Ketika Daniel Larsen di sekolah menengah, dia mulai merancang teka-teki silang. Dia harus meletakkan hobi di atas minatnya yang lain: catur, pemrograman, piano, biola. Dia dua kali memenuhi syarat untuk Scripps National Spelling Bee di dekat Washington, DC, setelah memenangkan kompetisi regionalnya. “Dia fokus pada sesuatu, dan itu hanya bang, bang, bang, sampai dia berhasil,” kata ibu Larsen, Ayelet Lindenstrauss. Teka-teki silang pertamanya ditolak oleh surat kabar besar, tetapi dia terus melakukannya dan akhirnya berhasil memecahkannya. Sampai saat ini, dia memegang rekor untuk orang termuda yang menerbitkan teka-teki silang di The New York Times, pada usia 13. “Dia sangat gigih,” kata Lindenstrauss.
Namun, obsesi terbaru Larsen terasa berbeda, "lebih lama dan lebih intens daripada sebagian besar proyeknya yang lain," katanya. Selama lebih dari satu setengah tahun, Larsen tidak bisa berhenti memikirkan soal matematika tertentu.
Itu berakar pada pertanyaan yang lebih luas, yang dianggap matematikawan Carl Friedrich Gauss sebagai salah satu yang paling penting dalam matematika: bagaimana membedakan bilangan prima (bilangan yang hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri) dari bilangan komposit. Selama ratusan tahun, matematikawan telah mencari cara yang efisien untuk melakukannya. Masalahnya juga menjadi relevan dalam konteks kriptografi modern, karena beberapa kriptosistem yang paling banyak digunakan saat ini melibatkan melakukan aritmatika dengan bilangan prima yang sangat besar.
Lebih dari seabad yang lalu, dalam pencarian untuk tes primality yang cepat dan kuat, matematikawan menemukan sekelompok pembuat onar — angka yang mengelabui tes dengan berpikir bahwa mereka adalah bilangan prima, meskipun sebenarnya tidak. Pseudoprimes ini, yang dikenal sebagai bilangan Carmichael, sangat sulit untuk dipahami. Baru pada pertengahan 1990-an, misalnya, para matematikawan membuktikan bahwa jumlahnya tak terhingga. Mampu mengatakan lebih banyak tentang bagaimana mereka didistribusikan di sepanjang garis bilangan telah menimbulkan tantangan yang lebih besar.
Kemudian datanglah Larsen dengan bukti baru tentang hal itu, yang terinspirasi oleh karya penting baru-baru ini di bidang teori bilangan yang berbeda. Saat itu, dia baru berusia 17 tahun.
Percikan
Tumbuh di Bloomington, Indiana, Larsen selalu tertarik pada matematika. Orang tuanya, keduanya ahli matematika, memperkenalkan dia dan kakak perempuannya pada subjek ketika mereka masih muda. (Dia sekarang mengejar gelar doktor dalam matematika.) Ketika Larsen berusia 3 tahun, kenang Lindenstrauss, dia mulai mengajukan pertanyaan filosofis padanya tentang sifat tak terhingga. "Saya pikir, anak ini memiliki pikiran matematis," kata Lindenstrauss, seorang profesor di Universitas Indiana.
Kemudian beberapa tahun yang lalu — sekitar waktu dia tenggelam dalam proyek ejaan dan teka-teki silang — dia menemukan dokumenter tentang Yitang Zhang, seorang ahli matematika tidak dikenal yang bangkit dari ketidakjelasan pada tahun 2013 setelah membuktikan hasil penting yang menempatkan batas atas pada celah antara bilangan prima berurutan. Sesuatu diklik di Larsen. Dia tidak bisa berhenti memikirkan teori bilangan, dan tentang masalah terkait yang masih ingin dipecahkan oleh Zhang dan matematikawan lainnya: dugaan bilangan prima kembar, yang menyatakan bahwa ada banyak pasangan bilangan prima yang berbeda hanya dengan 2.
Setelah pekerjaan Zhang, yang menunjukkan bahwa ada banyak pasangan bilangan prima yang berlainan kurang dari 70 juta, yang lain melompat masuk untuk menurunkan ikatan ini lebih jauh. Dalam beberapa bulan, para matematikawan James Maynard dan Terence tao independen membuktikan pernyataan yang lebih kuat tentang kesenjangan antara bilangan prima. Kesenjangan itu telah menyusut menjadi 246.
Larsen ingin memahami beberapa matematika yang mendasari pekerjaan Maynard dan Tao, "tapi itu sangat mustahil bagi saya," katanya. Surat-surat mereka terlalu rumit. Larsen mencoba membaca karya terkait, hanya untuk menemukannya juga tidak dapat ditembus. Dia terus melakukannya, melompat dari satu hasil ke hasil lainnya, hingga akhirnya, pada Februari 2021, dia menemukan sebuah makalah yang menurutnya indah dan dapat dipahami. Subjeknya: bilangan Carmichael, bilangan komposit aneh yang terkadang bisa dianggap sebagai bilangan prima.
Semua kecuali Perdana
Pada pertengahan abad ke-17, matematikawan Prancis Pierre de Fermat menulis surat kepada teman dan orang kepercayaannya Frénicle de Bessy, di mana ia menyatakan apa yang kemudian dikenal sebagai "teorema kecilnya". Jika N adalah bilangan prima, maka bN - b selalu merupakan kelipatan dari N, tidak peduli apapun b adalah. Misalnya, 7 adalah bilangan prima, dan sebagai hasilnya, 27 – 2 (yang sama dengan 126) adalah kelipatan 7. Demikian pula, 37 – 3 adalah kelipatan 7, dan seterusnya.
Matematikawan melihat potensi untuk pengujian sempurna apakah bilangan yang diberikan adalah bilangan prima atau komposit. Mereka tahu bahwa jika N adalah prima, bN - b selalu merupakan kelipatan dari N. Bagaimana jika kebalikannya juga benar? Artinya, jika bN - b adalah kelipatan dari N untuk semua nilai b, harus N menjadi prima?
Sayangnya, ternyata dalam kasus yang sangat jarang, N dapat memenuhi kondisi ini dan masih komposit. Angka terkecil adalah 561: Untuk sembarang bilangan bulat b, b561 - b selalu kelipatan 561, meskipun 561 bukan bilangan prima. Angka-angka seperti ini dinamai matematikawan Robert Carmichael, yang sering dikreditkan dengan menerbitkan contoh pertama pada tahun 1910 (meskipun matematikawan Ceko Václav imerka secara independen menemukan contoh pada tahun 1885).
Matematikawan ingin lebih memahami angka-angka ini yang sangat mirip dengan objek paling mendasar dalam teori bilangan, bilangan prima. Ternyata pada tahun 1899 - satu dekade sebelum hasil Carmichael - matematikawan lain, Alwin Korselt, telah menemukan definisi yang setara. Dia hanya tidak tahu apakah ada nomor yang sesuai dengan tagihan.
Menurut kriteria Korselt, sebuah bilangan N adalah bilangan Carmichael jika dan hanya jika memenuhi tiga sifat. Pertama, harus memiliki lebih dari satu faktor prima. Kedua, tidak ada faktor prima yang dapat diulang. Dan ketiga, untuk setiap bilangan prima p yang membagi N, p – 1 juga membagi N – 1. Perhatikan kembali angka 561. Sama dengan 3 × 11 × 17, jadi jelas memenuhi dua properti pertama dalam daftar Korselt. Untuk menunjukkan sifat terakhir, kurangi 1 dari setiap faktor prima untuk mendapatkan 2, 10 dan 16. Selain itu, kurangi 1 dari 561. Ketiga bilangan yang lebih kecil adalah pembagi dari 560. Oleh karena itu, bilangan 561 adalah bilangan Carmichael.
Meskipun matematikawan menduga bahwa ada banyak bilangan Carmichael yang tak terhingga, jumlahnya relatif sedikit dibandingkan dengan bilangan prima, yang membuatnya sulit untuk dijabarkan. Kemudian pada tahun 1994, Red Alford, Andrew Granville dan Carl Pomerance menerbitkan terobosan kertas di mana mereka akhirnya membuktikan bahwa memang ada banyak pseudoprima ini.
Sayangnya, teknik yang mereka kembangkan tidak memungkinkan mereka untuk mengatakan apa pun tentang seperti apa angka-angka Carmichael itu. Apakah mereka muncul dalam kelompok di sepanjang garis bilangan, dengan celah besar di antaranya? Atau bisakah Anda selalu menemukan nomor Carmichael dalam waktu singkat? "Anda akan berpikir jika Anda dapat membuktikan bahwa jumlah mereka tak terhingga," kata Granville, "pasti Anda harus dapat membuktikan bahwa tidak ada kesenjangan besar di antara mereka, bahwa mereka harus memiliki jarak yang relatif baik."
Secara khusus, dia dan rekan penulisnya berharap untuk membuktikan pernyataan yang mencerminkan ide ini — yang diberikan dalam jumlah yang cukup besar X, akan selalu ada nomor Carmichael di antara X dan 2X. "Ini adalah cara lain untuk mengungkapkan betapa mereka ada di mana-mana," kata Jon Grantham, ahli matematika di Institute for Defense Analyzes yang telah melakukan pekerjaan terkait.
Tetapi selama beberapa dekade, tidak ada yang bisa membuktikannya. Teknik yang dikembangkan oleh Alford, Granville, dan Pomerance “memungkinkan kami untuk menunjukkan bahwa akan ada banyak bilangan Carmichael,” kata Pomerance, “tetapi tidak benar-benar memungkinkan kami untuk memiliki banyak kendali tentang di mana mereka akan berada. ”
Kemudian, pada November 2021, Granville membuka email dari Larsen, yang saat itu berusia 17 tahun dan duduk di bangku SMA. SEBUAH kertas terpasang — dan yang mengejutkan Granville, itu tampak benar. "Itu bukan bacaan termudah yang pernah ada," katanya. “Tapi ketika saya membacanya, cukup jelas bahwa dia tidak main-main. Dia punya ide brilian.”
Pomerance, yang membaca versi selanjutnya dari karya tersebut, setuju. “Buktinya benar-benar cukup canggih,” katanya. “Itu akan menjadi makalah yang ditulis oleh setiap matematikawan dengan bangga. Dan inilah anak SMA yang menulisnya.”
Kunci pembuktian Larsen adalah pekerjaan yang telah menariknya ke angka Carmichael di tempat pertama: hasil oleh Maynard dan Tao pada kesenjangan utama.
Tidak Mungkin — Tidak Mungkin
Ketika Larsen pertama kali menunjukkan bahwa Anda selalu dapat menemukan nomor Carmichael dalam interval pendek, "tampaknya itu sangat jelas benar, seberapa sulit untuk membuktikannya?" dia berkata. Dia segera menyadari itu bisa sangat sulit memang. "Ini adalah masalah yang menguji teknologi zaman kita," katanya.
Dalam makalah mereka tahun 1994, Alford, Granville, dan Pomerance telah menunjukkan cara membuat bilangan Carmichael yang tak terhingga banyaknya. Tetapi mereka tidak dapat mengontrol ukuran bilangan prima yang mereka gunakan untuk membuatnya. Itulah yang perlu dilakukan Larsen untuk membuat bilangan Carmichael yang ukurannya relatif dekat. Sulitnya masalah tersebut membuat khawatir ayahnya, Michael Larsen. "Saya tidak berpikir itu tidak mungkin, tetapi saya pikir tidak mungkin dia akan berhasil," katanya. "Saya melihat berapa banyak waktu yang dia habiskan untuk itu ... dan saya merasa akan sangat menghancurkan baginya untuk memberikan begitu banyak dari dirinya untuk ini dan tidak mendapatkannya."
Tetap saja, dia tahu lebih baik daripada mencoba menghalangi putranya. “Ketika Daniel berkomitmen pada sesuatu yang benar-benar menarik baginya, dia bertahan dengan susah payah,” katanya.
Jadi Larsen kembali ke makalah Maynard — khususnya, untuk menunjukkan bahwa jika Anda mengambil urutan angka tertentu yang cukup, beberapa subset dari angka-angka itu harus prima. Larsen memodifikasi teknik Maynard untuk menggabungkannya dengan metode yang digunakan oleh Alford, Granville dan Pomerance. Ini memungkinkan dia untuk memastikan bahwa bilangan prima yang dia dapatkan akan bervariasi dalam ukuran — cukup untuk menghasilkan angka Carmichael yang akan jatuh dalam interval yang dia inginkan.
"Dia memiliki kendali lebih besar atas hal-hal daripada yang pernah kita miliki," kata Granville. Dan dia mencapai ini melalui penggunaan karya Maynard yang sangat cerdik. “Tidak mudah … menggunakan kemajuan ini pada celah pendek antara bilangan prima,” kata Kaisa Matomaki, seorang matematikawan di Universitas Turku di Finlandia. "Cukup bagus dia bisa menggabungkannya dengan pertanyaan tentang angka Carmichael ini."
Faktanya, argumen Larsen tidak hanya memungkinkan dia untuk menunjukkan bahwa nomor Carmichael harus selalu muncul di antara X dan 2X. Buktinya bekerja untuk interval yang jauh lebih kecil juga. Matematikawan sekarang berharap ini juga akan membantu mengungkapkan aspek lain dari perilaku angka-angka aneh ini. “Itu ide yang berbeda,” kata Thomas Wright, seorang ahli matematika di Wofford College di South Carolina yang bekerja pada pseudoprime. "Itu mengubah banyak hal tentang bagaimana kita bisa membuktikan hal-hal tentang angka Carmichael."
Grantham setuju. “Sekarang Anda dapat melakukan hal-hal yang tidak pernah Anda pikirkan,” katanya.
Larsen, sementara itu, baru saja memulai tahun pertamanya di Massachusetts Institute of Technology. Dia tidak yakin masalah apa yang mungkin dia kerjakan selanjutnya, tetapi dia ingin mempelajari apa yang ada di luar sana. “Saya hanya mengambil kursus … dan mencoba untuk berpikiran terbuka,” katanya.
“Dia melakukan semua ini tanpa pendidikan sarjana,” kata Grantham. "Saya hanya bisa membayangkan apa yang akan dia lakukan di sekolah pascasarjana."
