Un secolo dopo, la nuova matematica appiana la relatività generale | Rivista Quanti

La teoria della relatività generale di Albert Einstein ha avuto un enorme successo nel descrivere come funziona la gravità e come modella la struttura su larga scala dell'universo. È riassunto in un detto del fisico John Wheeler: “Lo spazio-tempo dice alla materia come muoversi; la materia dice allo spazio-tempo come curvarsi”. Tuttavia, anche la matematica della relatività generale è profondamente controintuitiva.

Poiché le sue equazioni di base sono così complicate, anche le affermazioni che sembrano più semplici sono difficili da dimostrare. Ad esempio, fu solo intorno al 1980 che i matematici dimostrarono, come parte di un importante teorema della relatività generale, che un sistema fisico isolato, o spazio, senza alcuna massa al suo interno deve essere piatto.

Ciò lasciava irrisolta la questione di come apparirebbe uno spazio se fosse quasi vuoto, avendo solo una piccola quantità di massa. È necessariamente quasi piatto?

Anche se potrebbe sembrare ovvio che una massa più piccola porterebbe a una curvatura più piccola, le cose non sono così semplici quando si parla di relatività generale. Secondo la teoria, dense concentrazioni di materia possono “deformare” una porzione di spazio, rendendolo fortemente curvo. In alcuni casi, questa curvatura può essere estrema, portando eventualmente alla formazione di buchi neri. Ciò potrebbe verificarsi anche in uno spazio con piccole quantità di materia, se concentrata con sufficiente forza.

In un recente carta, Conghan Dong, uno studente laureato alla Stony Brook University, e Antonio Canzone, un assistente professore al California Institute of Technology, ha dimostrato che una sequenza di spazi curvi con quantità di massa sempre più piccole alla fine convergerà in uno spazio piatto con curvatura zero.

Questo risultato rappresenta un notevole progresso nell’esplorazione matematica della relatività generale, una ricerca che continua a dare i suoi frutti più di un secolo dopo che Einstein ha ideato la sua teoria. Dan Lee, un matematico del Queens College che studia la matematica della relatività generale ma non è stato coinvolto in questa ricerca, ha affermato che la dimostrazione di Dong e Song riflette una profonda comprensione di come interagiscono curvatura e massa.

Cosa hanno dimostrato

La dimostrazione di Dong e Song riguarda gli spazi tridimensionali, ma consideriamo prima un esempio bidimensionale a scopo illustrativo. Immagina uno spazio piatto senza massa come un normale foglio di carta liscio. Uno spazio con massa piccola, in questo caso, potrebbe sembrare simile da lontano, vale a dire per lo più piatto. Tuttavia, un esame più attento potrebbe rivelare alcuni picchi acuti o bolle che spuntano qua e là – conseguenze dell’aggregazione della materia. Questi affioramenti casuali farebbero somigliare la carta a un prato ben curato con qualche fungo o gambo occasionale che spunta dalla superficie.

Dong e Song hanno dimostrato di a congetturare che è stato formulato nel 2001 dai matematici Gerhard Huisken ed Tom Ilmanen. La congettura afferma che quando la massa di uno spazio si avvicina allo zero, lo stesso vale per la sua curvatura. Huisken e Ilmanen hanno riconosciuto, tuttavia, che questo scenario è complicato dalla presenza di bolle e picchi (che sono matematicamente distinti l’uno dall’altro). Hanno ipotizzato che le bolle e le punte potessero essere tagliate in modo tale che l'area di confine lasciata sulla superficie dello spazio da ogni escissione fosse piccola. Hanno suggerito, ma non hanno potuto provare, che lo spazio rimasto dopo la rimozione di queste fastidiose appendici sarebbe stato quasi piatto. Inoltre non erano sicuri di come avrebbero dovuto essere effettuati tali tagli.

"Queste domande erano difficili e non mi aspettavo di vedere una soluzione alla congettura di Huisken-Ilmanen", ha detto Lee.

Al centro della congettura c’è la misurazione della curvatura. Lo spazio può curvarsi in modi diversi, in quantità diverse e in direzioni diverse, come una sella (in due dimensioni) che si curva verso l'alto andando avanti e indietro, ma verso il basso andando a sinistra e a destra. Dong e Song ignorano questi dettagli. Usano un concetto chiamato curvatura scalare, che rappresenta la curvatura come un singolo numero che riassume l'intera curvatura in tutte le direzioni.

Il nuovo lavoro di Dong e Song, ha detto Daniel Stern della Cornell University, è “uno dei risultati più forti che abbiamo finora che ci mostra come la curvatura scalare controlli [la] geometria” dello spazio nel suo complesso. Il loro articolo illustra che “se abbiamo una curvatura scalare non negativa e una massa piccola, comprendiamo molto bene la struttura dello spazio”.

La prova

La congettura di Huisken-Ilmanen riguarda la geometria degli spazi con massa costantemente decrescente. Prescrive un metodo specifico per dire quanto uno spazio con piccola massa è vicino allo spazio piatto. Questa misura è chiamata distanza di Gromov-Hausdorff, dal nome dei matematici Michael Gromov e Felix Hausdorff. Il calcolo della distanza Gromov-Hausdorff è un processo in due fasi.

Il primo passo è trovare la distanza di Hausdorff. Supponiamo di avere due cerchi, A e B. Inizia con qualsiasi punto su A e scopri quanto dista il punto più vicino su B.

Ripeti l'operazione per ogni punto su A. La distanza più grande che trovi è la distanza di Hausdorff tra i cerchi.

Una volta ottenuta la distanza Hausdorff, puoi calcolare la distanza Gromov-Hausdorff. Per fare ciò, posiziona i tuoi oggetti in uno spazio più grande in modo da ridurre al minimo la distanza Hausdorff tra loro. Nel caso di due cerchi identici, poiché potresti metterli letteralmente uno sopra l'altro, la distanza Gromov-Hausdorff tra loro è zero. Oggetti geometricamente identici come questi sono chiamati “isometrici”.

Misurare la distanza è ovviamente più difficile quando gli oggetti o gli spazi confrontati sono simili ma non uguali. La distanza Gromov-Hausdorff fornisce una misura precisa delle somiglianze (o differenze) tra le forme di due oggetti che inizialmente si trovano in spazi diversi. "La distanza di Gromov-Hausdorff è uno dei modi migliori che abbiamo per dire che due spazi sono quasi isometrici, e dà un numero a quel 'quasi'", ha detto Stern.

Prima che Dong e Song potessero fare paragoni tra uno spazio con una piccola massa e uno spazio perfettamente piatto, hanno dovuto eliminare le fastidiose protuberanze: le punte strette dove la materia è strettamente compattata e le bolle ancora più dense che potrebbero ospitare minuscoli buchi neri. "Li abbiamo tagliati in modo che l'area di confine [dove è stata realizzata la fetta] sia piccola", ha detto Song, "e abbiamo dimostrato che l'area diventa più piccola man mano che la massa diminuisce."

Sebbene questa tattica possa sembrare un imbroglio, Stern ha affermato che è ammissibile, per dimostrare la congettura, eseguire una sorta di pre-elaborazione eliminando bolle e punte la cui area si riduce a zero man mano che la massa diminuisce.

Come proxy di uno spazio di piccola massa, suggerì, potremmo immaginare un foglio di carta accartocciato che, dopo essere stato nuovamente levigato, presenta ancora pieghe e pieghe nette. Potresti usare una perforatrice per rimuovere le irregolarità più evidenti, lasciando un pezzo di carta leggermente irregolare con alcuni buchi. Man mano che la dimensione di questi fori si riduce, diminuiranno anche le irregolarità del terreno della carta. Al limite, si potrebbe dire, i buchi si ridurrebbero a zero, i tumuli e le creste scomparirebbero e rimarresti con un pezzo di carta uniformemente liscio: un vero e proprio sostituto dello spazio piatto.

Questo è ciò che Dong e Song hanno cercato di dimostrare. Il passo successivo è stato vedere come questi spazi denudati – privati ​​delle loro caratteristiche ruvide – si confrontassero con lo standard di assoluta piattezza. La strategia perseguita faceva uso di un tipo speciale di mappa, che è un modo per confrontare due spazi associando punti in uno spazio con punti in un altro. La mappa che hanno utilizzato è stata sviluppata in a carta scritto da Stern e tre colleghi: Hubert Bray, Demeter Kazaras e Marcus Khuri. Questa procedura può spiegare esattamente quanto sono vicini due spazi.

Per semplificare il loro compito, Dong e Song hanno adottato un altro trucco matematico di Stern e dei suoi coautori, che ha dimostrato che uno spazio tridimensionale può essere diviso in infinite fette bidimensionali chiamate insiemi di livelli, proprio come un uovo sodo può essere diviso in infinite fette bidimensionali chiamate insiemi di livelli. essere segmentato in sottili sfoglie dai fili tesi di un'affettatrice per uova.

I set di livelli ereditano la curvatura dello spazio tridimensionale che comprendono. Concentrando la loro attenzione sui livelli piuttosto che sullo spazio tridimensionale più ampio, Dong e Song sono riusciti a ridurre la dimensionalità del problema da tre a due. Questo è molto vantaggioso, ha detto Song, perché “sappiamo molto sugli oggetti bidimensionali… e abbiamo molti strumenti per studiarli”.

Se riuscissero a dimostrare con successo che ogni insieme di livelli è “una sorta di piatto”, ha detto Song, ciò consentirebbe loro di raggiungere il loro obiettivo generale di dimostrare che uno spazio tridimensionale con poca massa è quasi piatto. Fortunatamente, questa strategia ha funzionato.

Passi successivi

Guardando al futuro, Song ha affermato che una delle prossime sfide del settore sarà quella di rendere la prova più esplicita definendo una procedura precisa per eliminare bolle e punte e descrivendo meglio le regioni che sono state tagliate via. Ma per ora, ha ammesso, “non abbiamo una strategia chiara per raggiungere questo obiettivo”.

 Un'altra strada promettente, ha detto Song, sarebbe quella di esplorare a congettura separata che è stato formulato nel 2011 da Lee e Cristina Sormani, matematico della City University di New York. La congettura di Lee-Sormani pone una domanda simile a quella posta da Huisken e Ilmanen, ma si basa su un modo diverso di misurare la differenza tra le forme. Invece di considerare la distanza massima tra due forme, come fa la distanza di Gromov-Hausdorff, l’approccio di Lee-Sormani si interroga sulla volume dello spazio fra loro. Più piccolo è il volume, più sono vicini.

Song, nel frattempo, spera di esaminare le questioni fondamentali sulla curvatura scalare che non sono motivate dalla fisica. “Nella relatività generale”, ha detto, “abbiamo a che fare con spazi molto speciali che sono quasi piatti all’infinito, ma in geometria ci preoccupiamo di tutti i tipi di spazi”.

"C'è speranza che queste tecniche possano essere utili in altri contesti" non correlati alla relatività generale, ha detto Stern. "C'è una vasta famiglia di problemi correlati", ha detto, che aspettano di essere esplorati.

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