Perilaku Menakjubkan dari Barisan Rekursif | Majalah Kuanta

Dalam matematika, aturan sederhana dapat membuka kompleksitas dan keindahan alam semesta. Ambil contoh deret Fibonacci yang terkenal, yang didefinisikan sebagai berikut: Dimulai dengan 1 dan 1, dan setiap angka berikutnya adalah jumlah dari dua angka sebelumnya. Beberapa angka pertama adalah:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

Memang sederhana, tapi resep sederhana ini memunculkan pola yang memiliki makna luas, pola yang tampak terjalin dalam struktur alam. Hal itu terlihat pada lingkaran cangkang nautilus, tulang jari kita, dan susunan daun di dahan pohon. Jangkauan matematisnya mencakup geometri, aljabar, probabilitas, dan bidang lainnya. Delapan abad sejak deret tersebut diperkenalkan ke Barat – matematikawan India telah mempelajarinya jauh sebelum Fibonacci – angka-angka terus menarik minat para peneliti, sebuah bukti seberapa besar kedalaman matematika yang dapat mendasari bahkan deret angka paling dasar sekalipun.

Dalam deret Fibonacci, setiap suku dibangun berdasarkan suku-suku sebelumnya. Urutan rekursif seperti itu dapat menunjukkan berbagai macam perilaku, beberapa di antaranya sangat berlawanan dengan intuisi. Ambil contoh, rangkaian barisan aneh yang pertama kali dijelaskan pada tahun 1980-an oleh ahli matematika Amerika. Michael Somos.

Seperti deret Fibonacci, deret Somos dimulai dengan serangkaian deret. Seorang Somos-k urutan dimulai dengan k dari mereka. Setiap istilah baru dari Somos-k Barisan ditentukan dengan memasangkan suku-suku sebelumnya, mengalikan setiap pasangan, menjumlahkan pasangan, dan kemudian membaginya dengan suku k posisi kembali dalam urutan.

Urutannya tidak terlalu menarik k sama dengan 1, 2, atau 3 — semuanya hanyalah rangkaian yang berulang. Tapi untuk k = 4, 5, 6 atau 7 barisan tersebut mempunyai sifat aneh. Meskipun ada banyak pembagian, pecahan tidak muncul.

“Biasanya kita tidak mengalami fenomena seperti ini,” kata Somos. “Ini adalah perulangan yang tampak sederhana, mirip dengan Fibonacci. Namun ada banyak hal di balik kesederhanaan itu.”

Matematikawan lain terus mengungkap hubungan mengejutkan antara barisan Somos dan bidang matematika yang tampaknya tidak berhubungan. Satu makalah yang diterbitkan pada bulan Juli menggunakannya untuk itu membangun solusi hingga sistem persamaan diferensial yang digunakan untuk memodelkan segala sesuatu mulai dari interaksi predator-mangsa hingga gelombang yang merambat dalam plasma berenergi tinggi. Mereka juga digunakan untuk mempelajari struktur objek matematika yang disebut aljabar cluster dan terhubung ke kurva eliptik — yang merupakan kunci untuk memecahkan Teorema Terakhir Fermat.

Janice Malouf, seorang mahasiswa pascasarjana di Universitas Illinois, menerbitkan bukti pertama bahwa rangkaian Somos-4 dan Somos-5 merupakan bagian integral (artinya semua sukunya adalah bilangan bulat) pada tahun 1992. Bukti lainnya Hasil yang sama oleh ahli matematika yang berbeda muncul pada waktu yang hampir bersamaan, bersama dengan bukti bahwa barisan Somos-6 dan Somos-7 merupakan integral.

Sifat aneh dari barisan Somos ini mengejutkan para ahli matematika. “Urutan Somos membuat saya penasaran segera setelah saya mengetahuinya,” katanya James Propp, seorang profesor matematika di Universitas Massachusetts, Lowell. “Fakta bahwa Somos-4 hingga Somos-7 selalu memberikan bilangan bulat, tidak peduli seberapa jauh Anda melangkah, tampak seperti keajaiban jika Anda melihat sesuatu dari sudut pandang yang naif. Jadi diperlukan perspektif yang berbeda.”

Propp menemukan perspektif baru di awal tahun 2000-an, ketika ia dan rekan-rekannya menemukan bahwa angka-angka dalam rangkaian Somos-4 sebenarnya menghitung sesuatu. Suku-suku dalam barisan tersebut sesuai dengan struktur yang terdapat pada grafik tertentu. Untuk beberapa graf, simpul (titik) dapat dipasangkan dengan sisi (garis) sehingga setiap simpul terhubung tepat ke satu simpul lainnya — tidak ada simpul yang tidak berpasangan, dan tidak ada simpul yang terhubung ke lebih dari satu sisi. Suku-suku pada barisan Somos-4 menghitung banyaknya pencocokan sempurna yang berbeda untuk suatu barisan graf tertentu.

Penemuan ini tidak hanya menawarkan perspektif baru tentang barisan Somos, namun juga memperkenalkan cara-cara baru untuk memikirkan dan menganalisis transformasi grafik. Propp dan murid-muridnya merayakannya dengan menetapkan hasilnya a Kaos oblong.

“Bagi saya, bagian terbesar dari daya tarik matematika adalah ketika Anda tiba di tujuan yang sama melalui jalur yang berbeda dan sepertinya sesuatu yang ajaib atau mendalam sedang terjadi,” kata Propp. “Hal yang keren tentang barisan ini adalah terdapat berbagai sudut pandang yang menjelaskan mengapa Anda mendapatkan bilangan bulat. Ada kedalaman tersembunyi di sana.”

Ceritanya berubah untuk urutan Somos yang bernomor lebih tinggi. 18 suku pertama Somos-8 adalah bilangan bulat, tetapi suku ke-19 adalah pecahan. Setiap barisan Somos setelahnya juga berisi nilai pecahan.

Jenis barisan lainnya, yang dikembangkan oleh ahli matematika Jerman Fritz Göbel pada tahun 1970-an, merupakan tandingan yang menarik terhadap barisan Somos. Itu nSuku ke deret Göbel didefinisikan sebagai jumlah kuadrat semua suku sebelumnya, ditambah 1, dibagi dengan n. Seperti barisan Somos, barisan Göbel melibatkan pembagian, jadi kita mungkin berharap bahwa suku-sukunya tidak akan tetap bilangan bulat. Namun untuk sementara waktu - seiring dengan bertambahnya urutannya - tampaknya memang begitu.

Suku ke-10 pada deret Göbel adalah sekitar 1.5 juta, suku ke-11 adalah 267 miliar. Suku ke-43 terlalu besar untuk dihitung — ia mempunyai sekitar 178 miliar digit. Namun pada tahun 1975, ahli matematika Belanda Hendrik Lenstra menunjukkan bahwa berbeda dengan 42 suku pertama, suku ke-43 ini bukan bilangan bulat.

Barisan Göbel dapat digeneralisasikan dengan mengganti kuadrat penjumlahannya dengan pangkat tiga, pangkat empat, atau bahkan eksponen yang lebih tinggi. (Berdasarkan konvensi ini, barisan aslinya disebut barisan 2-Göbel.) Barisan ini juga menunjukkan tren yang mengejutkan karena dimulai dengan rangkaian suku bilangan bulat yang diperpanjang. Pada tahun 1988, Henry Ibstedt menunjukkan bahwa 89 suku pertama barisan 3-Göbel (yang menggunakan kubus dan bukan persegi) adalah bilangan bulat, namun suku ke-90 bukan bilangan bulat. Penelitian selanjutnya pada rangkaian Göbel lainnya menemukan bentangan yang lebih panjang. Barisan 31-Göbel, misalnya, dimulai dengan 1,077 suku bilangan bulat.

Pada bulan Juli, ahli matematika Universitas Kyushu Rinnosuke Matsuhira, Toshiki Matsusaka dan Koki Tsuchida membagikan makalah menunjukkan bahwa untuk a k-Urutan Göbel, apa pun pilihannya k, 19 suku pertama barisan tersebut selalu bilangan bulat. Mereka terinspirasi untuk melihat pertanyaan tersebut dari manga Jepang berjudul Seisū-tan, yang diterjemahkan menjadi “Kisah Bilangan Bulat.” A bingkai di buku komik meminta pembaca untuk mencari tahu nilai minimum yang mungkin N_k, titik di mana a kBarisan -Göbel berhenti menghasilkan suku bilangan bulat. Ketiga ahli matematika tersebut berangkat untuk menjawab pertanyaan tersebut. “Kegigihan bilangan bulat yang tak terduga dalam durasi yang lama bertentangan dengan intuisi kita,” kata Matsusaka. “Ketika fenomena terjadi bertentangan dengan intuisi, saya yakin selalu ada keindahan.”

Mereka menemukan pola perilaku berulang seperti k meningkat. Dengan berfokus pada sejumlah kasus berulang yang terbatas, mereka membuat penghitungan menjadi mudah dilakukan, dan mereka mampu menyelesaikan pembuktian.

Melihat lebih dekat urutannya N_k mengungkapkan kejutan lain: N_k adalah bilangan prima jauh lebih sering daripada yang Anda harapkan jika itu murni acak. "Dengan k-Urutan Göbel tidak hanya luar biasa karena bilangan bulatnya,” katanya Richard Hijau, seorang ahli matematika di Universitas Colorado. “Yang luar biasa adalah bilangan prima sering muncul. Itu membuatnya tampak seperti sesuatu yang lebih dalam mungkin sedang terjadi.”

Padahal makalah baru menyajikan bukti bahwa N_k selalu paling sedikit 19, tidak diketahui apakah selalu berhingga, atau apakah ada a k yang barisannya berisi bilangan bulat tanpa batas. “N_k berperilaku misterius. … Ada keinginan mendasar untuk memahami pola yang mendasarinya,” kata Matsusaka. “Ini mungkin mirip dengan kegembiraan yang saya rasakan saat kecil ketika memecahkan teka-teki yang diberikan oleh guru. Bahkan sekarang, perasaan-perasaan dari masa itu masih melekat dalam diri saya.”

Quanta sedang melakukan serangkaian survei untuk melayani audiens kami dengan lebih baik. Ambil milik kami survei pembaca matematika dan anda akan diikut sertakan untuk menang secara gratis Quanta barang dagangan