Isaac Newton non era noto per la sua generosità di spirito e il suo disprezzo per i suoi rivali era leggendario. Ma in una lettera al suo concorrente Gottfried Leibniz, ora noto come il Epistola posteriore, Newton sembra nostalgico e quasi amichevole. In esso, racconta una storia dei suoi giorni da studente, quando stava appena iniziando a imparare la matematica. Racconta come ha fatto un'importante scoperta equiparando le aree sotto le curve a somme infinite mediante un processo di ipotesi e verifica. Il suo ragionamento nella lettera è così affascinante e accessibile che mi ricorda i giochi di indovinare gli schemi che piacciono ai bambini.
Tutto ebbe inizio quando il giovane Newton lesse di John Wallis Aritmetica Infinitorum, un'opera fondamentale della matematica del XVII secolo. Wallis includeva un metodo nuovo e induttivo per determinare il valore di pi greco e Newton voleva escogitare qualcosa di simile. Iniziò con il problema di trovare l'area di un “segmento circolare” di larghezza regolabile $lattice x$. Questa è la regione sotto il cerchio unitario, definita da $latex y=sqrt{1-x^2}$, che si trova sopra la porzione dell'asse orizzontale da 0 a $lattice x$. Qui $lattice x$ potrebbe essere qualsiasi numero compreso tra 0 e 1 e 1 è il raggio del cerchio. L'area di una circonferenza unitaria è pi, come ben sapeva Newton, quindi quando $lattice x=1$, l'area sotto la curva è un quarto del cerchio unitario, $latexfrac{π}{4}$. Ma per altri valori di $lattice x$, non si sapeva nulla.
Se Newton potesse trovare un modo per determinare l'area sotto la curva per ogni possibile valore di $lattice x$, potrebbe dargli un mezzo senza precedenti per approssimare pi. Quello era originariamente il suo grande piano. Ma lungo la strada ha trovato qualcosa di ancora migliore: un metodo per sostituire curve complicate con somme infinite di elementi costitutivi più semplici fatti di poteri di $lattice x$.
Il primo passo di Newton è stato quello di ragionare per analogia. Invece di mirare direttamente all'area del segmento circolare, ha studiato le aree di segmenti analoghi delimitati dalle seguenti curve:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton sapeva che le aree sotto le curve nell'elenco con potenze di numeri interi (come $latex frac{0}{2}=0$ e $latex frac{2}{2} = 1$) sarebbero state facili da calcolare, perché semplificano algebricamente. Per esempio,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Analogamente,
Ma nessuna semplificazione del genere è disponibile per l'equazione del cerchio — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— o le altre curve con le semipotenze. All'epoca, nessuno sapeva come trovare l'area sotto nessuno di essi.
Fortunatamente, le aree sotto le curve con poteri numerici interi erano semplici. Prendi la curva $latex y_4=1-2x^2+x^4$. Una regola ben nota all'epoca per tali funzioni consentiva a Newton (ea chiunque altro) di trovare rapidamente l'area: per qualsiasi potenza di numero intero $latex nge 0$, l'area sotto la curva $latex y=x^n$ sopra l'intervallo da $lattice 0$ a $lattice x$ è dato da $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Wallis aveva intuito questa regola con il suo metodo induttivo e Pierre de Fermat l'ha dimostrata in modo conclusivo.) Armato di questa regola, Newton sapeva che l'area sotto la curva $latex y_4$ era $latex x- frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
La stessa regola gli ha permesso di trovare l'area sotto le altre curve con poteri numerici interi nell'elenco sopra. Scriviamo $latex A_n$ per l'area sotto la curva $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, dove $latex n= 0, 1, 2, …$ . L'applicazione della regola produce
$lattice A_0=x$
$lattice A_1 = hspace{.295em}?$
$lattice A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$lattice A_3 = hspace{.295em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$lattice A_5 =hspace{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
e così via. L'idea astuta di Newton era quella di colmare le lacune, sperando di indovinare $latexA_1$ (la serie per l'area sconosciuta del segmento circolare) in base a ciò che poteva vedere nell'altra serie. Una cosa è stata subito chiara: ogni $latexA_n$ iniziava semplicemente con $latex x$ . Ciò ha suggerito di modificare le formule in questo modo:
$lattice A_0=x$
$latex A_1 = xhspazio{.247em}-hspazio{.247em}?$
$lattice A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspazio{.247em}-hspazio{.247em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Quindi, per sostituire il successivo lotto di punti interrogativi, Newton ha esaminato i termini $latex x^3$. Con una piccola licenza, possiamo vedere che anche $latexA_0$ aveva uno di questi termini cubici, poiché possiamo riscriverlo come $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Come Newton spiegò a Leibniz, osservò "che i secondi termini $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ ecc., erano in progressione aritmetica” (si riferiva allo 0, 1, 2, 3 dei numeratori). Sospettando che questa progressione aritmetica potesse estendersi anche negli spazi vuoti, Newton ipotizzò che l'intera sequenza di numeratori, nota e sconosciuta, dovesse essere costituita da numeri separati da $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ “e quindi che i primi due termini della serie” gli interessavano — l'ancora sconosciuto $latex A_1$ , $latex A_3$ e $latex A_5$ — "dovrebbe essere $latex x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$, ecc."
Pertanto, in questa fase i modelli suggerirono a Newton che $latex A_1$ dovrebbe iniziare come
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
Questo è stato un buon inizio, ma gli serviva di più. Mentre cercava altri modelli, Newton notò che i denominatori nelle equazioni contenevano sempre numeri dispari in ordine crescente. Ad esempio, guarda $latex A_6$, che ha 1, 3, 5 e 7 nei suoi denominatori. Lo stesso schema ha funzionato per $latex A_4$ e $latex A_2$. Abbastanza semplice. Quel modello apparentemente persisteva in tutti i denominatori di tutte le equazioni.
Non restava che trovare uno schema nei numeratori. Newton esaminò di nuovo $latex A_2$, $latex A_4$ e $latex A_6$ e individuò qualcosa. In $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ ha visto un 1 che moltiplicava $latex x$ e un altro 1 nel termine $latexfrac {1}{3}x^3$ (ha ignorato il suo segno negativo per ora). In $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$, ha visto i numeratori di 1, 2, 1. E in $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , ha visto i numeratori 1, 3, 3, 1. Questi numeri dovrebbero essere familiari a chiunque chi ha mai studiato il triangolo di Pascal, una disposizione triangolare di numeri che, nella sua forma più semplice, viene creata sommando i numeri sopra di esso, iniziando con 1 in alto.
Invece di invocare Pascal, Newton si riferì a questi numeratori come "poteri del numero 11". Ad esempio, 112 = 121, che è la seconda riga del triangolo, e 113 = 1331, che è il terzo. Al giorno d'oggi questi numeri sono anche chiamati coefficienti binomiali. Sorgono quando espandi i poteri di un binomio come ($latex a +b$), come in $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Con questo schema in mano, Newton ora aveva un modo semplice per scrivere $latex A_2, A_4, A_6$ e tutti gli altri numeri pari A'S.
Successivamente, per estrapolare i suoi risultati in mezzi poteri e pedici dispari (e infine arrivare alla serie che voleva, $latex A_1$), Newton aveva bisogno di estendere il triangolo di Pascal a un nuovo fantastico regime: a metà strada tra le righe. Per eseguire l'estrapolazione, ha derivato una formula generale per i coefficienti binomiali in una data riga del triangolo di Pascal — riga $latex m$ — e poi ha inserito audacemente $latex m= frac{1}{2}$. E sorprendentemente, ha funzionato. Questo gli ha dato i numeratori della serie che stava cercando per un cerchio unitario, $latexA_1$.
Ecco, nelle parole di Newton, il suo riassunto a Leibniz degli schemi che ha notato induttivamente fino a questo stadio dell'argomento:
Cominciai a riflettere che i denominatori 1, 3, 5, 7, ecc. erano in progressione aritmetica, per cui i coefficienti numerici dei soli numeratori necessitavano ancora di indagine. Ma nelle aree date alternativamente, queste erano le figure dei poteri del numero 11 … cioè il primo '1'; poi '1, 1'; terzo, '1, 2, 1'; quarto '1, 3, 3, 1'; quinto '1, 4, 6, 4, 1' ecc. e così ho cominciato a chiedermi come si potessero derivare le cifre rimanenti della serie dalle prime due cifre date, e ho scoperto che mettendo $latex m$ per la seconda figura, il resto sarebbe prodotto dalla continua moltiplicazione dei termini di questa serie,
$latex frac{m-0}{1} volte frac{m-1}{2} volte frac {m-2}{3} volte frac{m-3}{4} volte frac {m-4}{5 }$, ecc.
… Di conseguenza ho applicato questa regola per interporre le serie tra le serie, e poiché, per il cerchio, il secondo termine era $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, ho messo $latex m=frac{1}{2}$, e i termini risultanti erano
$latex frac {1}{2} volte frac{frac{1}{2}-1}{2}$ o $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} volte frac{frac{1}{2}-2}{3}$ o $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} volte frac{frac{1}{2}-3}{4}$ o $latex – frac {5}{128}$,così all'infinito. Onde giunsi a capire che l'area del segmento circolare che volevo era
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Infine, inserendo $latex x=1$, Newton potrebbe ottenere una somma infinita per $latexfrac{π}{4}$. È stata una scoperta importante, ma si scopre che ci sono modi migliori per approssimare pi per mezzo di una somma infinita, come scoprì presto lo stesso Newton dopo questa incursione iniziale in questo tipo di somme infinite, ora chiamate serie di potenze. Alla fine ha calcolato le prime 15 cifre di pi greco.
Tornando al problema del segmento circolare, Newton si rese conto che l'equazione per il cerchio stesso (non solo l'area sottostante) poteva essere rappresentata anche da una serie di potenze. Tutto ciò che doveva fare era omettere i denominatori e ridurre di 1 i poteri di $latex x$ nella serie di potenze mostrata sopra. Così è stato portato a indovinarlo
Per verificare se questo risultato avesse un senso, Newton lo moltiplicò per se stesso: "Divenne $latex 1-x^2$, i termini rimanenti svanendo con la continuazione della serie all'infinito".
Facendo un passo indietro rispetto ai dettagli, qui vediamo diverse lezioni sulla risoluzione dei problemi. Se un problema è troppo difficile, cambialo. Se sembra troppo specifico, generalizzalo. Newton fece entrambe le cose e ottenne risultati più importanti e più potenti di quelli che cercava inizialmente.
Newton non si fissava ostinatamente su un quarto di cerchio. Osservò una forma molto più generale, qualsiasi segmento circolare di larghezza $latex x$. Invece di attenersi a $latex x=1$, ha permesso a $latex x$ di scorrere liberamente da 0 a 1. Ciò ha rivelato il carattere binomiale dei coefficienti nelle sue serie - l'inaspettata comparsa dei numeri nel triangolo di Pascal e le loro generalizzazioni - che lascia che Newton veda modelli che Wallis e altri avevano perso. La visione di questi modelli ha poi fornito a Newton le intuizioni di cui aveva bisogno per sviluppare la teoria delle serie di potenze in modo molto più ampio e generale.
Nel suo lavoro successivo, la serie di poteri di Newton gli diede un coltellino svizzero per il calcolo. Con loro poteva fare integrali, trovare radici di equazioni algebriche e calcolare i valori di seno, coseno e logaritmi. Come ha detto lui, "Con il loro aiuto, l'analisi arriva, potrei quasi dire, a tutti i problemi".
La morale: cambiare un problema non è barare. È creativo. E potrebbe essere la chiave per qualcosa di più grande.
