Quanto è grande l'infinito?

Alla fine del blockbuster Marvel Vendicatori: Endgame, un ologramma preregistrato di Tony Stark saluta la sua giovane figlia dicendo: "Ti amo 3,000". Il momento toccante riecheggia una scena precedente in cui i due sono impegnati nel giocoso rituale della buonanotte di quantificare il loro amore reciproco. Secondo Robert Downey Jr., l'attore che interpreta Stark, la battuta è stata ispirata da scambi simili con i suoi stessi figli.

Il gioco può essere un modo divertente per esplorare grandi numeri:

"Ti amo 10."

"Ma ti amo 100."

"Bene, ti amo 101!"

È proprio così che “googolplex” è diventata una parola popolare a casa mia. Ma sappiamo tutti dove porta alla fine questo argomento:

"Ti amo all'infinito!"

"O si? Ti amo infinito più 1!”

Che sia nel parco giochi o prima di andare a dormire, i bambini incontrano il concetto di infinito molto prima della lezione di matematica e sviluppano comprensibilmente un fascino per questo concetto misterioso, complicato e importante. Alcuni di questi bambini crescono fino a diventare matematici affascinati dall'infinito, e alcuni di questi matematici stanno scoprendo cose nuove e sorprendenti sull'infinito.

Potresti sapere che alcuni insiemi di numeri sono infinitamente grandi, ma sapevi che alcuni infiniti sono più grandi di altri? E che non siamo sicuri che ci siano altri infiniti inseriti tra i due che conosciamo meglio? I matematici riflettono su questa seconda domanda da almeno un secolo, e alcuni lavori recenti hanno cambiato il modo in cui le persone pensano alla questione.

Per affrontare le questioni relative alla dimensione degli insiemi infiniti, cominciamo con gli insiemi che sono più facili da contare. Un insieme è una raccolta di oggetti, o elementi, e un insieme finito è semplicemente un insieme che contiene un numero finito di oggetti.

Determinare la dimensione di un insieme finito è semplice: basta contare il numero di elementi che contiene. Poiché l'insieme è finito, sai che prima o poi smetterai di contare e quando avrai finito conoscerai la dimensione del tuo set.

Questa strategia non funziona con insiemi infiniti. Ecco l'insieme dei numeri naturali, che è indicato con ℕ. (Alcuni potrebbero sostenere che lo zero non è un numero naturale, ma questo dibattito non influisce sulle nostre indagini sull’infinito.)

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$

Qual è la dimensione di questo set? Poiché non esiste un numero naturale più grande, provare a contare il numero di elementi non funzionerà. Una soluzione è semplicemente dichiarare che la dimensione di questo insieme infinito è “infinito”, il che non è sbagliato, ma quando inizi a esplorare altri insiemi infiniti, ti rendi conto che non è nemmeno del tutto corretto.

Consideriamo l'insieme dei numeri reali, che sono tutti i numeri esprimibili in un'espansione decimale, come 7, 3.2, −8.015, o in un'espansione infinita come $latexsqrt{2} = 1.414213…$. Poiché ogni numero naturale è anche un numero reale, l'insieme dei reali è grande almeno quanto l'insieme dei numeri naturali, e quindi deve essere anch'esso infinito.

Ma c’è qualcosa di insoddisfacente nel dichiarare che la dimensione dell’insieme dei numeri reali è lo stesso “infinito” usato per descrivere la dimensione dei numeri naturali. Per capire perché, scegli due numeri qualsiasi, come 3 e 7. Tra questi due numeri ci saranno sempre un numero finito di numeri naturali: qui sono i numeri 4, 5 e 6. Ma ci saranno sempre infiniti numeri reali tra loro, i numeri come 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666… e così via.

Abbastanza sorprendentemente, non importa quanto vicini siano tra loro due numeri reali distinti, ci saranno sempre infiniti numeri reali nel mezzo. Di per sé ciò non significa che gli insiemi dei numeri reali e dei numeri naturali abbiano dimensioni diverse, ma suggerisce che c’è qualcosa di fondamentalmente diverso in questi due insiemi infiniti che merita ulteriori indagini.

Il matematico Georg Cantor indagò su questo alla fine del XIX secolo. Ha dimostrato che questi due insiemi infiniti hanno davvero dimensioni diverse. Per capire e apprezzare come lo ha fatto, dobbiamo prima capire come confrontare insiemi infiniti. Il segreto è un elemento fondamentale delle lezioni di matematica ovunque: le funzioni.

Esistono molti modi diversi di pensare alle funzioni: notazione di funzioni come $latex f(x) = x^2 +1$, grafici di parabole nel piano cartesiano, regole come "prendi l'input e aggiungici 3" — ma qui considereremo una funzione come un modo per abbinare gli elementi di un insieme con gli elementi di un altro.

Prendiamo uno di questi insiemi come ℕ, l'insieme dei numeri naturali. Per l'altro set, che chiameremo S, prenderemo tutti i numeri naturali pari. Ecco i nostri due set:

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$

Esiste una semplice funzione che trasforma gli elementi di ℕ negli elementi di S: $latex f(x) = 2x$. Questa funzione raddoppia semplicemente i suoi input, quindi se pensiamo agli elementi di ℕ come input di $latex f(x)$ (chiamiamo l'insieme degli input di una funzione "dominio"), gli output saranno sempre elementi di S. Ad esempio, $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ e così via.

Puoi visualizzarlo allineando gli elementi dei due insiemi fianco a fianco e usando le frecce per indicare come la funzione $latex f$ trasforma gli input da ℕ in output in S.

Nota come $latex f(x)$ assegna esattamente un elemento di S a ciascun elemento di ℕ. Questo è ciò che fanno le funzioni, ma $latex f(x)$ lo fa in un modo speciale. Innanzitutto, $latex f$ assegna tutto S a qualcosa in ℕ. Usando la terminologia delle funzioni, diciamo che ogni elemento di S è l'“immagine” di un elemento di ℕ sotto la funzione $latex f$. Ad esempio, è presente il numero pari 3,472 S, e possiamo trovare un x in ℕ tale che $latex f(x) = 3,472$  (ovvero 1,736). In questa situazione diciamo che la funzione $latex f(x)$ mappa ℕ su S. Un modo più elaborato per dirlo è che la funzione $latex f(x)$ è “suriettiva”. Comunque lo descrivi, ciò che è importante è questo: poiché la funzione $latex f(x)$ trasforma gli input da ℕ in output in S, niente dentro S viene perso nel processo.

La seconda particolarità del modo in cui $latex f(x)$ assegna gli output agli input è che due elementi in ℕ non vengono trasformati nello stesso elemento in S. Se due numeri sono diversi, anche i loro doppi sono diversi; 5 e 11 sono numeri naturali diversi in ℕ e i loro risultati in S sono anche diversi: 10 e 22. In questo caso diciamo che $latex f(x)$ è "1-to-1" (scritto anche "1-1") e descriviamo $latex f(x)$ come “iniettivo”. La chiave qui è che non c'è niente S viene utilizzato due volte: ogni elemento in S è accoppiato con un solo elemento in ℕ.

Queste due funzionalità di $latex f(x)$ si combinano in modo potente. La funzione $latex f(x)$  crea una corrispondenza perfetta tra gli elementi di ℕ e gli elementi di S. Il fatto che $latex f(x)$ sia "su" significa che tutto è in S ha un partner in ℕ, e il fatto che $latex f(x)$ sia 1 a 1 significa che non c'è nulla in S ha due partner in ℕ. In breve, la funzione $latex f(x)$ accoppia ogni elemento di ℕ con esattamente un elemento di S.

Una funzione che è sia iniettiva che suriettiva è chiamata biiezione e una biiezione crea una corrispondenza 1 a 1 tra i due insiemi. Ciò significa che ogni elemento di un insieme ha esattamente un partner nell'altro insieme, e questo è un modo per dimostrare che due insiemi infiniti hanno la stessa dimensione.

Poiché la nostra funzione $latex f(x)$ è una biiezione, ciò dimostra che i due insiemi infiniti ℕ e S hanno le stesse dimensioni. Ciò potrebbe sembrare sorprendente: dopo tutto, ogni numero naturale pari è esso stesso un numero naturale, quindi ℕ contiene tutto S e altro ancora. Ciò non dovrebbe rendere ℕ più grande di S? Se avessimo a che fare con insiemi finiti, la risposta sarebbe sì. Ma un insieme infinito può contenerne completamente un altro e possono comunque avere le stesse dimensioni, un po’ come “infinito più 1” non è in realtà una quantità di amore maggiore del semplice vecchio “infinito”. Questa è solo una delle tante proprietà sorprendenti degli insiemi infiniti.

Una sorpresa ancora più grande potrebbe essere che esistono infiniti insiemi di dimensioni diverse. In precedenza abbiamo esplorato la diversa natura degli insiemi infiniti di numeri reali e naturali, e Cantor ha dimostrato che questi due insiemi infiniti hanno dimensioni diverse. Lo ha fatto con il suo brillante, e famoso, argomento diagonale.

Poiché ci sono infiniti numeri reali tra due reali distinti, concentriamoci per il momento solo sugli infiniti numeri reali compresi tra zero e 1. Ciascuno di questi numeri può essere pensato come un'espansione decimale (possibilmente infinita), come questa.

Qui $latex a_1,  a_2, a_3$ e così via sono solo le cifre del numero, ma richiederemo che non tutte le cifre siano zero, quindi non includiamo il numero zero stesso nel nostro set.

L'argomento diagonale inizia essenzialmente con la domanda: cosa accadrebbe se esistesse una biiezione tra i numeri naturali e questi numeri reali? Se tale funzione esistesse, i due insiemi avrebbero la stessa dimensione e potresti utilizzare la funzione per abbinare ogni numero reale compreso tra zero e 1 con un numero naturale. Potresti immaginare un elenco ordinato degli abbinamenti, come questo.

La genialità dell’argomento diagonale è che puoi usare questa lista per costruire un numero reale che non può essere presente nella lista. Inizia a costruire un numero reale cifra per cifra nel modo seguente: Rendi la prima cifra dopo il punto decimale qualcosa di diverso da $latex a_1$, rendi la seconda cifra qualcosa di diverso da $latex b_2$, rendi la terza cifra qualcosa di diverso da $latex c_3 $ e così via.

Questo numero reale viene definito dalla sua relazione con la diagonale della lista. È sulla lista? Non può essere il primo numero dell'elenco, poiché ha una prima cifra diversa. Né può essere il secondo numero dell'elenco, poiché ha una seconda cifra diversa. In effetti, non può essere il nnumero in questo elenco, perché ha un numero diverso nesima cifra. E questo vale per tutti n, quindi questo nuovo numero, compreso tra zero e 1, non può essere presente nell'elenco.

Ma tutti i numeri reali compresi tra zero e 1 avrebbero dovuto essere sulla lista! Questa contraddizione nasce dal presupposto che esista una biiezione tra i numeri naturali e i reali tra zero e 1, e quindi tale biiezione non può esistere. Ciò significa che questi insiemi infiniti hanno dimensioni diverse. Un po' più di lavoro con le funzioni (vedi gli esercizi) può mostrare che l'insieme di tutti i numeri reali ha la stessa dimensione dell'insieme di tutti i reali compresi tra zero e 1, e quindi i reali, che contengono i numeri naturali, devono essere un insieme infinito più grande.

Il termine tecnico per indicare la dimensione di un insieme infinito è la sua “cardinalità”. L'argomento diagonale mostra che la cardinalità dei reali è maggiore della cardinalità dei numeri naturali. La cardinalità dei numeri naturali si scrive $latex aleph_0$, pronunciato “aleph naught”. Nella visione standard della matematica questo è il più piccolo cardinale infinito.

Il prossimo cardinale infinito è $latex aleph_1$ (“aleph uno”), e una domanda formulata in modo semplice ha sconcertato i matematici per più di un secolo: $latex aleph_1$ è la cardinalità dei numeri reali? In altre parole, esistono altri infiniti tra i numeri naturali e i numeri reali? Cantor pensava che la risposta fosse no, un'affermazione che divenne nota come ipotesi del continuo – ma non è stato in grado di dimostrarlo. Agli inizi del 1900 questa questione era considerata così importante che quando David Hilbert mise insieme la sua famosa lista di 23 importanti problemi aperti in matematica, l’ipotesi del continuo era la numero uno.

Cento anni dopo, sono stati fatti molti progressi, ma tali progressi hanno portato a nuovi misteri. Nel 1940 il famoso logico Kurt Gödel lo ha dimostrato che, secondo le regole comunemente accettate della teoria degli insiemi, è impossibile dimostrare che esista un infinito tra quello dei numeri naturali e quello dei reali. Potrebbe sembrare un grande passo avanti verso la dimostrazione della verità dell’ipotesi del continuo, ma due decenni dopo il matematico Paul Cohen dimostrato che è impossibile dimostrare che tale infinito non esista! Si scopre che l’ipotesi del continuo non può essere dimostrata in un modo o nell’altro.

Insieme, questi risultati stabiliscono l’“indipendenza” dell’ipotesi del continuo. Ciò significa che le regole degli insiemi comunemente accettate semplicemente non dicono abbastanza per dirci se esiste o meno un infinito tra i numeri naturali e i reali. Ma invece di scoraggiare i matematici nel loro tentativo di comprendere l’infinito, li ha portati in nuove direzioni. I matematici sono ora alla ricerca di nuove regole fondamentali per gli insiemi infiniti che possano sia spiegare ciò che è già noto sull’infinito sia contribuire a colmare le lacune.

Dire “Il mio amore per te è indipendente dagli assiomi” potrebbe non essere divertente come dire “Ti amo l’infinito più 1”, ma forse aiuterà la prossima generazione di matematici amanti dell’infinito a dormire bene la notte.

esercizi

1. Sia $latex T = {1,3,5,7,…}$, l'insieme dei numeri naturali dispari positivi. È T più grande, più piccolo o uguale a ℕ dell'insieme dei numeri naturali?

2. Trova una corrispondenza 1 a 1 tra l'insieme dei numeri naturali, ℕ, e l'insieme degli interi $latexmathbb{Z}={…,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}$.

3. Trova una funzione $latex f(x)$ che sia una biiezione tra l'insieme dei numeri reali compreso tra zero e 1 e l'insieme dei numeri reali maggiori di zero.

4. Trova una funzione che sia una biiezione tra l'insieme dei numeri reali compreso tra zero e 1 e l'insieme di tutti i numeri reali.

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