegie Mellon. (1980). url: dl.acm.org/​doi/​10.5555/​909758.
https: / / dl.acm.org/ doi / 10.5555 / 909758

[53] Chu Min Li dan Felip Manya. "Maxsat, kendala keras dan lunak". Dalam Handbook of satisfiability. Halaman 903–927. Pers IOS (2021).
https:/​/​doi.org/​10.3233/​978-1-58603-929-5-613

[54] Nicholas J Higham. "Menghitung matriks korelasi terdekat — masalah dari keuangan". Jurnal IMA Analisis Numerik 22, 329–343 (2002).
https://​/​doi.org/​10.1093/​imanum/​22.3.329

[55] Tadayoshi Fushiki. “Estimasi matriks korelasi semidefinit positif dengan menggunakan pemrograman semidefinit kuadrat cembung”. Komputasi Neural 21, 2028–2048 (2009).
https://​/​doi.org/​10.1162/​neco.2009.04-08-765

[56] Todd MJ. "Sebuah studi tentang arah pencarian dalam metode titik interior primal-dual untuk pemrograman semidefinite". Metode pengoptimalan dan perangkat lunak 11, 1–46 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805745

[57] Roger Fletcher. “Fungsi Penalti”. Pemrograman Matematika The State of the Art: Bonn 1982 Halaman 87–114 (1983).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-68874-4_5

[58] Robert M. Freund. "Metode penalti dan penghalang untuk pengoptimalan terbatas". Catatan Kuliah, Massachusetts Institute of Technology (2004). url: ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004.
https://​/​ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004

[59] Eric Ricardo Anschuetz. "Poin kritis dalam model generatif kuantum". Dalam Konferensi Internasional tentang Representasi Pembelajaran. (2022). url: openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN.
https://​/​openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN

[60] Amir Beck. "Metode orde pertama dalam optimasi". SIAM. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 1.9781611974997

[61] Sanjeev Arora dan Satyen Kale. "Sebuah kombinatorial, pendekatan primal-dual untuk program semidefinite". J.ACM 63 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 2837020

[62] Taylor L. Patti, Jean Kossaifi, Susanne F. Yelin, and Anima Anandkumar. “Tensorly-quantum: Pembelajaran mesin kuantum dengan metode tensor” (2021). arXiv:2112.10239.
arXiv: 2112.10239

[63] Jean Kossaifi, Yannis Panagakis, Anima Anandkumar, and Maja Pantic. "Tensorly: Pembelajaran tensor dengan python". Jurnal Penelitian Pembelajaran Mesin 20, 1–6 (2019). url: http://​/​jmlr.org/​papers/​v20/​18-277.html.
http: / / jmlr.org/ paper / v20 ​​/ 18-277.html

[64] tim Quantum. “Nvidia/​cuquantum: cuquantum v22.11” (2022).

[65] Diederik P. Kingma dan Jimmy Ba. “Adam: Metode untuk optimasi stokastik” (2017). arXiv:1412.6980.
arXiv: 1412.6980

[66] Brahim Chaourar. "Algoritme waktu linier untuk varian dari masalah pemotongan maksimum dalam grafik paralel seri". Kemajuan dalam Riset Operasi (2017).
https://​/​doi.org/​10.1155/​2017/​1267108

[67] Yuri Makarychev. "Bukti singkat kriteria planaritas grafik kuratowski". Jurnal Teori Graf 25, 129–131 (1997).
<a href="https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0118(199706)25:23.0.CO;2-O”>https:/​/​doi.org/​10.1002/​(SICI)1097-0118(199706)25:2<129::AID-JGT4>3.0.CO;2-O

[68] Béla Bollobás. "Evolusi grafik acak — komponen raksasa". Halaman 130–159. Studi Cambridge dalam Matematika Tingkat Lanjut. Pers Universitas Cambridge. (2001). 2 edisi.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511814068.008

[69] Sanjeev Arora, David Karger, and Marek Karpinski. "Skema perkiraan waktu polinomial untuk contoh padat masalah np-hard". Jurnal ilmu komputer dan sistem 58, 193–210 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1006 / jcss.1998.1605

[70] Rick Durrett. "Grafik acak Erdös–rényi". Halaman 27–69. Seri Cambridge dalam Matematika Statistik dan Probabilistik. Pers Universitas Cambridge. (2006).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511546594.003

[71] Gary Chartrand dan Ping Zhang. “Teori Graf Kromatik”. Taylor dan Francis. (2008).
https: / / doi.org/ 10.1201 / 9781584888017

[72] John van de Wetering. “Kalkulus Zx untuk ilmuwan komputer kuantum yang bekerja” (2020). arXiv:2012.13966.
arXiv: 2012.13966

[73] Alexander Cowtan, Silas Dilkes, Ross Duncan, Will Simmons, dan Seyon Sivarajah. "Fase sintesis gadget untuk sirkuit dangkal". Prosiding Elektronik dalam Ilmu Komputer Teoritis 318, 213–228 (2020).
https: / / doi.org/ 10.4204 / eptcs.318.13

[74] Andrew M. Childs, Yuan Su, Minh C. Tran, Nathan Wiebe, and Shuchen Zhu. "Teori kesalahan pengeliling dengan penskalaan komutator". Fisika. Pdt. X 11, 011020 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.011020

[75] Joseph W Britton, Brian C Sawyer, Adam C Keith, CC Joseph Wang, James K Freericks, Hermann Uys, Michael J Biercuk, and John J Bollinger. “Interaksi ising dua dimensi yang direkayasa dalam simulator kuantum ion yang terperangkap dengan ratusan putaran”. Alam 484, 489–492 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature10981

[76] Hannes Bernien, Sylvain Schwartz, Alexander Keesling, Harry Levine, Ahmed Omran, Hannes Pichler, Soonwon Choi, Alexander S Zibrov, Manuel Endres, Markus Greiner, dkk. "Menyelidiki dinamika banyak benda pada simulator kuantum 51 atom". Alam 551, 579–584 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature24622

[77] Gheorghe-Sorin Paraoanu. "Kemajuan terbaru dalam simulasi kuantum menggunakan sirkuit superkonduktor". Jurnal Fisika Suhu Rendah 175, 633–654 (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s10909-014-1175-8

[78] Katsuki Fujisawa, Hitoshi Sato, Satoshi Matsuoka, Toshio Endo, Makoto Yamashita, and Maho Nakata. "Pemecah umum berkinerja tinggi untuk masalah pemrograman semidefinite berskala sangat besar". Dalam SC '12: Prosiding Konferensi Internasional tentang Komputasi, Jaringan, Penyimpanan, dan Analisis Kinerja Tinggi. Halaman 1–11. (2012).
https://​/​doi.org/​10.1109/​SC.2012.67

[79] Adrian S. Lewis dan Michael L. Overton. “Optimasi Nilai Eigen”. Acta Numerica 5, 149–190 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1017 / S0962492900002646

[80] Xiaosi Xu, Jinzhao Sun, Suguru Endo, Ying Li, Simon C. Benjamin, and Xiao Yuan. “Algoritma Variasi untuk Aljabar Linear”. Buletin Sains 66, 2181–2188 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.scib.2021.06.023

Dikutip oleh

Tidak dapat mengambil Crossref dikutip oleh data selama upaya terakhir 2023-07-12 14:07:40: Tidak dapat mengambil data yang dikutip untuk 10.22331 / q-2023-07-12-1057 dari Crossref. Ini normal jika DOI terdaftar baru-baru ini. Di SAO / NASA ADS tidak ada data tentang karya mengutip ditemukan (upaya terakhir 2023-07-12 14:07:40).

Makalah ini diterbitkan dalam Quantum di bawah Creative Commons Attribution 4.0 Internasional (CC BY 4.0) lisensi. Hak cipta tetap berada pada pemegang hak cipta asli seperti penulis atau lembaganya.

Stempel Waktu:

Lebih dari Jurnal Kuantum