Beberapa menit dalam ceramah 2018 di University of Michigan, Ian Tobasco mengambil selembar kertas besar dan meremasnya menjadi bola kekacauan yang tampaknya tidak teratur. Dia mengangkatnya agar penonton dapat melihatnya, meremasnya dengan baik, lalu menyebarkannya lagi.
"Saya mendapatkan banyak lipatan liar yang muncul, dan itulah teka-tekinya," katanya. “Apa yang memilih pola ini dari pola lain yang lebih teratur?”
Dia kemudian mengangkat selembar kertas besar kedua — yang ini telah dilipat menjadi pola origami jajar genjang yang terkenal yang dikenal sebagai Miura-ori — dan menekannya hingga rata. Kekuatan yang dia gunakan pada setiap lembar kertas hampir sama, katanya, tetapi hasilnya sangat berbeda. Miura-ori dibagi rapi menjadi daerah geometris; bola kusut berantakan garis bergerigi.
"Anda bisa merasakan bahwa ini," katanya, menunjuk ke susunan lipatan yang tersebar di lembaran yang kusut, "hanya versi acak yang tidak teratur dari ini." Dia menunjukkan Miura-ori yang rapi dan teratur. "Tapi kami belum menentukan apakah itu benar atau tidak."
Membuat hubungan itu akan membutuhkan tidak kurang dari menetapkan aturan matematika universal dari pola elastis. Tobasco telah mengerjakan ini selama bertahun-tahun, mempelajari persamaan yang menggambarkan bahan elastis tipis - hal-hal yang merespons deformasi dengan mencoba kembali ke bentuk aslinya. Tusuk balon dengan cukup keras dan pola kerutan radial akan terbentuk; lepaskan jari Anda dan mereka akan halus lagi. Peras bola kertas yang kusut dan itu akan mengembang saat Anda melepaskannya (meskipun tidak akan benar-benar terlepas). Insinyur dan fisikawan telah mempelajari bagaimana pola-pola ini muncul dalam keadaan tertentu, tetapi bagi seorang ahli matematika hasil praktis tersebut menyarankan pertanyaan yang lebih mendasar: Apakah mungkin untuk memahami, secara umum, apa yang memilih satu pola daripada yang lain?
Pada Januari 2021, Tobasco menerbitkan kertas yang menjawab pertanyaan itu dengan tegas — setidaknya dalam kasus lembaran elastis yang halus, melengkung, ditekan menjadi rata (situasi yang menawarkan cara yang jelas untuk mengeksplorasi pertanyaan). Persamaannya memprediksi bagaimana kerutan yang tampaknya acak mengandung domain "teratur", yang memiliki pola berulang yang dapat diidentifikasi. Dan dia ikut menulis makalah, yang diterbitkan bulan lalu, yang menunjukkan teori fisika baru, didasarkan pada matematika yang ketat, yang dapat memprediksi pola dalam skenario realistis.
Khususnya, karya Tobasco menunjukkan bahwa kerutan, dalam banyak samarannya, dapat dilihat sebagai solusi untuk masalah geometris. "Ini adalah bagian yang indah dari analisis matematis," kata Stefan Muller dari Pusat Matematika Hausdorff Universitas Bonn di Jerman.
Ini dengan elegan menjabarkan, untuk pertama kalinya, aturan matematika — dan pemahaman baru — di balik fenomena umum ini. "Peran matematika di sini bukan untuk membuktikan dugaan yang telah dibuat oleh fisikawan," kata Robert Kohn, seorang ahli matematika di Institut Courant Universitas New York, dan penasihat sekolah pascasarjana Tobasco, "tetapi lebih untuk memberikan teori di mana sebelumnya tidak ada pemahaman sistematis."
Peregangan
Tujuan mengembangkan teori kerutan dan pola elastis adalah yang lama. Pada tahun 1894, dalam ulasan di Alam, ahli matematika George Greenhill menunjukkan perbedaan antara ahli teori ("Apa yang harus kita pikirkan?") dan aplikasi berguna yang dapat mereka temukan ("Apa yang harus kita lakukan?").
Pada abad ke-19 dan ke-20, sebagian besar ilmuwan membuat kemajuan pada yang terakhir, mempelajari masalah yang melibatkan kerutan pada objek tertentu yang sedang berubah bentuk. Contoh awal termasuk masalah penempaan pelat logam yang halus dan melengkung untuk kapal pelaut, dan mencoba menghubungkan pembentukan gunung dengan pemanasan kerak bumi.
Baru-baru ini, matematikawan dan fisikawan telah memperluas upaya untuk menghubungkan teori dan observasi ke berbagai situasi kerutan, geometri, dan material. “Ini telah berlangsung selama sekitar 10 tahun terakhir, di mana kami melakukan eksperimen terlebih dahulu dan kemudian mencoba menemukan teori untuk memahaminya,” kata ahli matematika itu. Dominikus Vella dari Universitas Oxford. “Baru-baru ini kami mulai memiliki pemahaman yang tepat.”
Ada tonggak sejarah yang menarik. Pada tahun 2015, Pedro Reis, seorang insinyur mesin di Massachusetts Institute of Technology, hukum fisika yang dijelaskan untuk pola geometris yang terbentuk pada bola silikon yang kempes. Karyanya menghubungkan kerutan itu dengan ketebalan lapisan dalam dan luar dari bahan elastis. Reis juga mencatat bahwa kerutan, alih-alih dianggap cacat, mungkin menawarkan peluang untuk merancang perilaku mekanis baru. Kemudian pada tahun 2017, Vella memimpin analisis ketidakstabilan kerutan dari film elastis tipis di bawah tekanan, yang mencirikan bagaimana jumlah kerutan berubah sesuai dengan kedalaman poke awal dan detail spesifik lainnya.
Namun perkembangan ini masih hanya memecahkan sebagian kecil dari masalah. Untuk pemahaman matematis yang lebih umum tentang bagaimana kerutan terbentuk, diperlukan pendekatan yang berbeda. Tobasco akan menjadi orang yang memajukannya.
Mengikuti Keingintahuan
Ketika dia masih muda, Tobasco mengira dia akan masuk ke teknik kedirgantaraan. Dia lulus dari University of Michigan pada tahun 2011 dengan gelar sarjana di bidangnya, tetapi pada saat itu dia telah tertarik untuk berpikir secara mendalam tentang penalaran matematis dan sistem fisik. Dia memperoleh gelar doktor dalam matematika, tetapi dia menyalahkan Joey Paulsen, seorang fisikawan sekarang di Universitas Syracuse, karena menempatkannya di jalur kerutan tertentu.
Sebelumnya dalam karir Paulsen, ketika dia mempelajari sifat-sifat bahan yang tidak biasa, dia belajar untuk membuat dan menganalisis film polimer ultra-tipis menggunakan teknik yang disebut spin coating. Pertama dia akan membuat bahan cair khusus yang mengandung sejumlah kecil polimer terlarut; kemudian dia akan meletakkan bahan itu di atas piring yang berputar. Sebagian besar cairan akan menguap, sementara polimer menyebar ke ketebalan yang merata sebelum memadat. Setelah memiliki lab sendiri di Syracuse, Paulsen belajar bagaimana mengadaptasi spin coating untuk membuat film melengkung — seperti cangkang kura-kura ultra-tipis.
Suatu hari, dia menempatkan beberapa film melengkung ini di atas air yang tenang dan memotret bagaimana mereka menetap di permukaan. "Itu murni didorong rasa ingin tahu," katanya. Foto-foto itu menarik perhatian Tobasco pada pertemuan informal dengan Paulsen pada 2017.
"Mereka menunjukkan bahwa Anda bisa mendapatkan pola kerutan acak yang tidak teratur ini - ketika Anda melakukan percobaan dua kali, Anda mendapatkan dua pola yang berbeda," kata Tobasco, yang sekarang menjadi asisten profesor di University of Illinois, Chicago. “Saya ingin melihat apakah saya dapat menemukan cara yang dapat diturunkan [untuk memprediksi pola-pola itu] dari elastisitas, yang menggabungkan bentuk cangkang. Dan model itu tidak akan berubah dari cangkang ke cangkang.”
Pola kerutan adalah konfigurasi dengan energi seminimal mungkin. Artinya, saat film tipis mengendap di permukaan yang datar, ia berubah sampai menemukan susunan kerutan, tidak teratur atau tidak, yang membutuhkan energi paling sedikit untuk mempertahankannya. “Anda dapat mengatur pola berdasarkan jumlah energi yang disimpan ketika [pola] terwujud,” kata Tobasco.
Dipimpin oleh prinsip panduan itu, ia mengisolasi beberapa karakteristik film yang terbukti menjadi yang memilih polanya, termasuk ukuran bentuknya yang disebut kelengkungan Gaussiannya. Sebuah permukaan dengan kelengkungan Gaussian positif menekuk menjauh dari dirinya sendiri, seperti bagian luar bola. Permukaan melengkung negatif, sebaliknya, berbentuk pelana, seperti chip Pringles: Jika Anda pergi ke satu arah, Anda bergerak ke atas, tetapi jika Anda pergi ke arah yang berbeda, Anda turun.
Tobasco menemukan bahwa daerah kelengkungan Gaussian positif menghasilkan satu jenis susunan domain yang teratur dan tidak teratur, dan daerah dengan kelengkungan negatif menghasilkan jenis lain. "Geometri rinci tidak begitu penting," kata Vella. "Itu benar-benar hanya tergantung pada tanda kelengkungan Gaussian."
Mereka menduga bahwa kelengkungan Gaussian penting untuk kerutan, tetapi Vella mengatakan itu adalah kejutan bahwa domain sangat bergantung pada tanda. Terlebih lagi, teori Tobasco juga berlaku untuk spektrum bahan elastis yang luas, bukan hanya bentuk Paulsen. "Ini adalah konstruksi geometris yang bagus yang menunjukkan di mana kerutan akan muncul," kata Vella. “Tetapi pemahaman dari mana itu berasal sangat dalam dan agak mengejutkan.”
Paulsen setuju. "Apa yang dilakukan teori Ian dengan sangat indah adalah memberi Anda seluruh pola, sekaligus."
Kerutan Kehidupan Nyata
Pada awal 2018, Tobasco sebagian besar telah menyelesaikan teorinya — tetapi meskipun itu berhasil di atas kertas, dia tidak dapat memastikan bahwa itu akan akurat di dunia nyata. Tobasco menghubungi Paulsen dan menanyakan apakah dia tertarik untuk berkolaborasi. “Sesuatu langsung berhasil,” kata Paulsen. "Dengan beberapa prediksi Ian, diletakkan di atas gambar eksperimental, kita bisa langsung melihat bahwa mereka berbaris."
Pada Konferensi Masyarakat untuk Industri dan Matematika Terapan tahun itu tentang Aspek Matematika dari Ilmu Material, Tobasco diperkenalkan dengan Eleni Katifori, seorang fisikawan di University of Pennsylvania yang mengeksplorasi masalah pola kerutan pada kulit kerang dan membangun database hasil. Itu adalah momen kebetulan. “Kami bisa melihat domain [dalam simulasi] yang dijelaskan oleh karya Ian,” katanya. Pertandingan itu luar biasa. Bahkan selama diskusi pertama mereka, jelas bahwa teori Tobasco, gambar eksperimental Paulsen, dan simulasi Katifori semuanya menggambarkan fenomena yang sama. “Bahkan pada tahap awal, ketika kami tidak memiliki sesuatu yang konkret, kami dapat melihat hubungannya.”
Kegembiraan awal itu dengan cepat menimbulkan skeptisisme. Tampaknya hampir terlalu bagus untuk menjadi kenyataan. "Dia seorang matematikawan dan membuat semua hal ini non-dimensi," kata Paulsen, mengacu pada bagaimana ide-ide Tobasco tentang kelengkungan dapat diperluas jauh melampaui bahan datar dua dimensi. “Apakah kita benar-benar melihat sistem yang sama? Itu setuju, tetapi haruskah itu setuju? ”
Selama dua tahun ke depan, ketiga peneliti itu menguraikan rinciannya, menunjukkan bahwa teori Tobasco benar-benar memprediksi — persis — susunan kerutan yang dilihat Paulsen dalam eksperimennya dan Katifori temukan dalam model komputernya. Pada 25 Agustus, mereka menerbitkan sebuah makalah di Fisika Alam menunjukkan bagaimana ketiga pendekatan itu semuanya bertemu pada susunan geometris kerutan yang sama dan langsung. Khususnya, mereka menemukan bahwa pola-pola tersebut termasuk dalam kelompok segitiga sama kaki yang rapi yang membatasi domain keteraturan dan ketidakteraturan. Selain itu, hasilnya tidak terbatas pada abstraksi matematis dari bahan yang sangat tipis, tetapi juga membahas beberapa urutan besarnya ketebalan.
Pekerjaan mereka juga menunjukkan peluang untuk memperluas teori dan aplikasinya. Katifori mengatakan bahwa sebagai fisikawan, dia tertarik untuk memanfaatkan prediksi untuk merancang materi baru. “Saya ingin memahami bagaimana Anda bisa mendesain permukaan sehingga mereka benar-benar mengatur pola kerutan menjadi sesuatu yang Anda inginkan.”
Pertanyaan terbuka lainnya adalah seberapa umum teori tersebut dapat diterapkan pada berbagai jenis permukaan melengkung. “Ini sangat fokus pada situasi di mana [kelengkungan Gaussian] positif atau negatif, tetapi ada banyak situasi dengan beberapa daerah yang positif dan beberapa negatif,” kata Vella.
Paulsen setuju bahwa ini adalah kemungkinan yang menarik, dan Tobasco mengatakan dia secara aktif bekerja di bidang ini dan mempertimbangkan bentuk lain dari cangkang — seperti yang berlubang.
Tetapi Paulsen mengatakan teori itu, bahkan seperti saat ini, indah dan mengejutkan. “Jika saya memberi Anda cangkang dan bentuk batas dan seperangkat aturan sederhana yang diprediksi oleh teori Ian, maka Anda dapat mengambil kompas dan penggaris dan pada dasarnya menggambar kerutan,” katanya. “Itu tidak harus terjadi seperti itu. Itu bisa saja benar-benar mengerikan.”
