Ahli Teori yang Melihat Matematika dalam Seni, Musik dan Tulisan | Majalah Kuanta

Sarah Hart selalu memperhatikan cara terselubung matematika yang menembus bidang lain. Sebagai seorang anak, dia terkejut dengan banyaknya angka 3 dalam dongengnya. Ibu Hart, seorang guru matematika, mendorongnya untuk mencari pola, memberinya teka-teki matematika untuk mengisi waktu.

Hart melanjutkan untuk mendapatkan gelar doktor dalam teori grup pada tahun 2000 dan kemudian menjadi profesor di Birkbeck, Universitas London. Penelitian Hart menyelidiki struktur kelompok Coxeter, versi struktur yang lebih umum yang mengkatalogkan simetri poligon dan prisma. Pada tahun 2023, dia menerbitkan Suatu Saat Yang Perdana, sebuah buku tentang kemunculan matematika dalam fiksi dan puisi. “Karena kita manusia adalah bagian dari alam semesta, wajar saja jika bentuk ekspresi kreatif kita, termasuk sastra, juga akan menunjukkan kecenderungan pada pola dan struktur,” tulis Hart. “Maka, matematika adalah kunci menuju perspektif sastra yang sepenuhnya berbeda.”

Sejak tahun 2020, Hart menjadi profesor geometri di Gresham College di London. Gresham tidak memiliki kursus tradisional; sebaliknya, para profesornya masing-masing menyampaikan beberapa kuliah umum per tahun. Hart adalah wanita pertama yang memegang posisi berusia 428 tahun, yang diduduki pada abad ke-17 oleh Isaac Barrow, yang terkenal karena mengajar Isaac (Newton) lainnya. Baru-baru ini dipegang oleh Roger Penrose, ahli matematika peraih Hadiah Nobel Fisika tahun 2020. Hart berbicara dengan Quanta tentang bagaimana matematika dan seni saling mempengaruhi. Wawancara telah diringkas dan diedit untuk kejelasan.

Mengapa Anda memilih untuk menulis buku tentang hubungan antara matematika dan sastra?

Hubungan ini kurang dieksplorasi dan diketahui dibandingkan hubungan antara matematika dan, katakanlah, musik. Hubungan antara matematika dan musik telah dikenal setidaknya sejak zaman Pythagoras. Namun, meskipun telah ada tulisan dan penelitian akademis tentang buku, penulis, atau genre tertentu, saya belum pernah melihat buku untuk khalayak umum tentang hubungan yang lebih luas antara matematika dan sastra.

Bagaimana seharusnya orang-orang di bidang seni berpikir tentang matematika?

Ada banyak kesamaan antara matematika dan, menurut saya, seni lainnya. Dalam sastra, serta musik dan seni, Anda tidak pernah memulai dari apa pun. Jika Anda seorang penyair, Anda memilih: Akankah saya memiliki haiku dengan batasan numerik yang sangat tepat, atau akankah saya menulis soneta yang memiliki jumlah baris tertentu, skema rima tertentu, dan meteran tertentu? Bahkan sesuatu yang tidak memiliki skema rima akan memiliki jeda baris, ritme. Akan ada kendala yang menginspirasi kreativitas, yang membantu Anda fokus.

Dalam matematika, kita memiliki hal yang sama. Kami memiliki beberapa aturan dasar. Di dalamnya, kita bisa menjelajah, bermain, dan membuktikan teorema. Apa yang matematika dapat lakukan untuk seni adalah membantu menemukan struktur baru, menunjukkan kemungkinan-kemungkinan yang ada. Seperti apa sebuah karya musik yang tidak memiliki ciri kunci? Kita dapat memikirkan tentang 12 nada dan mengaturnya secara berbeda, dan inilah cara yang dapat Anda lakukan. Berikut adalah skema warna berbeda yang dapat Anda rancang, berikut berbagai bentuk meteran puisi.

Apa salah satu contoh bagaimana matematika dipengaruhi oleh sastra?

Ribuan tahun yang lalu di India, para penyair mencoba memikirkan kemungkinan meteran. Dalam puisi Sansekerta, Anda memiliki suku kata yang panjang dan pendek. Panjangnya dua kali lebih panjang dari pendek. Jika Anda ingin menghitung berapa banyak yang membutuhkan waktu tiga, Anda dapat memiliki short, short, short, atau long, short, atau short, long. Ada tiga cara untuk membuat tiga. Ada lima cara untuk membuat frase panjang empat. Dan ada delapan cara untuk membuat frase yang panjangnya lima. Barisan yang Anda peroleh ini adalah barisan yang setiap sukunya merupakan jumlah dari dua suku sebelumnya. Anda benar-benar mereproduksi apa yang sekarang kita sebut deret Fibonacci. Tapi ini terjadi berabad-abad sebelum Fibonacci.

Bagaimana dengan pengaruh matematika terhadap sastra?

Urutan yang cukup sederhana, namun bekerja dengan sangat, sangat kuat, adalah buku Eleanor Catton Tokoh-tokoh, yang keluar pada tahun 2013. Dia menggunakan urutan 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Setiap bab dalam buku itu panjangnya setengah dari bab sebelumnya. Ini menciptakan efek yang sangat menarik, karena kecepatannya meningkat, dan pilihan karakter menjadi lebih terbatas. Semuanya meluncur menuju kesimpulannya. Pada akhirnya, bab-babnya sangat pendek.

Contoh lain dari struktur matematika yang sedikit lebih rumit adalah apa yang disebut kotak Latin ortogonal. Kotak Latin mirip dengan kotak sudoku. Dalam hal ini, ukurannya akan menjadi grid 10 kali 10. Setiap angka muncul tepat satu kali pada setiap baris dan kolom. Kotak Latin ortogonal dibentuk dengan cara melapisi dua kotak Latin sehingga terdapat sepasang angka pada setiap spasi. Kotak yang dibentuk oleh angka pertama pada setiap pasangan adalah kotak latin, begitu pula kotak yang dibentuk oleh angka kedua pada setiap pasangan. Selain itu, dalam grid berpasangan, tidak ada pasangan yang muncul lebih dari satu kali.

Ini sangat berguna dalam segala hal. Anda dapat membuat kode koreksi kesalahan darinya, yang berguna untuk mengirim pesan melalui saluran yang berisik. Namun salah satu hal hebat mengenai benda berukuran 10 ini adalah salah satu matematikawan terhebat sepanjang masa, Leonhard Euler, mengira benda tersebut tidak mungkin ada. Itu adalah salah satu dari sedikit waktu ketika dia melakukan kesalahan; itulah mengapa ini sangat menarik. Lama setelah dia membuat dugaan bahwa benda-benda ini tidak mungkin ada pada ukuran tertentu, dugaan itu terbantahkan, dan kotak sebesar ini ditemukan pada tahun 1959. Itu terjadi di menutupi of Scientific American tahun itu.

Bertahun-tahun setelah itu, seorang penulis Perancis, Georges Perec, mencari struktur yang akan digunakan untuk bukunya Kehidupan: Panduan Pengguna. Dia memilih salah satu kotak Latin ortogonal ini. Dia meletakkan bukunya di blok apartemen Paris, yang memiliki 100 kamar, berukuran 10 kali 10 persegi. Setiap bab berada di ruangan yang berbeda, dan setiap bab memiliki cita rasa yang unik. Dia punya daftar 10 hal - berbagai kain, warna, hal-hal semacam itu. Setiap bab akan menggunakan kombinasi unik. Ini adalah cara yang sangat menarik untuk menyusun buku ini.

Anda jelas menghargai tulisan yang bagus. Apa pendapat Anda tentang kualitas penulisan makalah penelitian matematika?

Ini sangat bervariasi! Saya tahu kami menghargai keringkasan, tapi menurut saya terkadang hal itu terlalu berlebihan. Ada terlalu banyak makalah yang tidak memiliki contoh berguna.

Yang sebenarnya kami hargai adalah argumen cerdik yang, karena mencakup semua kasus sekaligus dengan begitu cerdik, juga singkat dan elegan. Hal ini tidak sama dengan memasukkan argumen panjang Anda ke dalam ruang yang lebih kecil dari yang dibutuhkan dengan menutupi halaman dengan simbol-simbol misterius yang telah Anda buat untuk membuat notasi menjadi lebih singkat, namun tidak hanya pembaca tetapi mungkin Anda sendiri yang harus membongkarnya dengan susah payah. lagi untuk memahami apa yang sedang terjadi.

Kami kurang memikirkan notasi berguna yang mengingatkan pembaca akan apa yang dimaksud. Notasi yang tepat benar-benar dapat mengubah suatu karya matematika, dan juga dapat memberikan ruang untuk generalisasi. Bayangkan transisi, secara historis, dari menulis sesuatu yang tidak diketahui, persegi, dan kubusnya dengan tiga huruf berbeda, dan seberapa besar kemungkinannya, dan bahkan mungkin, untuk mulai memikirkan  kapan Anda mulai menulis ,  dan  sebagai gantinya.

Apakah Anda melihat evolusi dalam hubungan antara matematika dan seni?

Ada hal-hal baru setiap saat. Fraktal ada dimana-mana pada tahun 1990an. Di setiap dinding kamar asrama siswa, ada gambar set Mandelbrot atau semacamnya. Semua orang berkata, “Oh, ini menarik, fraktal.” Misalnya, Anda mendapatkan musisi, komposer, yang menggunakan rangkaian fraktal dalam komposisinya.

Ketika saya berusia sekitar 16 tahun, ada hal-hal baru yang disebut kalkulator grafis. Sangat seru. Dan seorang teman ibu saya memberi saya program yang dapat menggambar set Mandelbrot di salah satu kalkulator grafis kecil ini. Entahlah, ukurannya sekitar 200 piksel. Anda memprogram hal ini, dan kemudian saya harus membiarkannya selama 12 jam. Itu akan memplot 200 poin ini di akhir. Jadi, bahkan anak sekolah pun dapat terlibat dengan hal ini di akhir tahun 80an dan awal tahun 90an, dan menghasilkan gambar-gambar ini untuk diri mereka sendiri.

Bahkan ketika Anda masih di sekolah, Anda sudah sangat tertarik dengan matematika tingkat lanjut, sepertinya.

 Saya pikir saya sudah tertarik sejak sebelum saya tahu bahwa itu berarti saya ahli matematika. Seperti, saya selalu membuat pola sejak saya masih kecil.

Ketika saya masih kecil, mainan favorit saya adalah ubin kayu yang dicat sangat sederhana. Mereka datang dalam berbagai warna. Saya akan membuatnya menjadi pola, dan kemudian saya melihatnya dengan bangga selama sekitar satu hari, dan kemudian saya membuat yang lain.

Ketika saya bertambah dewasa, saya akan bermain dengan angka dan melihat pola. Ibulah yang akan saya datangi dan berkata, “Saya bosan.” Lalu dia berkata, “Bisakah kamu mengetahui pola jumlah titik yang kamu perlukan untuk membuat segitiga?” atau apa pun itu. Dia memintaku menemukan kembali bilangan segitiga atau semacamnya, dan aku akan sangat gembira.

Ibuku yang malang, banyaknya penemuan luar biasa yang akan kuberikan kepada ibuku. “Saya telah mengembangkan cara baru dalam melakukan sesuatu!” Dan dia akan berkata, “Oke, itu bagus sekali. Tapi, tahukah Anda, Descartes memikirkan hal itu berabad-abad yang lalu.” Lalu aku berangkat; Saya mendapat ide luar biasa lainnya beberapa hari kemudian. “Itu bagus sekali, sayang. Tapi orang Yunani kuno punya yang satu itu.”

Apakah Anda ingat momen-momen yang sangat memuaskan dalam karier penelitian matematika Anda?

Saat-saat ketika Anda akhirnya memahami pola apa yang Anda lihat selalu memuaskan, begitu pula saat Anda memikirkan cara melengkapi bukti yang selama ini Anda geluti. Kenangan terkuat saya tentang perasaan senang itu, mungkin karena itulah pertama kalinya saya merasakannya, berasal dari awal karir penelitian saya. Namun tetap menyenangkan rasanya mendapatkan "aha" itu ketika Anda akhirnya memahami apa yang sedang terjadi.

Sejak awal saya mencoba membuktikan sesuatu tentang kelompok Coxeter yang tak terbatas. Saya telah menyelesaikan beberapa kasus, dan dalam melihat sisanya saya menemukan teknik yang akan berhasil jika kriteria tertentu terpenuhi. Anda dapat menuliskan hubungan ini dalam grafik, jadi saya mulai mengumpulkan kumpulan grafik yang dapat digunakan untuk menerapkan teknik saya. Ini adalah saat Natal satu tahun.

Setelah beberapa saat, kumpulan gambar saya mulai terlihat seperti kumpulan grafik tertentu yang tercantum dalam buku tentang kelompok Coxeter yang ada di kantor saya, dan saya mulai berharap bahwa kumpulan grafik tersebut persis seperti itu. Jika ya, maka hal itu akan mengisi lubang dalam pembuktian saya, dan teorema saya akan selesai. Tapi saya tidak bisa memastikannya sampai saya kembali ke universitas setelah Natal - ini adalah saat sebelum Anda bisa mencari semuanya di Google. Saya pikir antisipasi harus menunggu untuk memastikan firasat saya menjadi lebih baik ketika saya membuka buku itu dan membandingkan kumpulan diagram tulisan tangan saya dengan yang ada di buku, dan ternyata memang cocok.

Apa pendapat Anda tentang pertanyaan apakah matematika diciptakan atau ditemukan? Hampir tidak ada orang yang berpendapat bahwa novelis mana pun yang Anda tulis di buku Anda “menemukan” novel mereka. Apakah ini perbedaan mendasar antara matematika dan sastra atau tidak?

Mungkin memang demikian, meskipun masih ada beberapa resonansi.

Mengerjakan matematika terasa seperti penemuan. Jika kita yang menemukan matematika, tentu tidak akan sulit untuk membuktikannya! Terkadang kita sangat menginginkan sesuatu menjadi kenyataan, namun nyatanya tidak. Menurut saya, kita tidak bisa menghindari konsekuensi logika.

Semuanya terasa seperti penemuan saat Anda melakukannya. Beberapa pilihan mencerminkan apa yang kita alami di dunia nyata, seperti aksioma geometri yang kita kerjakan, yang dipilih karena kira-kira seperti itulah kenyataan — meskipun demikian, tidak ada yang namanya “titik” atau “ garis” (karena kita tidak dapat menggambar sesuatu yang tidak memakan ruang, dan garis dalam geometri tidak mempunyai lebar dan memanjang hingga tak terhingga).

Sampai batas tertentu, ada persamaan dengan kontinum ini dalam sastra. Setelah Anda menentukan aturan soneta, Anda akan kesulitan untuk menulis soneta yang baris pertamanya diakhiri dengan “oranye” atau “cerobong asap”.

Tapi saya tidak bisa menahan diri untuk tidak membagikan sesuatu yang J.R.R. Tolkien berkata tentang menulis The Hobbit: “Semuanya dimulai ketika saya membaca kertas ujian untuk mendapatkan sedikit uang tambahan. … Nah, suatu hari saya menemukan halaman kosong di buku ujian dan saya mencoret-coretnya. ’Di sebuah lubang di tanah hiduplah seorang hobbit.’ Saya tidak tahu lebih banyak tentang makhluk itu selain itu, dan butuh waktu bertahun-tahun sebelum kisahnya berkembang. Saya tidak tahu dari mana kata itu berasal.”

Hobbit — apakah dia menciptakannya atau menemukannya?