Pengantar
Teori simpul dimulai sebagai upaya untuk memahami susunan dasar alam semesta. Pada tahun 1867, ketika para ilmuwan dengan penuh semangat mencoba mencari tahu apa yang mungkin dapat menjelaskan semua jenis materi yang berbeda, ahli matematika dan fisikawan Skotlandia Peter Guthrie Tait menunjukkan kepada teman dan rekan senegaranya Sir William Thomson perangkatnya untuk menghasilkan cincin asap. Thomson — yang kemudian menjadi Lord Kelvin (senama dengan skala suhu) — terpikat oleh bentuk cincin yang menawan, stabilitasnya, dan interaksinya. Inspirasinya membawanya ke arah yang mengejutkan: Mungkin, pikirnya, seperti halnya cincin asap adalah pusaran di udara, atom-atom adalah cincin pusaran yang diikat dalam luminiferous ether, media tak terlihat yang, para fisikawan percaya, menyebarkan cahaya.
Meskipun ide era Victoria ini sekarang mungkin terdengar konyol, itu bukan penyelidikan yang sembrono. Teori pusaran ini memiliki banyak hal untuk direkomendasikan: Keragaman simpul, masing-masing sedikit berbeda, tampaknya mencerminkan sifat yang berbeda dari banyak elemen kimia. Stabilitas cincin pusaran mungkin juga memberikan keabadian yang dibutuhkan atom.
Teori pusaran memperoleh daya tarik di komunitas ilmiah dan mengilhami Tait untuk mulai mentabulasi semua simpul, menciptakan apa yang dia harapkan akan setara dengan tabel elemen. Tentu saja, atom bukanlah simpul, dan tidak ada eter. Pada akhir 1880-an Thomson secara bertahap meninggalkan teori pusarannya, tetapi pada saat itu Tait terpikat oleh keanggunan matematis simpulnya, dan dia melanjutkan proyek tabulasinya. Dalam prosesnya, ia mendirikan bidang matematika teori simpul.
Kita semua akrab dengan simpul — simpul menjaga sepatu di kaki kita, perahu diamankan ke dermaga, dan pendaki gunung dari bebatuan di bawah. Tetapi simpul-simpul itu bukanlah apa yang oleh para ahli matematika (termasuk Tait) disebut simpul. Meskipun kabel ekstensi yang kusut mungkin tampak kusut, selalu ada kemungkinan untuk melepaskannya. Untuk mendapatkan simpul matematis, Anda harus menyambungkan ujung kabel yang bebas untuk membentuk lingkaran tertutup.
Karena untaian simpul bersifat fleksibel seperti tali, matematikawan memandang teori simpul sebagai subbidang dari topologi, studi tentang bentuk-bentuk yang dapat ditempa. Kadang-kadang dimungkinkan untuk mengurai simpul sehingga menjadi lingkaran sederhana, yang kita sebut "unnot." Tetapi lebih sering, mengurai simpul tidak mungkin.
Simpul juga dapat bergabung untuk membentuk simpul baru. Misalnya, menggabungkan simpul sederhana yang dikenal sebagai trefoil dengan bayangan cerminnya menghasilkan simpul persegi. (Dan jika Anda menggabungkan dua simpul trefoil yang identik, Anda membuat simpul nenek.)
Menggunakan terminologi dari dunia angka, matematikawan mengatakan trefoil adalah simpul utama, simpul persegi adalah komposit dan, seperti nomor 1, simpulnya bukan keduanya. Analogi ini didukung lebih lanjut pada tahun 1949 ketika Horst Schubert membuktikan bahwa setiap simpul prima atau dapat diurai secara unik menjadi simpul utama.
Cara lain untuk membuat simpul baru adalah dengan menjalin dua atau lebih simpul, membentuk tautan. Cincin Borromean, dinamakan demikian karena muncul di lambang untuk House of Borromeo Italia, adalah contoh sederhana.
Thomson dan Tate bukanlah orang pertama yang melihat simpul secara matematis. Pada awal 1794, Carl Friedrich Gauss menulis tentang dan menggambar contoh simpul di buku catatan pribadinya. Dan siswa Gauss, Johann Listing, menulis tentang simpul dalam monografinya tahun 1847 Topologi Vorstudien zur (“Studi Awal Topologi”) — yang juga merupakan asal dari istilah topologi.
Tapi Tait adalah sarjana pertama yang mengerjakan apa yang menjadi masalah mendasar dalam teori simpul: klasifikasi dan tabulasi semua simpul yang mungkin. Melalui kerja keras selama bertahun-tahun hanya menggunakan intuisi geometrisnya, ia menemukan dan mengklasifikasikan semua simpul utama yang, ketika diproyeksikan ke pesawat, memiliki paling banyak tujuh persimpangan.
Pada akhir abad ke-19, Tait mengetahui bahwa dua orang lainnya — Pendeta Thomas Kirkman dan matematikawan Amerika Charles Little — juga mempelajari masalah ini. Dengan upaya gabungan mereka, mereka mengklasifikasikan semua simpul utama dengan hingga 10 penyeberangan dan banyak di antaranya dengan 11 penyeberangan. Hebatnya, meja mereka hingga 10 lengkap: Mereka tidak melewatkan simpul apa pun.
Sungguh luar biasa bahwa Tait, Kirkman, dan Little mencapai begitu banyak hal tanpa teorema dan teknik yang akan ditemukan di tahun-tahun mendatang. Tetapi satu hal yang menguntungkan mereka adalah kenyataan bahwa sebagian besar simpul kecil "bergantian", yang berarti mereka memiliki proyeksi di mana penyeberangan menunjukkan pola over-under-over-under yang konsisten.
Simpul bergantian memiliki sifat yang membuatnya lebih mudah untuk diklasifikasikan daripada simpul tidak bergantian. Misalnya, menemukan jumlah minimum penyeberangan untuk setiap proyeksi simpul itu sulit. Tapi Tait, yang selama bertahun-tahun secara keliru menganggap semua simpul bergantian, menduga cara untuk mengetahui apakah Anda telah menemukan jumlah minimum itu: Jika proyeksi bolak-balik tidak memiliki persilangan yang dapat dihilangkan dengan membalik sebagian simpul, maka itu pasti proyeksi dengan jumlah perlintasan minimum.
Ini dan dua lagi dugaan Tait tentang simpul bergantian akhirnya menjadi kenyataan. Namun dugaan terkenal ini tidak terbukti sampai akhir 1980-an dan awal 90-an menggunakan alat matematika yang dikembangkan pada tahun 1984 oleh Vaughan Jones, yang memenangkan Fields Medal untuk karyanya dalam teori simpul.
Sayangnya, simpul bergantian hanya membawa Anda sejauh ini. Begitu kita membuat simpul dengan delapan atau lebih penyeberangan, jumlah simpul yang tidak bergantian bertambah dengan cepat, membuat teknik Tait kurang berguna.
Tabel asli dari semua 10 simpul penyeberangan sudah lengkap, tetapi Tait, Kirkman, dan Little menghitung dua kali. Baru pada tahun 1970-an Kenneth Perko, seorang pengacara yang telah mempelajari teori simpul di Princeton, memperhatikan bahwa dua simpul adalah bayangan cermin satu sama lain. Mereka sekarang dikenal sebagai pasangan Perko untuk menghormatinya.
Selama abad terakhir, matematikawan telah menemukan banyak cara cerdas untuk menentukan apakah simpul benar-benar berbeda. Pada dasarnya, idenya adalah untuk mengidentifikasi invarian — properti, kuantitas atau entitas aljabar yang dikaitkan dengan simpul dan sering dapat dihitung secara sederhana. (Properti ini memiliki nama seperti colorability, bridge number atau writhe.) Berbekal label ini, matematikawan sekarang dapat dengan mudah membandingkan dua simpul: Jika mereka berbeda dalam atribut yang diberikan, maka mereka bukanlah simpul yang sama. Namun, tidak satu pun dari sifat-sifat ini yang oleh ahli matematika disebut sebagai invarian lengkap, yang berarti bahwa dua simpul yang berbeda mungkin memiliki sifat yang sama.
Karena semua kerumitan ini, mungkin tidak mengherankan bahwa tabulasi simpul masih berlangsung. Baru-baru ini, pada tahun 2020, Benjamin Burton diklasifikasikan semua simpul utama hingga 19 penyeberangan (yang ada hampir 300 juta).
Teori simpul tradisional hanya masuk akal dalam tiga dimensi: Dalam dua dimensi hanya simpul yang tidak mungkin, dan dalam empat dimensi ruang ekstra memungkinkan simpul untuk melepaskan diri, sehingga setiap simpul sama dengan simpul.
Namun, dalam ruang empat dimensi kita dapat membuat simpul bola. Untuk memahami apa artinya ini, bayangkan mengiris bola biasa secara berkala. Melakukannya menghasilkan lingkaran, seperti garis lintang. Namun, jika kita memiliki dimensi ekstra, kita dapat membuat simpul bola sehingga irisan, sekarang tiga dimensi, bukan dua, bisa menjadi simpul.
Ide ini berada di balik salah satu hasil terbaru terbesar dalam teori simpul. Pada tahun 2018, mahasiswa pascasarjana Lisa Piccirillo menyelesaikan pertanyaan berusia 50 tahun tentang simpul penyeberangan 11 yang pertama kali ditemukan oleh John Conway. Pertanyaannya ada hubungannya dengan properti yang disebut sliceness. Seperti yang telah kita lihat, ketika kita mengiris bola yang diikat dalam empat dimensi, kita memperoleh simpul atau tautan dalam tiga dimensi. Kadang-kadang kita dapat memperoleh simpul tertentu dari bola yang diikat dengan mulus, tetapi untuk simpul lain, bola harus diikat dan dikerutkan seperti selembar kertas bekas. Piccirillo membuktikan, pada dasarnya, bahwa simpul Conway adalah jenis yang terakhir. Dalam istilah teknis, dia membuktikan bahwa itu bukan "smoothly slice."
Teori simpul telah merambah lanskap matematika selama berabad-abad. Ini dimulai sebagai bidang matematika terapan, dengan Thomson mencoba menggunakan simpul untuk memahami susunan materi. Ketika ide itu memudar, itu menjadi bidang matematika murni, cabang dari domain topologi yang menarik dan masih tidak praktis. Tetapi dalam beberapa tahun terakhir teori simpul kembali menjadi bidang matematika terapan, karena para ilmuwan menggunakan ide-ide dari teori simpul untuk menyelidikinya dinamika fluida, elektrodinamika, molekul tersimpul seperti DNA dan seterusnya. Untungnya, sementara para ilmuwan sibuk mempelajari hal-hal lain, matematikawan sedang membangun katalog simpul dan alat untuk mengungkap rahasia mereka.
