All'inizio degli anni '1950, un gruppo di ricercatori dell'Institute for Advanced Study iniziò un progetto high-tech. Al ordine di John von Neumann e Herman Goldstine, il fisico Hedvig Selberg ha programmato il computer a 1,700 tubi sottovuoto della IAS per calcolare curiose somme matematiche le cui origini risalgono al 18° secolo.
Le somme erano legate alle somme quadratiche di Gauss, dal nome del famoso matematico Carl Friedrich Gauss. Gauss sceglierebbe un numero primo p, quindi somma i numeri della forma $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. Sin dal loro inizio, le somme di Gauss quadratiche si sono rivelate inestimabili per compiti come il conteggio delle soluzioni di determinati tipi di equazioni. "Si scopre che le somme di Gauss sono magiche, che fanno semplicemente cose meravigliose per Dio solo sa quale motivo", ha detto Jeffrey Hoffstein, un matematico alla Brown University.
A metà del 19° secolo, il matematico tedesco Ernst Eduard Kummer stava giocando con un parente stretto di queste somme di Gauss quadratiche, dove il n2 nell'esponente è sostituito da an n3. Kummer ha notato che tendevano a raccogliere valori quasi particolari in misura sorprendente, un'osservazione acuta che avrebbe portato a secoli di ricerca nella teoria dei numeri.
Se le somme di Gauss cubiche non vengono rielaborate in una formula più semplice, i loro valori sono difficili da dedurre. In mancanza di tale formula, Kummer iniziò a calcolare le somme cubiche di Gauss e a calcolare e calcolare. "All'epoca era molto comune per loro fare questo tipo di calcoli eroici a mano", ha detto Matthew Young, matematico presso la Texas A&M University. Dopo aver arato 45 somme, corrispondenti ai primi 45 numeri primi non banali, Kummer alla fine si arrese.
Esaminando i suoi risultati, Kummer ha notato qualcosa di interessante. In teoria, le somme potrebbero essere qualsiasi cosa compresa tra −1 e 1 (dopo essere state "normalizzate" — divisa per una costante adatta). Ma quando fece i calcoli, scoprì che erano distribuiti in modo strano. La metà dei risultati era compresa tra ½ e 1 e solo un sesto di essi era tra -1 e -½. Sembravano raggrupparsi intorno a 1.
Kummer ha esposto le sue osservazioni, insieme a una congettura: se in qualche modo riuscissi a tracciare tutte le infinite somme cubiche di Gauss, vedresti la maggior parte di esse tra ½ e 1; meno tra −½ e ½; e ancora meno tra −1 e −½.
Selberg, von Neumann e Goldstine hanno deciso di testarlo sui loro primi computer. Selberg lo ha programmato per calcolare le somme cubiche di Gauss per tutti i numeri primi non banali inferiori a 10,000, circa 600 somme in tutto. (Goldstine e von Neumann avrebbero continuato a scrivere l'articolo; i suoi contributi sarebbero finiti per essere relegati in una linea di riconoscimento alla fine.) Hanno scoperto che man mano che i numeri primi aumentavano, le somme normalizzate diventavano meno inclini a raggrupparsi vicino a 1. Con prove convincenti che la congettura di Kummer fosse sbagliata, i matematici iniziarono a cercare di comprendere le somme cubiche di Gauss in un modo più profondo che andava oltre il semplice calcolo.
Questo processo è ora completo. Nel 1978, il matematico Samuel Patterson azzardò una soluzione al mistero matematico di Kummer, ma non riuscì a dimostrarlo. Poi, lo scorso autunno, due matematici del California Institute of Technology hanno dimostrato la congettura di Patterson, chiudendo finalmente le riflessioni di Kummer del 1846.
Patterson si è appassionato al problema per la prima volta come studente laureato all'Università di Cambridge negli anni '1970. La sua congettura era motivata da ciò che accade quando i numeri vengono posizionati casualmente in un punto qualsiasi tra -1 e 1. Se fai la somma N di questi numeri casuali, la dimensione tipica della somma sarà $latexsqrt{N}$ (potrebbe essere positiva o negativa). Allo stesso modo, se le somme cubiche di Gauss fossero sparse uniformemente da -1 a 1, ti aspetteresti N di loro per sommarsi a circa $latexsqrt{N}$.
Con questo in mente, Patterson ha aggiunto N somme di Gauss cubiche, ignorando (per il momento) l'obbligo di attenersi ai numeri primi. Ha scoperto che la somma era intorno N5/6 — maggiore di $latexsqrt{N}$ (che può essere scritto come N1/2), ma meno di N. Questo valore implicava che le somme si comportassero come numeri casuali ma con una forza debole che le spingeva verso valori positivi, chiamata distorsione. Come N diventasse sempre più grande, la casualità inizierebbe a sopraffare la distorsione, e quindi se in qualche modo guardassi tutte le infinite somme cubiche di Gauss contemporaneamente, sembrerebbero distribuite uniformemente.
Questo apparentemente spiegava tutto: i calcoli di Kummer che mostrano un pregiudizio, così come i calcoli IAS che ne confutano uno.
Ma Patterson non era in grado di fare gli stessi calcoli per i numeri primi, quindi nel 1978 lo scrisse ufficialmente come un congetturare: Se sommi le somme cubiche di Gauss per i numeri primi, dovresti ottenere lo stesso N5/6 comportamento.
Subito dopo aver tenuto un discorso sul suo lavoro sul problema Kummer, Patterson è stato contattato da uno studente laureato di nome Roger Heath-Brown, che ha suggerito di incorporare tecniche dalla teoria dei numeri primi. I due si sono uniti e presto pubblicato un anticipo sul problema, ma non potevano ancora dimostrare che Patterson aveva previsto N5/6 il bias era accurato per i numeri primi.
Nei decenni successivi, ci furono pochi progressi. Infine, a cavallo del millennio, Heath-Brown ne fece un altro sfondamento, in cui uno strumento che aveva sviluppato chiamato il grande setaccio cubico giocava un ruolo essenziale.
Per utilizzare il grande setaccio cubico, Heath-Brown ha utilizzato una serie di calcoli per mettere in relazione la somma delle somme cubiche di Gauss con una somma diversa. Con questo strumento, Heath-Brown è stato in grado di dimostrare che se si sommano le somme cubiche di Gauss per numeri primi inferiori a N, il risultato non può essere molto più grande di N5/6. Ma pensava che avrebbe potuto fare di meglio, che il setaccio stesso avrebbe potuto essere migliorato. Se potesse, abbasserebbe il limite a N5/6 esattamente, dimostrando così la congettura di Patterson. In una breve riga di testo, ha abbozzato quella che pensava sarebbe stata la migliore formula possibile per il setaccio.
Anche con questo nuovo strumento in mano, i matematici non sono stati in grado di avanzare ulteriormente. Poi due decenni dopo, un incontro fortunato tra i dottorandi del Caltech Alexander Dunn e il suo supervisore Maksym Radziwiłł ha segnato l'inizio della fine. Prima che Dunn iniziasse la sua posizione nel settembre del 2020, Radziwiłł ha proposto di lavorare insieme sulla congettura di Patterson. Ma con la pandemia di Covid-19 ancora in corso, la ricerca e la didattica sono proseguite a distanza. Infine, nel gennaio 2021, il caso - o il destino - è intervenuto quando i due matematici si sono incontrati inaspettatamente in un parcheggio di Pasadena. "Abbiamo chiacchierato cordialmente e abbiamo deciso di iniziare a incontrarci e parlare di matematica", ha scritto Dunn in un'e-mail. A marzo stavano lavorando diligentemente su una dimostrazione della congettura di Patterson.
"È stato emozionante lavorare su, ma estremamente ad alto rischio", ha detto Dunn. "Voglio dire, ricordo di essere venuto nel mio ufficio, tipo, alle 5 del mattino ogni mattina per quattro o cinque mesi."
Dunn e Radziwiłł, come Heath-Brown prima di loro, trovarono il grande setaccio cubico indispensabile per la loro prova. Ma quando hanno usato la formula che Heath-Brown aveva scritto nel suo articolo del 2000 - quella che credeva essere il miglior setaccio possibile, una congettura che la comunità della teoria dei numeri era arrivata a credere fosse vera - si sono resi conto che qualcosa non andava . "Siamo stati in grado di dimostrare che 1 = 2, dopo un lavoro molto, molto complicato", ha detto Radziwiłł.
A quel punto, Radziwiłł era sicuro che l'errore fosse stato loro. "Ero un po' convinto che fondamentalmente abbiamo un errore nella nostra prova." Dunn lo ha convinto del contrario. Il grande setaccio cubico, contrariamente alle aspettative, non poteva essere migliorato.
Armati della correttezza del grande setaccio cubico, Dunn e Radziwiłł ricalibrarono il loro approccio alla congettura di Patterson. Questa volta ci sono riusciti.
"Penso che questo sia stato il motivo principale per cui nessuno l'ha fatto, perché questa congettura [di Heath-Brown] stava fuorviando tutti", ha detto Radziwiłł. "Penso che se dicessi a Heath-Brown che la sua congettura è sbagliata, allora probabilmente capirebbe come farlo."
Dunn e Radziwiłł hanno pubblicato il loro articolo il 15 settembre 2021. Alla fine, la loro dimostrazione si basava sull'ipotesi generalizzata di Riemann, una famosa congettura non dimostrata in matematica. Ma altri matematici vedono questo solo come un piccolo inconveniente. “Vorremmo sbarazzarci dell'ipotesi. Ma siamo comunque felici di avere un risultato condizionato”, ha detto Brughiera, che ora è professore emerito all'Università di Oxford.
Per Heath-Brown, il lavoro di Dunn e Radziwiłł è più di una semplice dimostrazione della congettura di Patterson. Con la sua inaspettata visione del grande setaccio cubico, il loro articolo ha portato un finale a sorpresa a una storia di cui ha fatto parte per decenni. "Sono contento di non aver scritto nel mio articolo, 'Sono sicuro che uno può sbarazzarsi di questo'", ha detto, riferendosi al pezzo di setaccio che Dunn e Radziwiłł hanno scoperto essere essenziale. “Ho solo detto: 'Sarebbe bello se uno potesse sbarazzarsi di questo. Sembra possibile che dovresti essere in grado di farlo.' E mi sbagliavo, non per la prima volta.
