Geometri Sederhana Di Balik Brownie Bake Off dan Area yang Sama

Gina si siswa geometri tadi malam begadang mengerjakan PR sambil menonton The Great British Bake Off, jadi ketika dia akhirnya pergi tidur, pikirannya yang mengantuk masih penuh dengan kue mangkuk dan kompas. Hal ini menyebabkan mimpi yang paling tidak biasa.

Gina mendapati dirinya menjadi juri Great Brownie Bake Off di Imaginary University, sebuah sekolah tempat siswa belajar banyak geometri tetapi sangat sedikit aritmatika. Tim siswa Imaginary U ditugasi membuat brownies terbesar yang mereka bisa, dan terserah Gina untuk menentukan pemenangnya.

Tim Alpha adalah yang pertama selesai, dan mereka dengan bangga mempersembahkan brownies persegi panjang mereka untuk dinilai. Gina mengeluarkan penggaris dan mengukur brownies: Panjangnya 16 inci dan lebar 9 inci. Tim Beta dengan cepat mengikuti dengan brownies persegi mereka, yang berukuran 12 inci di setiap sisi. Saat itulah masalah dimulai.

“Brownies kami lebih panjang dari milikmu,” kata kapten Tim Alpha. “Milik kita jelas lebih besar, jadi kita pemenangnya!”

“Tapi sisi pendek persegi panjang Anda jauh lebih pendek daripada sisi persegi kami,” kata perwakilan dari Tim Beta. “Kotak kami jelas lebih besar. Kita menang!"

Gina merasa aneh memperdebatkan hal ini. “Luas brownies persegi panjang adalah 9 kali 16, yaitu 144 inci persegi,” katanya. “Luas brownies persegi adalah 12 kali 12, yang juga sama dengan 144 inci persegi. Ukuran browniesnya sama: dasi.”

Kedua tim tampak kebingungan. “Saya tidak mengerti apa yang Anda maksud dengan 'kali',” kata seorang siswa yang belum pernah diajarkan perkalian. "Aku juga tidak," kata yang lain. Yang ketiga berkata, "Saya mendengar tentang siswa di Kompleks College mengukur area menggunakan angka sekali, tetapi apa artinya itu?" Universitas Imajiner memang tempat yang aneh, bahkan saat mimpi pergi.

Apa yang harus dilakukan Gina? Bagaimana dia bisa meyakinkan tim bahwa brownies mereka berukuran sama jika mereka tidak mengerti cara mengukur luas dan mengalikan angka? Untungnya, Gina punya ide jenius. "Beri aku pisau," katanya.

Gina mengukur 12 inci di sisi panjang brownies persegi panjang dan membuat potongan sejajar dengan sisi pendek. Ini mengubah persegi panjang besar menjadi dua yang lebih kecil: satu berukuran 9 kali 12 dan yang lainnya 9 kali 4. Dengan tiga potongan cepat, dia mengubah potongan 9 kali 4 menjadi tiga potongan 3 kali 4 yang lebih kecil. Sedikit penataan ulang menghasilkan ooh dan ah yang terdengar dari kerumunan: Gina telah mengubah persegi panjang menjadi replika persegi yang tepat.

Kedua tim sekarang harus setuju bahwa ukuran brownies mereka sama. Dengan membedah salah satunya dan menyusunnya kembali menjadi bentuk yang lain, Gina menunjukkan bahwa kedua brownies menempati luas total yang sama. Pembedahan seperti ini telah digunakan dalam geometri selama ribuan tahun untuk menunjukkan bahwa bangun-bangun memiliki ukuran yang sama, dan ada banyak hasil luar biasa tentang pembedahan dan ekuivalensi. Bahkan saat ini matematikawan masih menggunakan pembedahan dan penataan ulang untuk memahami sepenuhnya ketika bentuk tertentu setara, yang mengarah ke beberapa hasil terbaru yang mengejutkan.

Anda mungkin pernah melihat pembedahan geometris di kelas matematika saat mengembangkan rumus luas untuk bentuk dasar. Misalnya, Anda mungkin ingat bahwa luas jajaran genjang sama dengan panjang alasnya dikali tingginya: Ini karena jajaran genjang dapat dibedah dan disusun kembali menjadi persegi panjang.

Pembedahan ini menunjukkan bahwa luas jajaran genjang sama dengan luas persegi panjang dengan alas dan tinggi yang sama, yang, seperti yang diketahui oleh siapa pun yang tidak kuliah di Universitas Imajiner, adalah produk dari kedua angka tersebut.

Berbicara tentang Imaginary U, Great Brownie Bake Off baru saja memanas. Tim Gamma mendekat dengan brownies segitiga besar. "Inilah pemenangnya," mereka mengumumkan dengan berani. "Kedua sisi kita jauh lebih panjang dari yang lain."

Gina mengukur sisi-sisinya. "Ini juga memiliki area yang sama!" serunya. “Ini adalah segitiga siku-siku, dan ukuran kakinya adalah 18 dan 16, jadi luasnya adalah…” Gina berhenti sejenak, memperhatikan ekspresi bingung di wajah semua orang. "Oh ya sudah. Berikan saja pisaunya.”

Gina dengan cekatan mengiris dari titik tengah sisi miring ke titik tengah kaki yang lebih panjang, lalu memutar segitiga yang baru terbentuk sehingga menjadi persegi panjang yang sempurna saat dirangkai menjadi potongan yang lebih besar.

"Itu persis brownies kami!" teriak Tim Alpha. Benar saja, persegi panjang yang dihasilkan adalah 9 kali 16: ukurannya persis sama dengan milik mereka.

Tim Beta ragu. "Tapi bagaimana perbandingan segitiga ini dengan persegi kita?" pemimpin tim mereka bertanya.

Gina sudah siap untuk itu. "Kita sudah tahu persegi panjang dan bujur sangkar memiliki ukuran yang sama, jadi dengan transitivitas, segitiga dan bujur sangkar memiliki ukuran yang sama." Transitivitas adalah salah satu sifat persamaan yang paling penting: Dikatakan bahwa jika a = b dan b = c, kemudian a = c. Gina melanjutkan, “Kalau luas brownies pertama sama dengan luas brownies kedua, dan luas brownies kedua sama dengan luas brownies ketiga, maka brownies pertama dan ketiga harus sama luasnya juga.”

Tapi Gina terlalu bersenang-senang dengan pembedahan untuk berhenti di situ. "Atau kita bisa membuat beberapa pemotongan lagi."

Pertama Gina memutar persegi panjang yang dulunya berbentuk segitiga. Kemudian dia memotongnya menggunakan pola yang sama persis dengan yang dia gunakan pada persegi panjang Tim Alpha.

Kemudian dia menunjukkan bagaimana irisan baru segitiga Tim Gamma ini dapat diubah menjadi persegi Tim Beta, persis seperti yang dia lakukan dengan persegi panjang Tim Alpha.

Dalam situasi ini kita mengatakan bahwa segitiga dan bujur sangkar adalah “kongruen gunting”: Anda dapat membayangkan menggunakan gunting untuk memotong satu bangun menjadi potongan-potongan yang tak terhingga banyaknya yang kemudian dapat diatur ulang untuk membentuk yang lain. Dalam kasus segitiga dan bujur sangkar, brownies menunjukkan dengan tepat bagaimana kongruensi gunting ini bekerja.

Perhatikan bahwa polanya bekerja di kedua arah: Ini bisa digunakan untuk mengubah segitiga menjadi persegi atau persegi menjadi segitiga. Dengan kata lain, kongruensi gunting adalah simetris: Jika bentuk A adalah gunting yang kongruen dengan bentuk B, maka bentuk B juga gunting yang kongruen dengan bentuk A.

Nyatanya, argumen di atas yang melibatkan segitiga, persegi panjang, dan bujur sangkar menunjukkan bahwa kongruensi gunting juga bersifat transitif. Karena segitiga adalah gunting yang kongruen dengan persegi panjang dan persegi panjang adalah gunting yang kongruen dengan bujur sangkar, maka segitiga adalah gunting yang kongruen dengan bujur sangkar. Buktinya ada pada polanya: Lapisi saja pada bentuk tengah, seperti yang dilakukan dengan persegi panjang di atas.

Jika Anda memotong segitiga menjadi potongan-potongan yang membentuk persegi panjang, lalu memotong persegi panjang menjadi potongan-potongan yang membentuk persegi, potongan yang dihasilkan dapat digunakan untuk membentuk salah satu dari ketiga bentuk tersebut.

Fakta bahwa kongruensi gunting bersifat transitif merupakan inti dari hasil yang menakjubkan: Jika dua poligon memiliki luas yang sama, maka poligon tersebut kongruen dengan gunting. Artinya, jika ada dua poligon dengan luas yang sama, Anda selalu dapat memotong satu menjadi beberapa bagian dan menyusunnya kembali untuk membuat yang lain.

Pembuktian teorema yang luar biasa ini juga sangat mudah. Pertama, potong setiap poligon menjadi segitiga.

Kedua, ubah setiap segitiga menjadi persegi panjang, mirip dengan cara Gina menata ulang brownies segitiga.

Sekarang sampai pada bagian teknis yang rumit: Ubah setiap persegi panjang menjadi persegi panjang baru dengan lebar satu unit.

Untuk melakukan ini, mulailah memotong potongan dari persegi panjang yang lebarnya satu unit.

Jika Anda dapat memotong persegi panjang menjadi bilangan bulat dengan lebar 1, Anda selesai: Tumpuk saja di atas satu sama lain. Jika tidak, hentikan pemotongan saat potongan terakhir memiliki lebar antara 1 dan 2 unit, dan tumpuk sisanya di atas satu sama lain.

Jangan khawatir jika persegi panjang itu sendiri memiliki lebar kurang dari 1 unit: Iris saja menjadi dua dan gunakan kedua bagian tersebut untuk membuat persegi panjang baru yang panjangnya dua kali lipat dan tebal setengahnya. Ulangi seperlunya sampai Anda mendapatkan persegi panjang dengan lebar antara 1 dan 2 unit.

Sekarang bayangkan persegi panjang terakhir ini memiliki tinggi h dan lebar w, dengan 1 w < 2. Kita akan memotong persegi panjang itu dan menyusunnya kembali menjadi persegi panjang dengan lebar 1 dan tinggi h × w. Untuk melakukan ini, overlay file h × w persegi panjang dengan yang diinginkan hw × 1 persegi panjang seperti ini.

Kemudian potong dari sudut ke sudut di sepanjang garis putus-putus, dan potong segitiga kecil di kanan bawah mengikuti tepi kanan hw × 1 persegi panjang.

Ini memotong h × w persegi panjang menjadi tiga bagian yang dapat disusun kembali menjadi sebuah hw × 1 persegi panjang. (Membenarkan pembedahan terakhir ini membutuhkan beberapa argumen cerdas yang melibatkan segitiga serupa. Lihat latihan di bawah untuk detailnya.)

Terakhir, letakkan persegi panjang terakhir ini di atas tumpukan, dan Anda telah berhasil mengubah poligon ini — sungguh, poligon apa pun — menjadi persegi panjang dengan lebar 1.

Sekarang jika luas poligon aslinya adalah A, maka tinggi persegi panjang ini harus A, jadi setiap poligon dengan luas A apakah gunting sebangun dengan persegi panjang dengan lebar 1 dan tinggi A. Itu berarti jika dua poligon memiliki luas A, maka keduanya adalah gunting yang kongruen dengan persegi panjang yang sama, jadi secara transitivitas keduanya adalah gunting yang kongruen satu sama lain. Ini menunjukkan bahwa setiap poligon dengan luas A apakah gunting kongruen dengan setiap poligon lain dengan luas A.

Tetapi bahkan hasil yang kuat ini tidak cukup untuk berhasil menyelesaikan penjurian Brownie Bake Off dari Imaginary University. Masih ada satu entri tersisa, dan tidak ada yang terkejut dengan penampilan Tim Pi.

Saat Gina melihat lingkaran itu datang, dia terbangun dari mimpinya dengan keringat dingin. Dia tahu bahwa tidak mungkin untuk memotong lingkaran menjadi banyak bagian dan mengaturnya kembali untuk membentuk persegi, atau persegi panjang, atau poligon apa pun. Pada tahun 1964 matematikawan Lester Dubins, Morris Hirsch dan Jack Karush membuktikan bahwa sebuah lingkaran bukanlah gunting yang kongruen dengan poligon apapun. Mimpi Gina berubah menjadi mimpi buruk geometris.

Tapi seperti yang selalu mereka lakukan, ahli matematika mengubah rintangan ini menjadi matematika baru. Pada tahun 1990 Miklós Laczkovich membuktikan bahwa mengiris lingkaran dan menyusunnya kembali menjadi persegi adalah mungkin, selama Anda dapat menggunakan potongan bergerigi tak terhingga yang sangat kecil, terputus tak terhingga, yang tidak mungkin dibuat dengan gunting.

Betapa pun mengejutkan dan menariknya hasil Laczkovich, itu hanya membuktikan bahwa dekomposisi semacam itu secara teori dimungkinkan. Itu tidak menjelaskan bagaimana membuat potongan-potongan itu, hanya saja mereka bisa ada. Di situlah Andras Máthé, Oleg Pikhurko, dan Jonathan Noel masuk: Di awal 2022 mereka memposting makalah di mana mereka mencocokkan pencapaian Laczkovich, tetapi dengan karya yang mungkin untuk divisualisasikan.

Sayangnya, Anda tidak akan bisa menggunakan hasilnya untuk menuntaskan kue brownies apa pun. Gunting saja tidak dapat menghasilkan 10²⁰⁰ potongan-potongan yang diperlukan dalam dekomposisi mereka. Tapi ini adalah satu langkah maju dalam menjawab sederet pertanyaan panjang yang dimulai saat Archimedes pertama kali menemukan, atau menemukan, $latex pi$. Dan itu membuat kita terus bergerak untuk menemukan, atau menemukan, matematika baru yang tidak dapat diimpikan oleh generasi sebelumnya.

Latihan

1. Jelaskan bagaimana kita mengetahui bahwa dalam penurunan rumus luas jajaran genjang, segitiga yang kita potong sangat cocok dengan ruang di sisi lain jajaran genjang.

2. Jelaskan mengapa setiap segitiga dapat dibedah menjadi persegi panjang.

Untuk latihan 3 dan 4, perhatikan diagram yang digunakan untuk menunjukkan bahwa an h × w persegi panjang adalah gunting kongruen dengan an hw × 1 persegi panjang, dengan titik berlabel.

3. Jelaskan mengapa $segitiga lateks$ XYQ mirip dengan $lattextriangle$ ABX. Ini panjangnya dari apa QY?

4. Jelaskan mengapa $segitiga lateks$ PCX kongruen dengan $lateks segitiga$ AZQ.