Il nostro compito di puzzle il mese scorso è stato quello di salvare a Star Trek partito di superficie di otto guidato dal Impresa Responsabile della Comunicazione Tenente Uhura (interpretato dal compianto Nichelle Nichols). L'equipaggio è imprigionato da una razza aliena, i Catenati, su un pianeta nel Collana Nebulosa. Per scappare, devono massimizzare la loro probabilità di svolgere un compito che a prima vista sembra offrire solo una scarsa probabilità di successo.
L'equipaggio di otto persone viene informato del compito mentre è temporaneamente trattenuto in una sala comune dove è libero di comunicare e definire strategie. Tra poche ore verranno condotti, uno alla volta, in una stanza chiamata camera della roulette. Questa stanza ha otto pulsanti disposti in fila, ognuno dei quali è programmato per rispondere a un membro dell'equipaggio diverso. Per fuorviare l'equipaggio, ogni pulsante è etichettato casualmente in modo errato con il nome di un altro membro dell'equipaggio. Ogni membro dell'equipaggio può premere fino a quattro pulsanti, in qualsiasi ordine. Ogni volta che premono un pulsante, vedranno a chi appartiene veramente il pulsante. Entro i loro quattro tentativi, devono trovare il pulsante assegnato loro. Affinché l'equipaggio sia libero, tutti devono riuscire in questo compito. Se anche uno di loro fallisce, tutti verranno eseguiti. Dopo che un membro dell'equipaggio ha completato il tentativo, deve essere isolato senza alcun modo per passare informazioni a nessuno dei suoi compagni di equipaggio.
Le possibilità di successo sembrano minuscole. Se i membri dell'equipaggio scelgono i pulsanti a caso, ognuno avrà una possibilità su 1 di trovare il proprio pulsante. La possibilità che tutti e otto abbiano successo è solo 2 su 1, ovvero circa lo 256%.
Ma non devono premere pulsanti a caso. Un modo per aumentare le probabilità di successo potrebbe essere quello di uniformare in qualche modo tutte le pressioni dei pulsanti. Questo ci porta alla nostra prima domanda enigma.
Puzzle 1
Di quanto può essere migliorata la probabilità di sopravvivenza dell'equipaggio se si assicura che ogni pulsante venga premuto con la stessa frequenza (invece di premere quattro pulsanti a caso)?
Rob Corlett ed JPayette ha risposto bene, come hanno fatto tutte le altre domande. Per quanto riguarda l'idea centrale sfuggente dietro gli enigmi in questa colonna, Rob Corlett, JPayette e Jouni Seppänen l'ha descritto magnificamente, mentre Sacha Bugnon contribuito con una soluzione informatica.
Ecco la risposta di Rob Corlett:
Un modo per assicurarsi che ciascun pulsante venga premuto un numero uguale di volte è separare i prigionieri in due gruppi di 4 uguali dimensioni.
Ogni gruppo preme solo i pulsanti corrispondenti ai membri del proprio gruppo. Pertanto, se A, B, C e D sono tutti nello stesso sottogruppo, premono solo i pulsanti per A, B, C e D.
Questo cambia il problema nel chiedere la probabilità che ogni prigioniero sia assegnato al gruppo corretto in quanto gli è garantito di premere il pulsante in quattro o meno pressioni.
Il numero di modi per popolare il primo gruppo (e quindi anche il secondo gruppo) con quattro persone è il numero di modi per scegliere 4 da 8 che è C(8, 4) = 70. Pertanto, il numero totale di modi di allocare tutti nei due gruppi è 70.
C'è solo un'allocazione che assegna correttamente ogni prigioniero al gruppo giusto e quindi la probabilità che tutti siano nel gruppo giusto e che tutti i prigionieri sopravvivano è 1/70 che è 3.66 volte migliore rispetto a 1/256 della strategia precedente. [Ma è ancora molto piccolo: solo una probabilità dell'1.4%.]
Puzzle 2
C'è un modo per migliorare le misere probabilità originali di oltre 90 volte, a circa il 36.5%, il che sembra miracoloso! Questa strategia prevede l'uso di anelli o catene di ipotesi - da qui i riferimenti alla Nebulosa Collana e ai Catenati (Catena in latino significa catena). Nella forma base della strategia, ogni membro dell'equipaggio inizia premendo il pulsante che porta il suo nome, quindi passa al pulsante che riporta il nome del membro dell'equipaggio a cui apparteneva effettivamente il primo pulsante, e così via, creando una catena di nomi.
Vediamo come funziona in pratica. Nel diagramma, i pulsanti sono mostrati con le loro etichette in bianco. Le lettere blu sottostanti mostrano i veri proprietari dei pulsanti. Quando il primo membro dell'equipaggio, A, entra nella camera della roulette, preme prima il pulsante A. Questo è il pulsante di C, quindi preme il pulsante C dopo, quindi il pulsante E e infine il pulsante F, che in realtà è il pulsante di A, quindi lo ha trovato con successo in quattro tentativi. Si noti che i pulsanti ACEF formano un anello chiuso di quattro pulsanti. Quando i membri dell'equipaggio C, E ed F si alternano, percorreranno lo stesso circuito chiuso, partendo dai rispettivi posti, e troveranno anche i propri pulsanti in quattro tentativi.
Questa disposizione ha anche due anelli più piccoli di due pulsanti ciascuno: BD e GH. Questi quattro membri dell'equipaggio troveranno i propri pulsanti entro due tentativi. Quindi, con questa disposizione, tutti i membri dell'equipaggio avranno successo e si saranno guadagnati la libertà. È chiaro che se l'accordo contiene solo anelli di lunghezza 4 o meno, tutti i membri dell'equipaggio avranno successo e saranno liberati. Se, d'altra parte, c'è un singolo loop di 5 o più, allora tutti i membri dell'equipaggio su quel loop non riusciranno a trovare il loro pulsante in quattro tentativi e l'equipaggio verrà giustiziato. Per trovare la probabilità di successo, possiamo trovare la probabilità di avere un ciclo di 5, 6, 7 o 8, sommarli e sottrarre quella somma da 1. Questo è più facile da calcolare rispetto all'altro modo perché per otto pulsanti, può esserci un solo loop con 5, 6, 7 o 8 membri.
Ce ne sono 8! modi diversi per disporre otto pulsanti. Ma quando creiamo i loop, lo stesso loop rappresenta otto di questi arrangiamenti (ABCDEFGH forma lo stesso loop di BCDEFGHA, che è lo stesso di CDEFGHAB, ecc.). Quindi la probabilità di avere un ciclo di dimensione 8 è (8!/8)/8!, che è semplicemente 1/8. Allo stesso modo, la probabilità di avere un anello di dimensione 7 è 1/7, di dimensione 6 è 1/6 e di dimensione 5 è 1/5. Pertanto, la probabilità di successo per il nostro intrepido equipaggio è 1 − (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8), o 36.5%, come accennato in precedenza.
La strategia di cui sopra funziona per qualsiasi numero di prigionieri e il miglioramento delle probabilità rispetto all'approccio casuale aumenta rapidamente all'aumentare del numero. È circa sette volte per quattro prigionieri, 24 volte per sei, 93 volte per otto e un sorprendente (3.8 × 1029)-piega per 100 prigionieri. La chiave per comprendere questo enorme aumento è che il metodo lega il successo o il fallimento di ogni membro del gruppo a quello degli altri. In larga misura, tutti riescono o falliscono insieme. La probabilità di successo del gruppo non scende di molto da quella di una sola persona, scendendo solo dal 50% per un singolo detenuto al 30.69% in quanto il numero dei detenuti aumenta senza limiti. D'altra parte, la probabilità che un approccio casuale o anche un approccio alla "pressione di un pulsante pari" riesca diminuisce rapidamente fino a sfiorare lo zero anche per un numero ridotto di prigionieri.
Se la logica alla base di questa strategia sembra ancora confusa, ecco un'analisi del problema dei 100 prigionieri in questo ottimo video di Veritasium.
Puzzle 3
Questo puzzle riguardava il tenente Uhura che ricordava un gioco d'infanzia, che era essenzialmente lo stesso puzzle, ma per sei persone. Come suggerimento, ho suggerito di risolvere il problema per quattro persone. Ora che abbiamo la formula, possiamo facilmente calcolare le probabilità.
Per quattro persone, la probabilità che il ciclo più lungo sia solo 2 o 1 è: 1 − (1/3 + 1/4) o 41.7% con un guadagno di sette volte rispetto alla scelta casuale.
Per sei persone, la probabilità che il ciclo più lungo sia 3, 2 o 1 è: 1 − (1/4 + 1/5 + 1/6) o 38.3% con un guadagno superiore a 24 volte rispetto alla scelta casuale.
Puzzle 4
Mentre la nostra storia continua, si scopre che uno dei Catenati ha preso una speciale antipatia per il Impresa equipaggio e li sta monitorando a distanza. Sospetta che abbiano escogitato una strategia efficace basata sul diagramma di Uhura. È determinato a sventare il loro piano infilandosi nella camera e cambiando deliberatamente l'ordine delle etichette dei pulsanti prima dell'inizio della roulette. Riuscirà a sventare con successo il piano? Cosa deve nascondere particolarmente la squadra di sbarco?
All'inizio della discussione strategica dell'equipaggio, gli occhi di Uhura si strinsero improvvisamente. Diede un segnale al suo equipaggio e passò a parlare in nicholese, annunciando: "Tutte le ulteriori discussioni in nicholese, per favore". Il nicholese era una nuova lingua che Uhura aveva inventato all'inizio della sua carriera proprio per questo tipo di situazioni, per aggirare l'uso di traduttori universali. «Devi aver notato quel Catenati sospettoso», continuò. “Potrebbe provare a sabotarci, quindi dobbiamo modificare il nostro piano. Ecco cosa dobbiamo fare…”
Uhura ha delineato il nuovo piano finché non è stata soddisfatta che ogni membro del suo equipaggio lo conoscesse perfettamente. Poi ha riflettuto, con uno sguardo lontano negli occhi, "Ho chiamato Nicholese dopo un'attrice iconica del 20° secolo. Sono contento di aver insistito affinché la Flotta Stellare lo rendesse standard su tutte le nostre navi.
Si voltò di nuovo verso l'equipaggio. «Questo è tutto, agenti. Sai cosa fare!"
Non sappiamo esattamente cosa abbia detto Uhura alla sua squadra. Ma JPayette e Rob Corlett hanno avuto una buona idea. Ecco di nuovo Rob Corlett:
Se il malvagio Catenati sente che stanno utilizzando questa strategia, può cambiare i nomi mostrati sul display per assicurarsi che ci sia un ciclo più lungo di 4.
Per rompere questo, quindi, i prigionieri devono accettare un ordine segreto che randomizzi la sequenza. Lo fanno dicendo qualcosa come "se vedi il nome di Uhura, vai al pulsante contrassegnato da Chekov. Se vedi il nome di Chekov visualizzato, vai al pulsante contrassegnato da Smith, ecc.
In questo modo, il riordino da parte dei Catenati non ha importanza perché funziona solo se si conosce il modo in cui l'equipaggio risponderà ai nomi sui display. Tuttavia, devono mantenere segreto qualsiasi riordino, altrimenti potrebbe essere nuovamente rotto.
Come abbiamo visto, Uhura ha assicurato che il segreto sarebbe stato tenuto al sicuro. Ogni membro dell'equipaggio doveva solo usare lo stesso ordine segreto e assicurarsi che il malvagio Catenati non sapesse cosa fosse. In effetti, il cambio d'ordine da parte del malvagio Catenati ha effettivamente aumentato le probabilità di successo dell'equipaggio!
Questo è quello che è successo. Uhura è stata la prima ad essere portata nella sala della roulette. Premette tre pulsanti. Nessuno era suo. Dovrebbe essere triste o felice? Trattenne il respiro e premette il quarto. Aveva trovato il suo vero bottone!
Sapeva che sarebbero stati tutti salvati.
Puzzle 5
A quale limite si avvicina la percentuale massima di successo quando la dimensione della squadra di sbarco aumenta indefinitamente? Puoi spiegare perché questo metodo è molto più efficiente della pressione casuale di pulsanti?
JPayette ha scritto:
Tutto quanto sopra si generalizza direttamente a un equipaggio di 2n ciascuno dei membri è autorizzato a premere al massimo n pulsanti. Da Puzzle 2, deduciamo che la loro possibilità di successo è
1 − (somma k fra n + 1 e 2n di 1/k).
La somma può essere confrontata con l'integrale di 1/x nell'intervallo [n, 2n], che ci permette di dimostrare che come n cresce all'infinito, la probabilità di cui sopra diminuisce per convergere a un sorprendente 1 − ln(2) ≈ 30.6%. [In realtà 30.69% con due cifre decimali.]
Rob Corlett ha aggiunto:
Se non conosci l'integrazione, puoi ottenere rapidamente una risposta approssimativa calcolando utilizzando un foglio di calcolo. Sono arrivato a 0.307 una volta n ha raggiunto circa 750 che è accurato con 3 cifre decimali.
Abbiamo già spiegato sopra perché questo metodo funziona. Tutti i loop più lunghi di 1 sono condivisi da più membri dell'equipaggio. Quindi i loro successi e fallimenti sono altamente correlati. È un'illustrazione del principio "Tutti per uno e uno per tutti". Direttamente dal manuale della Flotta Stellare!
Grazie a tutti i nostri contributori. JPayette e Rob Corlett hanno entrambi presentato risposte preziose che hanno fatto sembrare questa colonna della soluzione quasi ridondante. Purtroppo, devo attenermi alla nostra regola di scegliere un vincitore per colonna del puzzle. Il premio Insights va a JPayette in riconoscimento dei contributi qui e nel puzzle precedente. Congratulazioni! Rob Corlett, i tuoi contributi non saranno dimenticati.
Al prossimo mese per nuovi Insights!
