Come si può parlare con certezza dell'infinito? Cosa possiamo davvero sapere sui misteriosi numeri primi senza conoscerli tutti? Proprio come gli scienziati hanno bisogno di dati per valutare le loro ipotesi, i matematici hanno bisogno di prove per dimostrare o smentire le congetture. Ma cosa conta come prova nel regno immateriale della teoria dei numeri? In questo episodio, Steven Strogatz parla con Melanie Matchett Wood, professore di matematica all'Università di Harvard, per scoprire come la probabilità e la casualità possono aiutare a stabilire prove per le argomentazioni ermetiche richieste ai matematici..
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Trascrizione
Steven Strogatz (00:02): Sono Steve Strogatz, e questo è La gioia del perché, un podcast da Quanta Magazine che ti porta in alcune delle più grandi domande senza risposta in matematica e scienze oggi. In questo episodio parleremo prove in matematica. Che tipo di prove usano i matematici? Cosa li porta a sospettare che qualcosa possa essere vero, prima di avere una prova stagna?
(00:26) Potrebbe sembrare un paradosso, ma si scopre che il ragionamento basato sulla teoria della probabilità, lo studio del caso e della casualità, a volte può portare a ciò che i matematici cercano veramente, ovvero la certezza, non solo la probabilità. Ad esempio, nel ramo della matematica noto come teoria dei numeri, c'è una lunga storia di utilizzo della casualità per aiutare i matematici a indovinare cosa è vero. Ora, la probabilità viene utilizzata per aiutarli a dimostrare ciò che è vero.
(00:53) Ci concentreremo qui sui numeri primi. Probabilmente ricordi i numeri primi, giusto? Hai imparato a conoscerli a scuola. Un numero primo è un numero intero maggiore di 1 che può essere diviso solo per 1 e per se stesso. Per esempio, 7 o 11. Quelli sono numeri primi, ma 15 non lo è perché 15 può essere diviso equamente per 3 o per 5. Potresti pensare ai numeri primi come una specie di elementi nella tavola periodica della chimica, nel senso che sono gli atomi indivisibili che compongono tutti gli altri numeri.
(01:27) I numeri primi sembrano come se dovrebbero essere semplici, ma alcuni dei più grandi misteri in matematica sono domande sui numeri primi. In alcuni casi, domande che esistono da centinaia di anni. C'è davvero qualcosa di molto sottile nei numeri primi. Sembrano vivere in una terra di confine tra ordine e casualità. Il mio ospite di oggi ci aiuterà a capire di più sulla natura delle prove in matematica, e soprattutto come e perché la casualità può dirci così tanto sui numeri primi e perché i modelli basati sulla probabilità possono essere così utili all'avanguardia della teoria dei numeri. Si unisce a me ora per discutere di tutto questo Melanie Matchett Wood, professoressa di matematica all'Università di Harvard. Benvenuta, Melania!
Melanie Matchett Wood (02:09): Ciao, è bello parlare con te.
Strogatz (02:11): È molto bello parlare con te, sono un grande fan. Parliamo di matematica e scienze in relazione l'una con l'altra perché le parole spesso vengono usate insieme, eppure le tecniche che usiamo per arrivare alla dimostrazione e alla certezza in matematica sono alquanto diverse da quelle che cerchiamo di fare nella scienza. Ad esempio, quando parliamo di raccogliere prove in matematica, in che modo è lo stesso o in che modo è diverso dalla raccolta di prove con il metodo scientifico nella scienza?
Legno (02:38): Una dimostrazione matematica è un argomento logico assolutamente ermetico e completo secondo cui alcune affermazioni matematiche devono essere in quel modo e non potrebbero essere in nessun altro modo. Quindi, a differenza di una teoria scientifica - che potrebbe essere la migliore che abbiamo sulla base delle prove che abbiamo oggi, ma avremo più prove, sai, nei prossimi 10 anni e forse ci sarà una nuova teoria - una dimostrazione matematica dice che qualche affermazione deve essere così, non possiamo assolutamente scoprire che sarà sbagliata tra 10 o 20 anni.
Strogatz (03:17): Ebbene, che tipo di cose contano come prove in matematica?
Legno (03:19): Quindi potresti vedere che qualcosa è vero in molti esempi. E sulla base del fatto che è vero in molti esempi, che potresti forse dire sarebbe una prova di questo fatto, potresti fare una congettura, quella che i matematici chiamerebbero una congettura, un'ipotesi che qualcosa sia vero. Ma poi, ciò che i matematici vorrebbero sarebbe una prova che quella cosa che hai visto funzionato in così tanti esempi funzionerebbe sempre nel modo in cui hai affermato.
Strogatz (03:49): Esatto, molto diverso dal solo peso delle prove. Questa è un'affermazione che c'è una ragione per cui qualcosa sarà vero per sempre, per sempre, in ogni caso.
Legno (03:58): E non solo "oh beh, ho esaminato un milione di casi ed è vero in ognuno di essi". Questo è un motivo per indovinare o congetturare che sia sempre vero. Ma in matematica, facciamo una distinzione tra una tale ipotesi che potrebbe essere basata su molti casi o prove, e avere un teorema o una dimostrazione, un argomento che ti dice che funzionerà in ogni caso, anche quelli che hai non provato.
Strogatz (04:25): Ora, è solo che i matematici sono schizzinosi per natura, o ci sono casi in cui qualcosa che sembrava essere vero, fino a un numero molto grande di possibilità, è finito per non essere vero al di là di qualche altro grande numero ?
Legno (04:39): Oh, è una bella domanda. Bene, ecco un esempio che mi piace, perché mi piacciono i numeri primi. Quindi, mentre analizzi i numeri primi - 2, 3, 5, 7 - una delle cose che potresti fare, potresti guardare e dire: "Ehi, sono divisibili per 2?" E questo risulta essere poco interessante. Dopo 2, nessuno di loro è divisibile per 2. Sono tutti, sono tutti dispari.
(05:10) E poi potresti pensare: "beh, sono divisibili per 3?" E ovviamente, dopo 3, non possono nemmeno essere divisibili per 3, dato che sono numeri primi. Tuttavia, potresti notare che alcuni di essi, quando li dividi per 3, ottieni un resto di 1, che sono 1 in più di un multiplo di 3. Quindi cose come 7, che è 1 più di 6, o 13 , che è 1 più di 12. E alcuni di quei numeri primi, come 11, o 17, che è 2 più di 15, avranno un resto di 2 quando li dividi per 3, perché sono 2 più di un multiplo di 3.
(05:47) E quindi potresti pensare a questi numeri primi in squadre. La squadra 1 è tutti quelli che sono 1 più di un multiplo di 3 e la squadra 2 sono tutti quelli che sono 2 più di un multiplo di 3. E mentre sfogli i numeri primi ed elenchi i numeri primi, potresti elencare tutti i numeri primi e potresti fare il conteggio, e vedere quanti sono nella squadra 1 e quanti sono nella squadra 2. E se facessi quel conteggio fino a 600 miliardi, in ogni punto, ogni numero fino a 600 miliardi, lo scopriresti ci sono più numeri primi della Squadra 2 che numeri primi della Squadra 1. Quindi, potresti naturalmente congetturare, sulla base di tale evidenza, che ci saranno sempre più numeri primi della Squadra 2 che numeri primi della Squadra 1.
Strogatz (06:33): Certo. Suona totalmente così.
Legno: Risulta, a un numero di circa 608 miliardi di qualcosa, dimentico il numero esatto, cambia.
Strogatz (06:46): Oh, andiamo.
Legno: Sì, cambia davvero. E ora, all'improvviso, il Team 1 è in testa. Quindi, questo è un -
Strogatz (06:53): Aspetta un minuto. Aspetta, ma è fantastico. Cosa... ora, continuano a cambiare? Sappiamo cosa succede mentre vai avanti? Continuano a cambiare?
Legno (07:01): Sì, ottima domanda. Quindi, in effetti, è un teorema che cambieranno porta infinitamente spesso.
Strogatz (07:07): Davvero?
Legno: Quindi continueranno a scambiare i lead. Ma è davvero un ottimo esempio da tenere nella parte posteriore della tua mente quando studi i numeri primi, che solo perché qualcosa era vero per i primi 600 miliardi di casi non significa che sarà sempre vero.
Strogatz (07:25): Oh, wow. Bello. Bene. Quindi, come in generale, come si passa da una congettura a una dimostrazione?
Legno (07:31): Dipende molto dal caso. Voglio dire, ci sono molti casi di matematica in cui abbiamo congetture e non abbiamo prove. Quindi non c'è una ricetta semplice per passare da una congettura a una dimostrazione, altrimenti non avremmo così tanti famosi problemi aperti dove, sai, ce ne sono alcuni - alcune congetture che le persone pensano che qualcosa funzioni in un certo modo, ma noi non lo facciamo Non lo so per certo. Ma, sai, a volte la congettura potrebbe suggerire ragioni per cui qualcosa è vero. A volte è solo la teoria matematica, che si basa su sempre più teorie matematiche che le persone hanno sviluppato per centinaia di anni, a darci strumenti e strutture sufficienti con cui lavorare per capire le cose che ne otteniamo una dimostrazione. Ma non è che la congettura porti necessariamente alla dimostrazione. La congettura potrebbe ispirare le persone a cercare di trovare la prova, ma il modo in cui la prova si ottiene potrebbe essere completamente separato dalla congettura stessa.
Strogatz (08:31): Sì, mi interessa in qualche modo enumerare, o elencare i tipi di prove che non sono all'altezza di una prova, che portano le persone ad avere la certezza che vale la pena provare a cercare una prova.
Legno (08:41): Sì, un'altra cosa che potremmo chiamare come prova che non sono solo esempi sarebbe un'euristica. Un'euristica potrebbe essere qualcosa come un argomento, tranne che con uno standard di rigore molto più basso. È proprio come, ti sembra a posto? Non "ho assolutamente stabilito questo fatto al di là di ogni ombra di dubbio?" ma "lo fa - sì, sembra abbastanza plausibile". Quindi un'euristica potrebbe essere una linea di ragionamento che sembra abbastanza plausibile, sai, ma in realtà non è un argomento rigoroso. Quindi questo è un tipo di prova.
(09:12) A volte si potrebbe avere un modello che pensiamo catturi gli elementi essenziali del sistema matematico che stiamo cercando di capire, e quindi si potrebbe congetturare che il vostro sistema abbia lo stesso comportamento del vostro modello.
Strogatz (09:30): Va bene. Ad un certo punto, voglio sentire alcuni esempi di modelli e congetture e, sai, nella misura in cui funzionano o non funzionano su alcune domande o no su altre, ma, se non ti dispiace, mi piace tornare solo ad alcune piccole cose personali, tipo, perché qui stiamo parlando di numeri, e tu sei un teorico dei numeri. Le persone potrebbero non conoscere molti teorici dei numeri nella loro vita quotidiana. Quindi, mi chiedo se potresti dircelo cos'è la teoria dei numeri, e inoltre, perché lo trovi interessante? Perché sei venuto a studiarlo?
Legno (10:02) Ebbene, la teoria dei numeri è lo studio matematico dei numeri interi. Quindi, pensa 1, 2, 3, 4, 5. E, in particolare, una delle cose importanti nei numeri interi sono i numeri primi. Come hai spiegato, proprio all'inizio, sono i mattoni da cui possiamo, attraverso la moltiplicazione, costruire tutti gli altri numeri. Quindi, poiché la teoria dei numeri si occupa di tutti quei numeri interi, si occupa anche dei loro elementi costitutivi, dei numeri primi, e di come gli altri numeri fattorizzano nei numeri primi e come sono costruiti - costruiti con numeri primi.
Strogatz (10:37): Quindi, la teoria dei numeri, per i nostri scopi di oggi, immagino, sarà lo studio dei numeri interi, con un particolare interesse per i numeri primi. Sembra un buon inizio. Suppongo che sia più di questo. Ma forse questa è una buona definizione per noi ora. Credi?
Legno (10:50): È un buon inizio, è un buon inizio. Voglio dire, da lì, si esplorano altre cose come, beh, e se iniziassi a considerare sistemi numerici più complicati dei soli numeri interi? Come se inizi a inserire altri numeri, come la radice quadrata di 2, cosa succede con i numeri primi e la fattorizzazione? Vieni portato a ulteriori domande. Ma onestamente, c'è molta matematica ricca e bella solo nei numeri interi e nei primi.
Strogatz (11:16): Quindi, con questo in mente, perché lo trovi avvincente? Perché ti piace lo studio della teoria dei numeri? Cosa ti ha attratto?
Legno (11:22): Penso che mi piaccia che le domande possano essere così concrete. Sai, vado a parlare con i bambini delle elementari. E posso raccontargli, sai, alcune delle cose a cui... a cui penso. Quindi, è divertente per me lavorare su qualcosa che, da un lato, le domande possono essere così concrete, ma dall'altro, il puzzle di cercare di risolverlo può essere così difficile. Voglio dire, le persone hanno cercato di rispondere a domande sui numeri interi, sui numeri primi letteralmente per migliaia di anni.
(11:54) E ci sono molti rami della matematica. Una delle parti importanti della moderna teoria dei numeri è che per fare progressi su queste vecchie domande ostinate su cui le persone hanno lavorato per così tanto tempo, è necessario introdurre nuove idee e stabilire connessioni con altre parti della matematica. Quindi, anche se mi definirei un teorico dei numeri, uso la matematica di tutti i diversi tipi di campi. Dallo studio, si sa, della geometria e della topologia e delle forme degli spazi alla probabilità e allo studio della casualità. Uso tutti i tipi di matematica, ma per provare a dire qualcosa su cose come i numeri interi, i numeri primi e la fattorizzazione.
Strogatz (12:36): Sì, amo quella visione della matematica come questa gigantesca rete interconnessa di idee, e puoi voler vivere in una parte particolare di essa che è la tua preferita. Ma hai menzionato i numeri primi come una particolare area di interesse nella teoria dei numeri, la parte più fondamentale di essa, in realtà. Cosa hanno di difficile? Non è ancora chiaro, nella nostra discussione, cosa c'è di così misterioso lì? Come li abbiamo definiti, potremmo probabilmente continuare a elencarli, suppongo. Quali sono alcuni di quei problemi a cui ti riferisci che hanno centinaia di anni?
Legno (13:05): Bene, una delle domande più grandi e importanti, che forse ha circa 120 anni o giù di lì, è, hai detto, "oh, potresti elencarle. Se lo facessi, quanti ne troveresti?" Quindi supponiamo che tu abbia elencato i numeri primi, fino a cento, o mille, o centomila, o un milione, un miliardo. Mentre elenchi i numeri primi fino a numeri sempre più grandi, quanti di quei numeri che attraversi saranno effettivamente primi? Quindi capire che la quantità è davvero il cuore di l'ipotesi di Riemann, che è uno dei Clay Math Institute Problemi del Premio del Millennio, c'è un premio di un milione di dollari per una risposta. È una delle domande più famose e non abbiamo idea di come farlo, e in realtà si tratta solo della domanda: quando elencherai quei numeri primi, quanti ne troverai?
Strogatz (13:58): Va bene. È divertente, vero? Perché quando inizi a fare la lista, anche se qualcuno ha appena iniziato casualmente a elencare i numeri che sono primi fino a 100, noti alcune cose divertenti. Tipo, all'inizio 11 e 13, sono 2 a parte. Quindici, beh, non funziona, perché è divisibile per 5 e 3. Poi 17, quindi c'è un gap di 4 ora, tra 13 e 17. Ma poi 19 è di nuovo vicino. Non lo so, voglio dire, quindi la spaziatura tra i numeri primi può essere un po' traballante. Come a volte c'è un divario piuttosto grande lì dentro, ea volte sono proprio uno accanto all'altro, a soli 2 di distanza l'uno dall'altro.
Legno (14:31): Sì, quindi capire che la spaziatura e quelle lacune è stata anche una grande questione di interesse. Ci sono stati notevoli progressi nell'ultimo decennio nella comprensione della spaziatura tra i numeri primi. Ma c'è ancora una domanda di base davvero allettante a cui non conosciamo la risposta. Quindi hai detto che questi numeri primi, 11 e 13, sono solo 2 l'uno dall'altro. Quindi tali numeri primi sono chiamati primi gemelli. Non potevamo aspettarci che i numeri primi si avvicinassero di più di 2 poiché dopo il 2 devono essere tutti dispari. Ecco una domanda aperta in matematica, il che significa che non conosciamo la risposta, ed è: Ci sono infinite coppie di primi gemelli? E quindi qui c'è una congettura, la congettura sarebbe sì. Voglio dire, non solo c'è una congettura che "sì, dovrebbero andare avanti per sempre, e dovrebbero essercene sempre di più", ma c'è anche una congettura su, più o meno, quanti ne troverai man mano che vai avanti. Ma questo è completamente aperto. Per quanto ne sappiamo, potrebbe essere che una volta raggiunto un numero davvero grande, si fermino e non trovi più coppie di numeri primi gemelli.
Strogatz (15:40): C'è qualcosa di molto poetico in questo, commovente, quel pensiero, tipo, che quella potrebbe essere la fine della linea ad un certo punto. Voglio dire, nessuno di noi probabilmente ci crede. Ma è possibile, immagino, è concepibile che ci siano degli ultimi due gemelli solitari che si accoccolano nell'oscurità, là fuori, sai, sulla linea dei numeri.
Legno (15:57): Sì, potrebbe esserci. E, sai, come matematici, diremmo, sai, non lo sappiamo. Anche se potessi fare un grafico man mano di quanti ne hai trovati, se tracciassi quel grafico, sembra che stia davvero aumentando e aumentando a una velocità che non si girerebbe mai, mai. Ma immagino che parte della differenza tra matematica e scienza sia che manteniamo questo scetticismo e diciamo, beh, non lo sappiamo. Voglio dire, forse a un certo punto il grafico gira e non ce ne sono più.
Strogatz (16:29): Quindi, quello... mi piace la tua immagine di un grafico, perché penso che tutti possano relazionarsi a questa idea, di creare un grafico, una sorta di grafico. Sai, pensare ai numeri primi come a dei dati simili. E quindi penso che questo sia forse un buon momento per voltarci, per iniziare a parlare di teoria della probabilità. E sembra un po' strano parlare di probabilità e statistica in relazione ai numeri primi perché non c'è alcuna possibilità qui coinvolta. I numeri primi sono determinati dalla definizione che abbiamo dato, che non sono divisibili. Eppure matematici e teorici dei numeri, come te, hanno usato argomenti statistici o probabilistici nel pensare ai numeri primi. Mi chiedo se potresti abbozzare qualcosa del genere per me usando il lancio di una moneta, e tornando a - di cosa stavamo parlando all'inizio, numeri dispari e numeri pari.
Legno (17:14): Va bene. Quindi, a differenza dei numeri primi, comprendiamo molto bene lo schema dei numeri pari e dispari. Vanno dispari, pari, dispari, pari, ovviamente. Ma supponiamo di non aver capito quello schema. E lo stiamo usando per capire quanti numeri dispari potresti trovare se guardassi tutti i numeri fino a un milione. Puoi immaginare, dato che ci sono due possibilità, un numero potrebbe essere dispari o un numero potrebbe essere pari, che forse qualcuno andasse avanti e lanciasse una moneta per ogni numero, e se la moneta esce testa, il numero è dispari. E se la moneta esce croce, il numero è pari. E così potresti fare in modo che la tua persona che lancia una moneta cammini lungo la linea dei numeri, lanciando una moneta a ogni numero, e arriva, diciamo, a dichiarare quel numero pari o dispari.
(18:03) Ora, da un lato, questa è una sciocchezza. D'altra parte, il modello di lancio della moneta farà alcune cose bene. Ad esempio, se dici, sai, all'incirca, quanti dei numeri fino a un milione sono pari? Sappiamo che all'incirca il numero di lanci di monete che, ad esempio, escono croce, se fai un numero enorme di lanci di monete, come un milione, è circa la metà. E così, quel modello, per quanto sciocco possa essere, può ancora fare alcune previsioni correttamente. E dovrei dire che può sembrare sciocco, perché conosciamo già la risposta a questa domanda. L'idea è di costruire modelli per schemi più complicati, come dove compaiono i primi tra i numeri, invece che solo dove compaiono le probabilità.
Strogatz (18:55): Sì. Voglio dire, penso che dobbiamo sottolinearlo: quanto siano profondamente misteriosi i numeri primi. Non esiste una formula per i numeri primi, come esiste una formula per i numeri dispari. Ad esempio, se pensi, oh, andiamo, questo è: stiamo davvero parlando di cose assurde qui, in realtà è molto prezioso avere questi modelli statistici in grado di prevedere proprietà che sono proprietà medie. Come l'analogo di, metà dei numeri inferiori a un numero grande saranno dispari. Questo è qualcosa che, nel caso dei numeri primi, è una domanda molto seria e interessante. Quale frazione di numeri minori di un numero grande sono primi? E, come dici tu, puoi creare un modello statistico che lo faccia bene. E poi, quello stesso modello può essere utilizzato per prevedere quanti numeri primi gemelli ci sarebbero meno di un numero grande? Lo stesso modello fa un buon lavoro in quel caso?
Legno (19:41): Quindi, nel caso dei numeri primi, se stessimo costruendo un modello — sai, e c'è un modello usato dai matematici chiamato il modello Cramér dei numeri primi — se stessimo costruendo un modello di lancio di una moneta dei numeri primi in cui immaginiamo qualcuno che cammina lungo la linea dei numeri, e ad ogni numero, sai, lancia una moneta, diciamo, per decidere se quel numero è primo o non primo, vorremmo incorporare tutto ciò che sappiamo sui numeri primi in quel modello. Quindi, prima di tutto, sappiamo che i numeri grandi hanno meno probabilità di essere primi rispetto ai numeri più piccoli. Quindi quelle monete dovrebbero essere pesate. E dovremmo... dovremmo cercare di inserire esattamente le ponderazioni che ci aspettiamo. E sappiamo cose come, non puoi avere due numeri primi uno accanto all'altro, perché uno di loro dovrebbe essere dispari e uno di loro dovrebbe essere pari. Quindi lo inseriamo nel modello. E poi ci sono altre cose che sappiamo sui numeri primi.
(20:37) Quindi il modello è qualcosa che inizia con questo modello di lancio della moneta, ma poi viene modificato da tutte queste altre regole e da tutte le altre cose che sappiamo sui numeri primi. E una volta che hai messo tutte quelle cose che sappiamo nel modello, allora chiedi a questo lancio di monete, sai, modello, beh, vedi, infinitamente spesso, monete che escono prime solo 2 a parte? E il modello ti dice, oh, sì, lo vediamo. In effetti, lo vediamo a questo ritmo molto particolare per cui possiamo darti una formula. E poi, se si rappresenta graficamente il numero di numeri primi gemelli effettivi, nei numeri effettivi, dove non ci sono monete capovolte, rispetto a ciò che il modello prevede, si vede che il modello fornisce una previsione molto accurata per il numero di coppie di numeri primi gemelli lo troverai man mano che procedi. E così poi pensi, sai, forse questo modello sa di cosa sta parlando.
Strogatz (21:31): Fantastico. Voglio dire, è un po' importante, quello che siamo appena arrivati lì, che... non hai ancora usato la parola computer. Ma presumo che tu non lo stia facendo a mano. Le persone che stanno elencando i numeri primi gemelli a, non so, di cosa stiamo parlando? Trilioni di trilioni di trilioni? Voglio dire, stiamo parlando di grandi numeri, vero?
Legno (21:49): Bene, per l'elenco dei numeri primi gemelli, cioè — sarebbe fatto dal computer, assolutamente. Ma per costruire questo modello e trovare la formula fornita dal modello. Sai, questo è fatto a mano, essenzialmente, dai matematici che pensano al modello e lo calcolano.
Strogatz (22:07): È così bello. Quindi è qui che il modello mostra le sue cose, che il modello può effettivamente prevedere ciò che vede il computer. E non richiede un computer per fare quella previsione. Ciò può essere fatto a mano, dalle persone e può effettivamente portare a prove. Tranne che sono prove delle proprietà del modello, non necessariamente ancora prove della cosa che ti interessa.
Legno (22:28): Giusto. E ad un certo punto, il computer si ferma. Sai, c'è solo così tanta potenza di calcolo. Ma quella formula che otterresti, che il modello ti darebbe, che potresti provare è vera, ancora una volta, riguardo a questa situazione di lancio della moneta del modello, quella formula continuerà. Puoi inserire numeri sempre più grandi in quella formula, molto più grandi di quanto il tuo computer potrebbe mai calcolare.
Strogatz (22:53): Quindi ci hai parlato un po' di come la casualità può aiutare a fornire modelli di fenomeni interessanti nella teoria dei numeri, e sono sicuro che è vero anche in altre parti della matematica. Ci sono alcuni casi in cui è possibile utilizzare la casualità per fornire prove effettive, non solo modelli?
Legno (23:10): Assolutamente. Un altro ramo della matematica è chiamato teoria della probabilità. E nella teoria della probabilità, dimostrano teoremi sui sistemi casuali e su come si comportano. E potresti pensare che, beh, se inizi con qualcosa di casuale e fai qualcosa con esso, avrai sempre qualcosa di casuale. Ma una delle cose straordinariamente belle che si trovano nella teoria della probabilità è che a volte puoi ottenere qualcosa di deterministico da qualcosa di casuale.
Strogatz (23:45): Bene, come funziona? Tipo cosa?
Legno (23:48): Sì. Quindi hai visto la curva a campana, o la distribuzione normale, la chiamerebbero i matematici. Appare ovunque in natura. Come appare se guardi la pressione sanguigna delle persone, o il peso alla nascita del bambino, o qualcosa del genere. E potresti pensare, oh, questa curva a campana, che questo è un fatto di natura. Ma in effetti, c'è un teorema, chiamato teorema del limite centrale nella teoria della probabilità, che ti dice che in realtà, questa curva a campana è in un certo senso, non un fatto di natura, ma un fatto di matematica. Il teorema del limite centrale ti dice che se combini un intero gruppo di piccoli effetti casuali in modo indipendente, l'output di quello corrisponderà sempre a una certa distribuzione. Questa forma, questa curva a campana. La matematica, e la teoria della probabilità, possono dimostrare che se hai — se combini molte piccole cose casuali indipendenti, il risultato di tutta quella combinazione ti darà una distribuzione che assomiglia a questa curva a campana. E così, anche se non sai come erano gli input. E questo è un teorema davvero potente e uno strumento davvero potente in matematica.
Strogatz (25:05): Sì, lo è certamente. E mi è piaciuta la tua enfasi sul fatto che non hai bisogno di sapere cosa sta succedendo con i piccoli effetti. Che, in qualche modo, viene sbiadito. Quelle informazioni non sono necessarie. La curva a campana è prevedibile, anche se non si sa quale sia la natura dei piccoli effetti. Finché ce ne sono tanti e sono piccoli. E non si influenzano a vicenda, giusto, sono indipendenti, in un certo senso.
Legno (25:27): Sì, assolutamente. E quindi questa è un'idea, sai, a volte si chiama universalità nella teoria della probabilità, che ci sono certi tipi di macchine che se inserisci molti input casuali, puoi prevedere l'output. Come, ad esempio, ottenere questa curva a campana, o questa distribuzione normale, anche se non sai cosa metti nella macchina. E questo è incredibilmente potente quando ci sono cose che non capiamo molto bene, perché...
Strogatz (25:56): Ma allora, mi stai dicendo - oh, mi dispiace interromperti - ma mi stai dicendo che questo sta accadendo anche nella teoria dei numeri ora? Che in qualche modo riusciamo a far emergere l'idea dell'universalità nella teoria dei numeri? O sto sognando?
Legno (26:09): Beh, in una certa misura, direi che è un mio sogno che sta iniziando. Sai, stiamo solo facendo i primi passi per vederlo realizzato. Quindi non è solo il tuo sogno, è anche il mio sogno. Parte del lavoro che faccio oggi e su cui io e i miei collaboratori lavoriamo sta cercando di trasformare quel tipo di sogno in realtà in modo che, alcune di queste domande sconcertanti sui numeri di cui non conosciamo la risposta, forse potremmo capire che ci sono schemi che escono, come una curva a campana, come una distribuzione normale, che possiamo provare usciti dalla macchina anche se non sappiamo in quali misteri sono stati messi.
Strogatz (26:55): Beh, è una visione molto stimolante ed elettrizzante, in realtà, e spero che tutto si realizzi. Grazie mille per averci parlato oggi, Melanie.
Legno (27:03): Grazie. Questo è stato molto divertente.
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