Piastrelle di Einstein: l'incredibile forma a "Cappello" che non si ripete mai!

Piastrelle di Einstein: l'incredibile forma a "Cappello" che non si ripete mai!

Timestamp: 4 aprile 2023 12:59
by Paul Ducklin

La matematica è un campo complesso ed esoterico che è alla base della scienza e dell'ingegneria, comprese in particolare le discipline della crittografia e della sicurezza informatica.

(Ecco... abbiamo aggiunto una menzione alla sicurezza informatica, giustificando così il resto di questo articolo.)

L'argomento della matematica è stato ampiamente e fervidamente studiato almeno dall'antica epoca babilonese, e i nomi di molti famosi matematici sono entrati nel nostro vocabolario quotidiano, in frasi come Pitagorico triangoli (quelli che hanno un angolo retto in loro), cartesiano geometria (lavorare con forme su superfici piane), computer Algoritmi (sequenze di istruzioni che lavorano in modo iterativo o ricorsivo per calcolare un risultato), e Penrose piastrellature.

Le piastrellature di Penrose, se le hai mai incontrate, sono state inventate da Sir Roger Penrose negli anni '1970 e hanno affrontato modi affascinanti e insoliti di rivestire le superfici in combinazioni di forme.

Nel caso ti stia chiedendo perché la parola algoritmo non ha la maiuscola come le altre, questo perché non è una resa precisa di un nome originario, ma una parola derivata da Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, un influente matematico, geografo e astronomo che visse circa 1200 anni fa in un'area a est del Mar Caspio ea sud del Lago d'Aral, una regione ora divisa tra Uzbekistan e Turkmenistan.

La piastrellatura ha reso funky

Le superfici piastrellate, ovviamente, sono comuni, ad esempio nei bagni, nelle cucine e nelle passerelle.

E sui tetti, ovviamente, ma in questo articolo ignoreremo le tegole perché sono progettate per sovrapporsi, quindi tengono fuori la pioggia senza bisogno di essere sigillate individualmente l'una contro l'altra.

Anche le aree in moquette sono spesso piastrellate, soprattutto negli uffici, in modo che parti del pavimento possano essere ripiastrellate senza strappare e sostituire la moquette poco usata attorno alle parti usurate.

Se hai mai visitato il quartier generale di Sophos nel Regno Unito, ad esempio, saprai che si tratta di un'area in gran parte a pianta aperta ricoperta da moquette quadrate in varie delicate tonalità di blu e verde chiaro:

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Come puoi vedere, le tessere quadrate formano ciò che è noto come a schema periodico, il che significa che lo schema si ripete ogni tanto.

Nell'esempio sopra, la griglia precisa utilizzata nel layout assicura che il motivo si ripeta in entrambe le dimensioni dopo aver spostato un solo quadrato in alto, in basso, a sinistra oa destra.

Schemi più complessi e visivamente accattivanti, che sono comunque tassellature periodiche perché continuano a ripetersi, possono essere realizzati con combinazioni regolari di forme semplici, come l'epta-pentagono:

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O il rombo-tri-esagono:

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Piastrelle Penrose

Questo ci porta alle tassellature di Penrose.

Sebbene Sir Roger Penrose sia probabilmente il più famoso come vincitore del Premio Nobel per la fisica nel 2020, è anche famoso per il suo lavoro nella classe speciale di modelli di piastrelle noti come noti tassellature aperiodiche.

A differenza delle piastrellature periodiche, che si ripetono ogni tanto, le piastrellature aperiodiche non si ripetono mai, non importa con quanta cura scegli il pezzo successivo da posizionare e dove posizionarlo...

…anche se le piastrellature si basano su un numero finito di forme, e coprono una superficie infinita senza vuoti o sovrapposizioni.

Le tassellature periodiche sono un po' come i numeri razionali (frazioni basate su un numero intero diviso per un altro), in quanto alla fine si ripetono qualunque cosa tu faccia.

Se dividi 22 per 7, ad esempio, ottieni circa 3.142..., utilmente vicino al valore di Pi greco, che è circa 3.14159...

Ma 22/7 in realtà esce come 3.142857142857142857... e quel modello 142857 continua a ripetersi all'infinito, perché il numero è il rapporto (quindi la descrizione numero razionale) di due numeri interi.

Al contrario, il vero valore di Pi è irrazionale: non può essere ridotto a un rapporto e il suo valore in decimale non cade mai in uno schema ripetitivo.

Che ne dici di un tipo simile di sequenza mai ripetuta basata non su valori numerici ma su forme?

Avresti bisogno di un numero infinito di forme diverse per garantire uno schema che non si ripeta mai, o potresti portare a termine il tuo lavoro di piastrellatura (certamente infinito) con un set finito di tessere?

Penrose ha ottenuto il numero di forme diverse necessarie per garantire tassellature non ripetitive fino a due sole, ma da allora la domanda è rimasta: Riesci a trovare un'unica forma, un'unica piastrella, che possa essere posata ripetutamente per ricoprire una superficie infinita senza mai ripetersi?

In quello che passa come un gioco di parole matematico, questo Santo Graal delle tessere è noto come an einstein, che significa “una forma” in tedesco, ma riecheggia anche il nome Albert Einstein, di E=mc2 fama.

Vi presentiamo... il Cappello

Bene, un quartetto matematico guidato da un cercatore di forme britannico chiamato David Smith, afferma che gli einstein esistono e hanno rivelato un triskaidecagon (che è una figura a 13 facce) che hanno soprannominato il Cappello.

Affermano di aver dimostrato che il cappello genera il risultato a lungo ricercato di uno schema aperiodico, tutto da solo:

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In poche parole, se pavimentate il vostro pavimento, o il vostro portico, o il vostro vialetto, o anche il campo da calcio locale con una scorta di piastrelle Hat...

…alla fine coprirai l'intera superficie con uno schema che non si ripete mai.

Nonostante mostri vari "sotto-disegni" e apparenti somiglianze mentre costruisci la tua opera d'arte basata su Hat, questo è il Pi delle piastrelle del pavimento: prova come vuoi, non otterrai mai uno schema regolare e periodico da Esso.

Cosa fare?

Non tenteremo nemmeno una descrizione del prova qui – in tutta onestà, non siamo ancora riusciti a digerirlo da soli – quindi ci limitiamo a suggerirvelo studialo nel tuo tempo. (Forse mettere da parte un lungo fine settimana per l'attività?

Ma se vuoi giocare con il concetto di piastrellatura aperiodica, perché non prepararti dei biscotti Hat, o dei biscotti se vieni dal Nord America?

Se hai una stampante 3D, puoi scaricare un disegno per creare il tuo tagliapasta a forma di cappello!

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